tE,î....l*H-4[5.5.- -l'l

Ces siibslitiitions, érbangealdcs b g’', C,, D le sont entre elles, b g'

près: enfin elles sont abéliennes propres.

Les substitutions abéliennes propres contenues dans T sont toutes permutables au groupe (g^, l), V), En effet, on a vu t|Ue ces substitutions résultent de la eombinaison de I),,... avec les substitutions

et leurs analogues.

ür g transforme g', U,' V en g', g'\, VU; A les transforme en g', V. U;

enfin C,. D altérant de la même manière les indices des

deux svslèines, leur sont échangeables.

Cela po.sé, les subsiitulions g'', U, V, jointes aux substitutions abéliennes propres contenues dans 1’, rormeroni un groupe N' évidemment plus général (|ue N, et dont les subsiitulions seront abéliennes propres.

707. làiiioLi.AiHE. — Le gmupe V , el plus généralement les groupes (lécomposahles formés à l'aide de 1’, ne devront être employés dans nos eonstruclions romme groupes auxiliaires, epte si l’ufie au moins de celles de leurs substitutions qui multiplient les exposants d'échange par des non résidus quadratiques de - est utilisée dans la construction (sans i|uoi je groupe obtenu ne serait pas général J.

En effet, .soient •!., un de ces groupes; son degré. Le groupe ,M, formé par celles de ses substitutions qui multiplient les exposants d'échange par un résidu quadrali(|uc, s'obtient en combinant ensemble : i" le groupe N ; i" un groupe D^doiit les substitutions permutent les À couples de

DE LA RfïiOLn’lON PAR RADICAUX. SlT

s vslPine.‘i (oui d'une pièce; 3“ une suhslilulion y qui multiplie tous les indices par g. Cela posé, le f^roiipe (N', D, 7) sera résoluble, el ses sub.stilulions seront abéliennes. Soit I,,, l’un des groupes résolubles les plus généraux parmi ceux qui contiennent ce dernier groupe, et sont conienus dans le groupe abélien.

Soit maintenant F, un groupe dans la construction duquel figure le

groupe I.,, seul nu conjointement avec il’autres groupes auxiliaires 1/ ;

et supposons que les premières corrélatives des substilutiuns de F, appartiennent toutes à M,. Le groupe I’,,, construit à l'aide des gro'upes auxiliaires L,|, L'|,..., sera plus général que F,; en efTcl, L,, contenant ,M,. F,, contient évidemment toutes les substitutions de F, ; d'autre pari, L,, conlicnt la substitution abélienne propre U, que L, ne contenait pas; F,, contiendra donc une subslilulion dont la première corrélative se réduit à U, et brs autres à l'unilé, laquelle substitution n'est pas contenue dans F,.

708. TiiéoBèME VII. — Les groupes indécomposables de secondv calegorir cl dans lesquels p*" = 1* doivent être e.rclus comme non généraux {ou formant double emploi).

Soit F l'un des groupes en question; son premier faisceau est formé des puissances de la substitution g qui multiplie les indices de la r + 1''"' .^-rie par étant racine primitive de la congruence g’ ~ 1 (mod. 2). Supposons que chaque série contienne indices; n, étant premiers et

divisant 9, se réduiront à 3,'Soient B A',, B',,... les doubles suites

qui servent à former F, et la substitution qui remplace chaque indice par son correspondant de la série suivante. Les substitutions g*, ,.\J, .A'*.... .se

réduisant à l'unité, sera échangeable à g*. A,, B .V,, B' Elle le

sera en outre, à g* près, è toute substitution Vdu groupe F. En effet, x'’ étant

permutable au groupe dérivé des substitutions g’. A,, B A',, B'

auxquelles $’ est échangeable, leur est échangeable. D'ailleurs elle

est de la forme ‘l’S, S ne déplaçant pas les séries; S sera elle-même échangeable aux substitutions ci-dessus, el par suite se réduira à une puissance de g.

Soit donc 5’ <• = Of’g? : 5” ayant pour ordre 3, il en sera de même de sa transformée : mais (<f’g^;* = ï‘gff =r g”?; donc a ip 5=0 (mod. 9) ou (5 = O (mod. 3). Les substitutions g*, <f’ forment donc un fai.sceau de substitutions échangeables entre elles, auquel toutes celles de F sont permutables. Donc F est contenu dans l'un des groupes résolubles les plus généraux parmi ceux dont les substitutions sont abéliennes (hypoabéliennes) .

