théorème \ est vrai si est non primitif

Cette proposition est évidente si L est primitif. Car étant non primitif, ne pourra évidemment contenir un groupe primitif.

Supposons donc L non primitif: et soient qq'q’... et xx’jT-" les deux décompositions du nombre .\] auxquelles correspondent respectivement I. el.Ç^. Les racines peuvcnlctre réparties entre x systèmes S, S',... contenant ■ chacun X X”-" freines, et tels, que chaque substitution de remplace les . racines d’un même .système par celles d’un même système : <, résultera de la conihinaisun de deux groupes partiels, l’un A permutant les systèmes entre eux, l'autre (A', A",...) permutant entre elles les racines du premier système S sans déplacer les autres.

L étant contenu, par hypothèse, dans c , ses .substitutions remplacent les racines de chacun des systèmes S, S',... par celles d’un ménVe système. Donc b résulte de la combinaison de deux groupes partiels: l’un D permutant d’un mouvement d'cn.semblc les systèmes S, S',...; l'autre D' permutant . ensemble les racines de S sans déplacer celles des autres systèmes (716).

Pour que I. soit contenu dans il faut évidemment que D et D' le soient respectivement dans A et (A', A",...), ce i|ui ne pourra se faire (|ue si D est pareil à A, et D' à (A', A",...), le théorème A étant vrai, par hypothèse, pour les degrés x et X X”- • • inl^éricurs 'a, M. .Mais alors L serait pareil à contrairement h l’hypothèse.

718. Xe théorème A est. vrai si .(^ est primitif et I. non primitif

Soient .M = p" le degré commun de ces deux groupes; fè‘ le nombre dc.^

•■‘■Kl UVRE OUATWÉME.

systèmes tians I,, chacun d'eux étant choisi de manière à contenir le moins possible de l•acincs; le nombre des racines de 'chacun d'eux. Le ftroupe L contient un groupe partiel F dont les substitutions ne déplacent que les racines du premier .système; et ces racines étant caractérisées par n — « indices x, x’,..., F résultera de la combinaison des substitutions

il I X, x',. . . X jS, x'+ 3', .. . 1,

qui déplacent racines, avec des substitutions de la forme

{■/) j X, X*,. . . iix -i hx'-t-. . . , a'x ■+- b'x' + . ...... [.

tks dernières substitutions, ne déplaçant pas la racine oo..., déplaceront moins de /»" ’ racines. D'ailleurs elles ne se réduiront pas toutes à runité, à moins qu'on n’ait [/’ ’= a.

D'autre part, les (f racines étant caractérisées par n indices v, y' les

.substitutions de < seront de la forme linéaire

I y, y',- ■■ cy+ rfy'-l- 1- y, c’y -)->y'+ . . . + y’, . . . |.

Pour qu'une substitution S de cette forme laisse immobile la racine yy'..., il faut qu’on ail

' yxzey-¥ ily'-i- . . >•'— c'y -i- y*, . . . (mod./>).

Si S ne se réduit pas à l'unité, l’une au moins des relations ci-dessus, la première, par exemple, ne sera pas identique. Si elle .se réduit à '/^o, elle devient impossible, et S déplace toutes les racines; dans le cas contraire, elle déterminera la valeur d'une des inconnues y, y',. ,. en fonction des autresi qui peuvent être choisies de manières distinctes tout au plus. Donc S ne pourra laisser immobiles plus de racines; donc chacune des substitutions de cl n fortiori chaque substitution de I, l'unité exceptée) déplace au moins/;" — /»"*' racines.

On aura donc, .si a, l’inégalité impossible

.Si />"”*= 2, on aurait l’égalité

a = = P* — yc-', d’où y=;4- ■ •

.Mais ce cas est exclu (701). .

nE U nÉSOLUTIOX par radicaux.

719. TitÉoHKME. — Soient i^un groupe résoluble et primitif de degré p''-; i son prçmier faisceau ; <P un groupe contenu dans et dont les substitutions soient échangeables entre elles, ['ordre 0 de ^ ne pourra dépasser jf.

