CHAPITRE VII

INfH-PENOANCE OES (SROrPES RESTANTS.

§ I. — RkDCCTIOS Di: IIHUinKMF. A AD THÈORKME B.

7l(i. I.F.AUll'. — Soi/ L UH groupe lésoluhie et primitif de degré M, concspnndant à une décomposition M = ... et formé de groupes partiels A,

A'i A",.... É’n réunissant dans un premier système, d’abord toutes tes racines tfue déplace le groupe partiel 'A'. A’,..-.), puis celles-là seulement que déplace le groupe (A",...), etc., on obtient évidemment une suite de groupements des racines en q hypersyslérnrs I, contenant q'q"... racines, puis en qq' systèmes !<, S,.... ne contenant plus que q"... racines, etc. Mais il sera impossible de trouver aucun autre groupement des racines en systèmes tels, que chaque substitution de I. remplace les racines d'un système par celles d'un même système.

Supposons, i-n effet, un scmlilablc groupement effectué. Soient A, A',... les nouveaux systèmes; admettons, pour fixer les idées, que toutes les racines lie 2 appartieniijciit au même hypersyslème 1, mais que diyix d’entre elle.s, a et a,, appartiennent à deux systèmes difféients S et S,. I.es substi* tutions (A’,...), n’alléraut que le systimie S, ne déplacent pas «, : donc elles remplacent les racines de 2 les unes par les autres; mais elles font succéder à a les diverses racines de S; donc toutes les racines de S font partie de 2. De même, le groupe transformé de A",...) par celle des substitutions de A' qui remplace S par S, ne déplace pas a et fait succéder a a, les diverses r.acines de S, : donc ces racines font partie de 2. De même, si 2 contient une racine d'un autre système Kj, il les contiendra toutes. 2 contient toutes les racines de I ; car, s'il n'en était pas ainsi, I contiendrait un système S' dont les racines ne feraient pas partie de 2; mais A' contient une substitution qui remplace S par S'; elle remplacei’ait les systèmes S, S,, Sj,..., qui forment 2, par d'autres systèmes S', S',, S’j,..., dont la réunion formerait un des nouveaux systèmes 2'. De même, si S" était un autre système contenu dans I,

I contiendrait une nouvelle suite de systèmes S", S’,, S’,,... constituant un

. ■ t)E I V BÉS01,t:TI0N PAU RAItICALX. SNS

(les nouveaux systèmes i", etc. (Iliacunc des substitutions de A', devant reni- (daecr les racines de cliacun (Iffs systèmes 1, i', par les racines d'un

tnétne système, remplacerait les systèmes de chacune des suites S. S,, S.j....; S', S',, S', par les systèmes d’une même suite: elles ne permuteraient donc pas ces systèmes primitivement, comme cela doit être.

1 contenant ainsi tmiies les racines de 1, cl n'en contenant, par hypothèse, aucune autre, se conlond avec I; et les autres systèmes i' se'

conrondront avec 1,,... que les substitutions de A font succéder à 1. On .se trouve ainsi retoinhersur un des anciens groupements.

Hemarque. — Quel que soit celui des groupements des racines en systèmes que l’on adopte, il est clair que L résulte de la combinaison de deux groupes partiels : l’un permutant les systèmes entre eux en remplaçant les unes par les autres les racines correspondantes ; l’autre permutant entre elles les racines do premier système .sans déplaeer les autre.s.