•;w ‘ , LIVRE QUATRIÈME.

i:t dont le premier faisceau eonlienl g* et ï’. Soit F' ce groupe qui contient F ; il .sera plus général; mais nous sommes dispensés de le démontrer : car fùt-il identique à I', il se présenterait dans le calcul sous une forme différente, son premier faisceau contenant huit substitutions au moins d'ordre .3, b savoir^, u” et leurs combinaisons, tauilis que le premier faisceau de F n’en contient que deux, et Le groupe F devrait donc être exclu comme formant double emploi.

709. Tiif.oKKME Vlll. — Un groupeY iiutéiomgosahle de seconde ralégone, et dans lequel />” = 3’, ne peut être général : i" si citaque série ne contient qu'un indice; -x" si chaque série contenant a" a'' ... indices, le nomhrc :k'. déjim comme (tu théorème F, est nui ou pair.

i“ Si chaque série ne rontieut qu'un indice, soient g une racine primitive de la congruence ^‘ = J (mod. 3), « une racine de la congruence e‘' i-- i; F sera dérivé des substitutions

Cela posé, les substitutions g' et ‘î sont d’ordre 4, ont pour carré g‘‘, et sont échangeables entre elles, b g'' près. On délerinincra aisément une substitution abélicnne U qui transforme g-, g, ‘î en g’, g'S, g; et l'on vérifiera que le groupe (g, 'JP, U, T), plus général que le proposé, est ré.soliihle.

a“ Si chaque série contient plusieurs indices, op raisonnera comme au théorème V, en remplaçant A par ‘f .

710. TnÉoiubiic IX. — Soit F un groupe indécom/tosable de seconde catégorie, dans lequel /)” se réduise à le groupe N, formé parcelles de ses substitutions qui sont abéliennes propres, sera contenu dans un autre groupe plus général et formé de substitutions abéliennes propres : i" si chaque série ne contient qu'un indice ; a" si chaque série contenant plusieurs indices, le nombre tx , défini comme au.théoréme F, est nul ou pair.

Supposons que chaque série ne coniienne qu'un indice. Soient g, e des racines primitives des congruences g*^ i , c" = — i (mod. 7); g une substitution qui multiplie l'indice de la r -1- 1'""' série par^t"^ ; 'i celle qui le remplace par son conjugué de la série suivante, multiplié parer’. |.es sulistilutioiis g’ et î ont leur carré égal b g', et sont échangeables entre elles, b g' près. Cela pn.se, on construira aisément une substitution abélicnne

DE I.A nfiSOIXTIOX l'AU RADICAUX. 5W

propre U qui transforme g', '£ en 'f, ‘îg'i et l’on vériticra que le groupe Ü, g), plus général (iiie N, est résoluble.

L'extension du théorème au cas où chaque série contient plusieurs indices se fait comme au théori me V.

711. GmociAiRK. — !.e giviipe F, et plus génèrakment , les groupes décomposahles formés à l'aide de 1' ne des'ront être employés dans nos construvlions que-si l'une au moins de celles de leurs subslitulions qui midtiplienl les cj posants d’échange par des non résidus quadratiques de ^ est utilisée dans la construction. •

La démonstration est identique à celle du n° 707.

712. .Soient 1., L',... des groupes primaires, résolubles, et aussi généraux que possible, parmi ceux qui sont respccliveinenl contenus dans les groupes abéliens (dans l’un des groupes hypoabéliens) de degrés rr’*, rt”^,.... .Associons leurs substitutions de toutes les manières possibles, de telle sorte que les substitutions associées multiplient les exposants d'échange |iar un même factetir. Soient

un système quelconque de subslitulions associées, multipliant les exposants d'échange par un facteur X-. On pourra lui faire correspomire la .snbstilution

qui appartient au groupe abélien (à l’un des groupes hypoal)éliens}-ile degré et qui multiplie les exposants d’échange par k.

Le groupe L,, formé par l’ciisemble des substitutions V,, sera évidemment résoluble et non primaire. .Nous l'appellerons le groupe résoluble corr^/exe équivalent aux groupes primaires L, L' .