Chacune tics suhstiluliuns de 4> est le produit d’une suhsliiuliuu linéaire N par une .stihsiitution P apparlcnnnl à d. Soient NP, N'P',... ces substitutions : le groupe >1 == (N, N', . . . ) , i.soinorplie à <l>, aura ses substitutions cchangealiles entre elles, et l’on aura 0 = 00,, U étant l’ordre de T, et 0, celui du groupe formé par celles des substitiition.s île 1* tpii appartiennent à d.

Supposons le groupe <t> choisi de telle sorte que 0, et subsidiairement O,, soient maxima. Nous allons voir que l'on aura <1' = •■*, 0=y»*, ce qui établira notre proposition.

720. Chaque substitution de «h a poiu ordre une piiissance de p. Car, s’il en était autrement, <t> résulterait de la combinaison de deux groupes K et K, respectivement formés par celles de ses suh.stitiitions dont l’ori^fc est premier à p, ou puissance de p (173). L’orilre de F divisera un produit tel t|ue (/>’— i) i).,.; et parmi les substitutions de d, il en existera qui sont échangeables aux substitutions de E, sans l'éirc à toutes celles lie F .'186). Ces substitutions ne peuvent faire partie de <l>; car il est clair qu'elles ne peuvent être échangeables à toutes celles des substitutions de <I> dont les premiers facteurs appartiennent à F. Mais elles le sont à celles dontles premiers facteurs appartiennent à E: et, jointes à ces dernières substitu-

tions, elles forment un Kroupe dont l’onlre ; ' , , -

à 0; résultat absurde.

sera supérieur

721. Cela posé, t’ résulte de la combinaison de avec un groupe résoluble et primaire H, lequel contiendra M'. Supposons que, le groupe H étant ramené à sa forme type, les indices s’y réparti-ssent entre / systeme.s, contenant chacun y séries, contenant chacünc jx = rr'n'^... indices.

'F ne contiendra aucune substitution qui déplace les systèmes. En effet, supposons que scs substitutions déplacent l'un d’eux. S,; soient S,,..., S„ ceux avec lesquels clics le permutent. L’ordre de q-’ sera égal à rnu, v étant l'ordre du groupe ij. formé pur celles de ses substitutions qui ne déplacent pas S,. En effet, soient T, T',... les substitutions de ij/; l’un quelconque des .systèmes S,,..., S„; U une substitution de *F qui remplace S, par Sp : q' contiendra u substitutions Tl,’, T’ü,... (|ui produisent ce même remplacement. .

Les substitutions de | ne déplacent aucun des systèmes S,,,.., S„,; car si

•;;« LIVRE OüATRlLME.

l'une d’elles déplaçait S^, elle ne serait pas édiangeahle à T. Cliacune d’elles est dune de la forme V,...V„,\V, désignant une sul>|titulion qui ii’allcri; que les intlices de S^. qu'elle remplace par des fonetioDS Ihiéaires de ces mêmes indices, et \V une sulislitulion ijiii n'altére <|ue les indices des

systèmes antres que S S„, et les remplace par des fondions linéaires

de ces mêmes indices. Les siihslitulions de ayant pour ordres des puissances de p, chacun des facteurs partiels V V„, W jouira évidemment

de la même propriété.

Prenons pour indices indépendants dans chaque système, à la place tics indices imaginaires actuels, un noiiihre égal tic fonctions réelles y,, (•', e„, u-',.... On peutsupposcr les inilices e^, v\ ,,,. dioisi.s

tic telle sorte, qu'ils se partagent en un certain nombre de classes telles, ijue chacune des substitutions partielles Vj,... accroisse sjmpicment les indices de chaque clas.se île fonctions linéaires des inilices des classes précédentes (181). Soient Cp ceux de ces indices qui appartiennent à la

