Cela posé, soient

de nouveaux indices indépendants, les coefficients étant indépendants

DE U RÉSOl.mOX l'An RADICAUX. ' KOR

lie £ cl lie r. Les subslitutioiis G,, G', r»|iporlées ii ces nouveaHx imlires,

ne cliangcronf pas il'ex pression; quant à la subslilution s,, elle prendra la forme

[II- ■■il 5] ['•'•••■0'. |.

analogue, mais non identique à la forme (5), et il est clair qu’en clioisi.ssant convenablement les nouveaux indices, on pourra faire en sorte que », soit réduite à sa forme canonique.

Remplaçons maintenant les indices [|, |j... c]',. par de nouveaux indices

les coeflicienls étant indépendants de et de r. La substitution »,

conservera sa forme canonique; et les substitutions G,, 6',,... prendront La lorme

Ü'aillcurs, si l’on dirige le choix des nouveaux indices comme il est indiqué au n“ 184, ils seront de deux sortes; les uns, 1^,1,... el'., e-t- i J’ ,...

que G,, G* remplacent par des fonctions linéaires les uns des autres; les

autres, [S,£>...,o^' f?< c— >]!• que ces substitutions accroissent

simplement de fonctions linéaires des précédents.

D’autre part, remplaçons pour plus de simplicité les indicateurs £,, par un indicateur unique La substitution g, ayant actuellement sa forme canonique, les indices [§£,' correspondant à un même système de valeurs de e et de r formeront un certain nombre de suites [os]’ ,..., {q — i , £ ,[ :

[qi] ;... telles, que », accroisse chaque indice de l’indice précédent de la

meme .suite, et laisse invariables les premiers indices de chaque suite; et si l’on désigne par q le nombre des termes de la suite la plus longue, par p' la moindre puissance de p égale ou supérieure à q, », aura pour ordre (150).

727. Cela posé, les substitutions de S, en nombre ,Hii n'altèrent

que ceux des indices ^ii]r où K ? — i , £< e, ne peuvent appartenir à <è, car elles ne sont pas échangeables à la substitution », G,, ni par suite à la substitution ■<? du groupe f qui fait subir aux indices du premier système l'altération X>,, ni enfin à la substitution de <I> qui a x’’ pour premier facteur partiel. Mais elles sont échangeables aux substitutions G',,..., et par

■«U LrV'RE QtATRIfcME.

suite aux substitutions correspondantes de 4», lesquelles forment un ftroupe partiel, (|ui aura évidemment pour ordre 0/<“*. En les eomlùnant à ce groupe, on obtiendra un groupe dont l’ordre O//''" sera au moins égal à O (y — I étant au moins égal à ^), et dans lequel O, sera remplacé par O, Donc O, ou tout au moins O,, ne seraient pas les maxi/na supposés.

728. Rkmarqi'r. — 4c maximum //', trouvé pour l'ordre de <I>, ne peut être atteint que si '1> contient quelque substitution de ,f, autre que l' unité. En eflét, s’il en était autrement, on aurait O — Sî=/»". Mais, parmi les substitutions île .f, il en est d’échangeables à toutes les. substitutions ilc *T, ou, ce qui revient au même, à toutes celles de <I>. En les combinant à ‘I>, on obtiendrait un nouveau groupe analogue à <1>, mais plus général. Donc pf ne serait pas le ma.rimum possible de O, comme cela a été démontré.

729. TiiéonéMK. — 4e théorème A est vrai si er L sont primitifs, à condition que le théorème II soit vrai.

Soient en effet />" le degré des groupes L; F leurs premiers faisceaux : F, contenant p" substitutions échangeables entre elles, contiendra quelque substitution de ,f, autre que l’unité. Soit s une semblable substitution. Scs transformées par les substitniions de et en particulier par celles de L, appartiendront à i. Mais ces transformées, combinées entre clics, reproduisent F. Donc -f contient F; mais ees faisceaux ont le même ordre; tlonc ils se confondent.

Cela posé, ^ et L résultent respectivement de la combinaison de F avec deux groupes primaires 5 et I : Al contenant L, 3 contiendra I. C.ela ne peut avoir lieu, par bypotbèse, que si 3 est paieil à 1; mais alors Ji sera pareil à L; le tlieorème A sera donc vérifié.

§ II. — Dû.MO!(STnATIO.X DD THÉOnéME B.

Cas où Al est décomposahle.

780. TiiKonÉME. — Tout grou/ie F formé d'après la méthode des n"’ G89- G9.8 est primaire et indécomposable.

Supposons pour plus de généralité que chaque série contienne plusieurs indices. Si le tbéorênie n’était pas vrai, on pourrait, trouver des .systèmes

DE L\ RÉSOI-UTION PAR RADICAUX. 5<Ki

tic fondions des indices tels, que toute substitution de I' remplaçai les fonctions d'un luèmc système par des fonctions de celles d'un même système.

l'un au moins de ces systèmes contiendrait une fonction dans lat/uclJe n'entreraient que les indices d' une sente série, lîn effet, parmi les fonctions respectivement contenues dans les ilivei’s systèmes, soit y l'une de celles dont les indices sont empruntés au nombre minimum de séries, et, parmi res dernières, l'une de celles qui contient le moins d'indices. Supposons qu’elle contienne plusieurs séries. Soient ifj,... rensemble de.s termes de f qui contiennent respectivement les inilices de la o-t-i''”' série, de la 64- etc. Soit enfin F le premier fai^-eau de F : ses substitutions, étant opérées sur la fonction 9, la transforment en d’autres fonctions f,... qui n'en difTcrcnt que parce (|ue les indices y sont multipliés par des facteurs coLstants.

Deux quelconques de ces fonctions, q', ne sauraient appartenir an même système, à moins qu’elles ne soient cquicalcntes, c'est-à-dire égales à un facteur constant près : car s'il n'en était pas ainsi, on pourrait détei'miner une fonction mp'-t-f", appartenant au même système, ne contenant que les indices de q, et où l'on pourrait profiter eu outre de l’indétermination de m pour faire évanouir un coetlicienl sans (|iie tous .s'évanouissent. I.a fonction 9 ne serait donc pas une de celles qui contiennent le moindre nombre d'indices.

Cela posé, chaque substitution de F multipliant les indices de la première série par un facteur constant m, et leurs conjugués par les facteurs conjugués, les transformées de 9 seront de la forme m'’“9„-e-r«'’*9j-l-...; et pour que deux semblables fonctions obtenues en posant succes.sivcnienl m m = km, soient équivalentes, il faut qu'on ait

Ar" SS /,!■* = .. . (niod./i), (l’où /,r' *=.. == I.

D’ailleurs, si V est le nombre des séries, on d’où enfin A''* ':si,

d étant le plus grand commun diviseur de b— a, c — a v. Cette relation

fournit, pour k, p^— 1 valeurs; les/)*— 1 transformées de 9 par les substitutions de F sont donc équivalentes — t h /)* — 1. Le nombre des transformées non équivalentes sera donc ^ | • .Appartenant à des .systèmes différents, elles seront distinctes. .Alais elles s’expriment par les fonctions 9,,, 9i dont le nombre ne peut dépasser les entiers a, b,... appartenant

tous à la suite a, a —