Soient maintenant F un groupe primaire indccoinpo.sable, assujetti ou non à la condition d’être formé de substitutions abéliennes ( hyponbéliennes) ;

F sou premier faisceau; .A,, H ; .A',, B’,,...; A',, B",...;... les doubles

suites, et L, L', I.",... les groupes auxiliaires de degrés k”, rr'” , n"”',...

■V« UVIIE yUATRlK-ME.

(|ui c-olu'out’cnl il sa consti'iictioii. Supposons ipic plusieurs des nombres n, rt', r.' ,... soient égaux, et qu’on ait, par exemple s = n'. Soit L, le groupe l'omplexc éi|uivalcnl a L, L'. Assoeions de toutes les manières possibles ses substitutions à celles de L',... de telle sorte que les substitutions associées niulliplicnt les exposants d’éeliange par des facteurs respectivement congrus à une même puissance de p ''à une même expression de la forme {— l 'pp^,

si r l'St de première catégorie], suivant les modules n, n”, A chaque

svslèinc de substitutions conjointes V,, V",... correspondront celles des

substitutions de V (|ui ont pour corrélatives V, V', V" V, V' étant les

lieux substitutions dont l'association donne V,. Iléciproquemeni, soient une substitution quelconque de T, V, V', V",... ses corrélatives : corres-

[londra au système V,, V"

Nous obtenons donc le résultat suivant :

On peut remplacer, dans la construction des givupes F, les groupes auxiliaires dont le degré serait une puissance d'un même nombre premier par un groupe auxiliaire unique, mais ( omplexe, qui correspondra à la double suite conqdexe formée par la réunion des doubles suites qui correspondaient aux groupes qu'il remplace.

r,e groupe F devant être général, on devra évidemment admettre ipie ce nouveau groupe auxiliaire est lui-inëme général, autrement dit, n’est contenu dans aucun groupe analogue, primaire ou complexe.

713. TiiKOHè.Mt X. Tout givui>e F, dans la construction duquel figurent deux groii/ies auxiliaires semblables ou improprement semblables, doit être rejeté.'

Soient en effet L, L' ces deux groupes auxiliaires, de degré n”;

V=:lx„r„. . d,x,s- c,r, s- . . ., b\x, -h d\y, -t- . les substitutions de L;

y jî'.a:', -►a'./, |....

celles de l/, que la substitution abélieniic

transforme par bypotlièse en substitutions analogues à V sauf le ebange

DE LA KÊSOLl'Tlt)N PAB BADICAUX. »5I

incnl (Je ar,, en x\,y\ Il est clair (ju’eii prenant pour indices in-

dépendants X,, Y,,... les substitutions V' prendront la furinc des substitutions V, sauf le remplacement de x,,y,,... parX,, Y,

Soit maintenant i le facteur par lequel S mulli|dic lus exposants d'échange; et formons le groupe complexe h,- équivalent à L. I/. Ce groupe est contenu dans le groupe plus général L, dérivé de la- combinaison de I., avec la substitution

Ie(|uel est évidemment résoluble, primaire, et contenu dans lo groupe alié*licn (dans l'un des gioupes hypoabéliens) de degrés".

Considérons maintenant un groupe F, dans la construction duquel tigurenl les deux groupixs auxiliaires L, L'; supposons, pour fixer les idées, i|u’un troisième groupe auxiliaire L", ayant également pour degré une pui.ssance de n, figure dans la construction. On peut remplacer ces grotquîs auxiliaires par un seul groupe complexe A, qui leur soit équivalent, et (|ue l’on pourra évidemment obtenir en cemplaçunt d’abord h, V par le groupe é(|uiAalent I,,, puis en remplaçant 1.,, I." |iar le groupe équivalent A,. Or soit Aj le groupe complexe équivalent aux deux gruupcs primaires l.j, L"; il eonlicul évidemment A, ; le groupe F-, analogue à F, construit avec A j contiendra donc F, (|ui devra être rejeté, soit comme moins général que F^, .soit comme faisant double emploi avec lui.