dernière cinssc. Celles des substitutions de qui accroissent les Àj -t-...-*- /„

indices c,,..., e',*'*'’; ...; ' de quantités constantes sans altérer les

autres indices sont étidemment échangeables aux substitutions de iji. Mais aucune d'elles, sauf l’unité, ne sera échangeable à toutes celles de T, on, ce qui revient au même, à toutes celles de ih; car si l’une d’elles altère l’indice Cp, par exemple,' elle ne pourra être échangeable h U. Ces substitutions n’appartiennent donc pas à ‘è; mais elles sont évidemment échangeables à toutes celles des substitutions de ‘h dont les premiers facteurs appartiennent à ij-, lesquelles forment évidemment la w"'"' partie du nombre total; en les combinant à res dernières ou obtiendra un groupe de substi-

tutions éebangeables entre elles, doM l’ordre sera * — O, exprc.ssiun

au moins égale à U, même dans le cas défavorable où X,,..., X„ se réduiraient à l’unité, et pour lequel O, .sera remplacé par Donc O

ou tout au moins 0, no scraicnfpas les maxinia supposés.

722. Soient T',, l'j,... les groupes partiels respertivenieni formés par celles des substilulioiis de H qui n’altèreiit que les indices des systèmes S,,

Sj....; F, le premier faisceau de 1’,: A,, B,...., A,, B,; A',, B' ;... les

doubles suites, et l„ I.',... les groupes atixiliaires correspondants, de degrés n’*, i:'’®',..., qui coneourcnl à la ronslrurtion de F,; les in-

dices indépendants auxquels il faut rapporter F, pour le ramener à sa forme type. Les substitutions de H' ne déplaçant pas les .systèmes, cliacune d’elles est un produit de substitutions partielles appartenant respectivement

DR LA RtSOLl’TION PAR RADU’ALX. -N-Vi

à l'i, r, Soit 'F, le groupe l'ormé par celles de ces stibslitiilitms par-

lielles qui appartiennent à 1',. (■.haciine d’elles s«‘ra de la forme 'JC étant la siilistitiition qui remplace eliaque indice de 1’, par son correspondant de la série suivante, et ^ une sulislitutiun qui ne déplace pas les séries. Kn outre, les substitutions île 'I', .seront toute.s de la forme ^ ou ré.sulteront de lu combinaison de sidisiitutions de celte forme avec les pui.ssances d'une seule substitution V, =: ‘jC*.J , dans laquelle à divise y (."iôT j.

ne contient ainune substitution de la forme lin effet, supposons qu’il en contienne une, V,; et soient ij/, le groupe foriné par celles des substitutions de 'f, qui se réduisent à la forme .J , ç, le groupe foriné par les substitutions correspondanlcs de ‘l>. 11 est clair que ces groupei^ renfer-

nieront respectivement la ^ partie des subs^tilulions de 'f, et de «I*.

Gela posé, parmi les substitutions de .f qui n’allcrcnt que les indices du premier svsicine, il en existe qui sont échangeables à toutes les snbstilulions de 4', (721). Ges substitutions, rapportées aux indices ,,

prendront la forme

les quantités ««.i;... étaift des entiers complexes (nous n'écrivons pas les indices des autres sysicmes. qui restent inaltérés). Soit T, une substitution de celle forme qui soit cciiangeablc it celles de ’G, : la substitution T,, qui s’en déduit en remplaçant par . , sera écbangeuble à celles de i,, quelque valeur qu’on donne à l’entier complexe k‘, car si l'on cherche a vérifier celle échangeabililé pour T, et pour T*, on trouvera les mêmes cnnditidns, sauf le facteur commun k. Mais V, Iransfurmcra Ti en (|ui ne SC confondra avec T* que si kf' k, ce qui n'a lieu que pour des /d .systèmes de valeurs dont k est susceptible. Soient donc respcclivemeni I cl 1' les groupes formés par celles des substitutions de la forme (3) qui sont échangeables aux substitutions de 'I', et à celles de ij/,, ou, ce qui revient au meme, il celles de 4> cl de : l’ordre de 1 étant désigne par o, celui o' de I' sera au moins égal à o/d-*. Or, soient î,, j,,... les substitutions de 1;

/j,... celles de ç, : celles de 1' seront u, s,, u, r,,...; u,s,, u,r-,.. .;....

«J,... étant des substitutions en nombre ^ qui ne satisfassent à aucune relation de la forme h,.=:u,ï[j (39). Gela posé, le groupe (!', f,) contiendra les ^ substitutions «, t,, it, i/j/,, «,/j, qui sont toutes Ji.s-

.•üio LIVRE OVATIUÈME.

lincte.'; car, si l’on avait on aurait u~' u^' = Ç' ; donc

apparlicnilrait h <I>: mais cetie substitution est de la forme (3), et pour tju'une substitution de cette forme appartienne à il faut qu’elle appartienne à I; on aurait donc ce qui est inadmissible.

I.’ordrc du groupe {!', f},) serait donc au moins égal ’a O, et par suite nu moiiis égal k O; et le nombre correspondant à O, et relatif à ce nouveau groupe serait égal à ^0,; il serait donc plus grand que O,; donc 0 ou tout au moins 0, ne seraient pas \esmaxinm supposés.

723. •4", ne contient aucune autre substitution que l'unité. Supposons, en etiét, qu'il en contienne une. Cette substitution ne peut appartenir au faisceau' (F,, A,, B,,..., A', , B', ,...), dont toutes les substitutions ont leur ordre premier à p (562). Donc l'une au moins de ses corrélatives, la première par exemple, différera de l'unité. Donc le groupe A, formé par les premières corrélatives des substitutions de 4',, contiendra des substitutions différentes de l’unité. Soit

lr„v,,.. <{,x, A- c,y, d’,y, -t |

la forme générale de ces substitutions. Le groupe A étant isomorphe 'a 4',, ces substitutions seront échangeables entre elles, et leurs ordres seront des puissances de p\ ils seront donc premiers à k. On pourra donc ramener simultanément toutes ces substitutions à la forme canonique monôme par an changement d’indices convenable (176). Réunissons dans unq même série ceux des nouveaux indices que chacune des sulistitutions de A multiplie par un meme facteur; des indices conjugués appartiendront à des séries conjuguées, qui seront multipliées par des facteurs conjugués. En outre, les substitutions de 4', ne déplaçant pas les séries, celles de A sont abéllenncs propres. Chaque série aura donc sa conjointe, de telle sorte que 'deux séries conjointes soient partout multipliées par des fartcur.s réciproques. Groupons les indices en clas.scs, eh réunissant ensemble ceux qui appartiennent il la même série, nu a des séries conjuguées ou conjointes. Chaque classe contiendra un nombre pair d'indices.

Soient X l'un des nouveaux indices, qui soit altéré par quelqu’une des substitutions V, V',... du groupe A; m, m',... les facteurs par lesquels ces substitutions le multiplient; ff-’ .... les ordres respectifs de ces substitu-

tions. On aura /n''*=m'e* si ... ^ i. Donc les moindres puissances de wi.

fr--

DE LA KfcSOLimON PAH nADlCACX. 3(11

nt' ([iii SC rcdiiisent ù l'unité, auront rcspccti veinent pour degrt'S des

diviseurs de /<’, et, par suite, seront des puissances de p, telles que

/(i*. p^' Soit ^ le plus grand des exposants |3, : m sera une racine

primitive de la congruence ni'*’ , i (inod. n); et m',..., qui satisfont (‘gaiement à cette congruence, seront des puissances de m, telles que mi',.... On aura donc V'= \'i'T',..., les substitutions T',... laissant invariable l’indice .X. et par suite ceux de la même classe.