71 i. Tiikobkme XI. — Soit L un (;roupe di-conipotable de seconde espèce, conslruil èi l'aide d'un givupe I) dont les substitutions permutent les systèmes d'indices, en nombre et d'un groupe 1,,, dècomposable ou non, dot9 les substitutions n'allèrent que les indices du premier système. Si ). se réduit à a ou à 3, tout groupe F dans la construction duquel figureraient simultanément le groupe I, et un groupe I.' semblable à I,„, ou deux groupes dècomposables de première espèce M et M', respeetWement formes aeec L et I/, doit être rejeté.

Soit, pour fixer les idées, ). = a; cl soient x,, y”,, . . .; x, , y, , . . . les indices des deux systèmes que contient L; X,, Y,,... ceux auxquels 1/ doit être rapporté pour que ses substitutions prennent la même forme qiie.celles de l,„. Soient D., le groupe formé par les six substitutions qui permutent

d’un mouvement d’ensemble les trois .systèmes x,,j ; x\, y ; X,,

Y,,...: L, le groupe dècomposable dérivé de la combinaison de D, et de L.; -Mj nn groupe déeomposaiile de première espèce formé avec Lj. Il est clair

va LIVRF. yVATKIEMl;

i|iie La et Mj sont résolubles et primaires; (|ue leurs substitutions sont abélicnnes (hy|)oabélienncs); enfin qu’ils sont plus généraux que les groupes onniplex’es L,, M,. respectivement équivalents à L, L', et à M, .M'.

Cela posé, la démonstration s’achève comme au théorème précédent.

713. Les théorèmes qui précèdeol montrent la nécessité des précautions indiquées au u° 700 comme devant être apportées dans l’emploi de la méthode. Ces précautions étant observées, et soit qu’il s’agis.se de ré.soudre les problèmes A, B ou C. il restera un certain nombre de formes types, à l’une desquelles pourra se ramener, par une notation convenahie, chacun des groupes cherchés. Detix de ces groupes, L et seront dits fuueils, s’ils sont semblables, et si de plus ils ne sont susceptibles d’étre amenés qu’à l’une des formes types ci-dessus. (On pourrait concevoir que, par un changement de nutation, on pût mettre successivement un même groupe sous plusieurs formes types différentes.) Cela posé, pour prouver que les groupes qui restent sont tous généraux et distincts, il suflit de prouver le théorème suivant :

Thkobkme .\. — fVi gimtpeii, résoluble et transitif, construit par notre méthode, ne peut contenir un autre groupe analogue L s'il ne lui est pas pareil.

. Ce théorème est intimement lié aux deux suivants :

Tiikohkme b. — Cn groupe 1^, résoluble et primaire, ne peut contenir un groupe analogue, mais non pareil, L.

Tfikohémk C. — Soient et L deiiæ groupes résolubles, l'un primaire, l'acre primaire ou complexe, contenus dans le groupe abélien de degré p^"-, i un entier généralement égal à zéro, mais égal à un diciseur impair de p — i , dans le cas particulier où quelqu'un des groupes primaires et indécomposables qui senent à la construction de. L serait de degré y” (m étant une puissance de a), et rorresjiondrait à une décomposition m — vTé'tt"’ ,.,.'oùroncût v = i. /.c groupe J formé par celles des substitutions de L qui rnidtiplicnt les exposants d'échange par des puissances de g' ne peut être contenu dans si L et iT ne. sont pas pareils,

Si l'on a p — 3, et que et ]. eloicent être contenus dans l'an H des groupes hypoabéliens de degré p'", soit I le groupe permutable au,v substitutions de 11 et contenant la moitié de ces substitutions dont l'existence a été établie (tî72). Le théorème subsistera en prenant pourl le groupe formé par celles des substitutions de L qui appartiennent à L

DE LA RÉSüLlTlON HAIl RADICAUX. «a

Nuus i-tiiblirons du même coup ces trois tliéorémes, en prouvant qu'uiicun il’cux no saurait être en défaut pour les groupe.s d’un cerlain degré, à moins que l’un d’eux ne fùl en défaut pour ceux d’un degré moindre. On aurait donc une infinité de groupes de degrés décroissants pourchaeun desquels l’un des tliéorémes serait faux, ce qui est absurde.

.Nous supposerons donc dans ce qui va sviivrc qu’aucun des trois lliéorcnies ne soit en défaut pour les degrés inférieurs à celui du groupe j; que l’on considère : et nous verrons alors q’u’ils sont vrais pour ce groupe liiiméme.

ü\ RE OlATlUkME.