72i. Soient X,... les indices de la classe considérée; Y,... ceux des autres classes; t',,....; C,,... les substitutions corrc.spoudantes. Les exposants d'écbange des substitutions Cj.... avec les substitutions C,,... seront congrus à ïéro (241). Prenons maintenant pour indices indépendants, à la place des imlices imaginaires X,..., un nombre égal d'indices réels

e «t, e„ et, à la place de Y',..., d'autres indices réels «’ Les subsli-

tions G,, (D correspondantes à u,, e étant dérivées de C, ont

des exposants d’écbange congrus à zéro avec les substitutions C,..., correspondantes à et dérivées de C,,...; et quant h leurs exposants d'écbange mutuels, on pourra faire en sorte qu’ils soient tous congrus h zéro, sauf

(G, (GpiDp) qui seront congrus à i (232-234). Enfin, s'il ya

lieu déconsidérer le caractère de ces substitutions, on pourra faire en sorte que G|, (O, aient le même caractère o on i, et que (D,,... aient pour caractère O (258).

Soient maintenant ,t,, les substitutions correspondantes aux indices originaires et soient (',,, D E,... les substitutions formées avec .\,, D de la même manière que G,, (f> le .sont avec -i,,

et, : les substitutions G,, I),,... seront échangeables à E,... et le seront

entre elles, sauf pour deux substitutions associées G.^, Dj,, (]ui satisferont à la relation C“’ D, 'Cp Dp = Ar‘ Br' A, B, = 5. De plus, si s=a et />’’e-3

(mod. 4), G,, D auront pour caractéristique une puissance de K’— i ou

de K’-(- 1 , suivant que leurs correspondantes G,, lO,,... ont pour caractère o ou I .

Gela posé, on pourra déterminer un système d’indices indépendants fS, |j...6], tels, que G,, D,,,.,, G,, D; prennent la forme

C, = |[?, ?,...£]. D, = IU, £l.l.

où les facteurs dp, 4p se réduisent tous à l'unité, sauf le cas où G,, D, auraient pour caractéristique une puissance de K’-i-i, auquel cas a, et l>, seraient égaux à y et « -(- [j^ssa^-h )5’ = — i (mod./))] (57C),

Mii LIVnE OLATRIÈME,

725. Le groupe H’, rénulle évidemincDt de la combiii.iison d’une siibsliliilion .lyanl pour corrélalive V, avec le groupe i}.,, formé par le.s .«ubalitulions G',,... du groupe H', dont les eprrêlalives T',... n’allèi'14^1 pas les

indices de la classe X Les corrclalives élant écliangealdes à £p, oy l’iine

(|(u'lcoiu|ue f'i des subsiiiuiions de s}», iransforinera Dp enypl’.p, Dp,

/p, étaiil des subslitulions de F,. Pour que ces transformées aient mêmes < araelérisliques que Lp, Dp, il faudra que /p,// se rédui.sent à des puissanres de 5. Soit par exemple G', a pour ordre une puissance de p, telle

<jue //': et l’on aura Cp = f', Donc i (mod./i), d'où

e//î o(mod.K), et enfin e = 0. Donc G', est échangeable à fp et à Dp, et par suite se réduit à la forme

les coelTiCients étant itidépendants de Ç,, {580).

D’autre part, V étant permutable au grou|ie (£,, d<, X> le sera au groupe (F,, D,,...) et sera (580) le produit d’une substitution 3, de la

forme

où les cocfllcipnts sont indépendants de «, par une substitution E, de la c

forme (.'J).

substitution V, et les substitutions de ont chacune pour ordre une puissance de p. On peut supposer qu’il en est de meme des facteurs partiels G,. Soit en effet (s, G.je’* = i : il viendra égalité

dont les deux membres sont des formes (4) et (5), et qui ne pourra subsister que si tous deux se réduisent ,*i une même substitution f du faisceau F,. Soient e l’ordre de /, lequel est premier à p\ é un entier tel, i|ue «'/>'*=— I (mod.e); V*, .sera le produit des deux facteurs qui

sont respectivement des formes (4) et (5) et dont les ordres, divisant //, seront des puissances de p.