LIVRE OLATRIE.ME

a 4- ( 4 —1^ o'. On aurait donc Vo J

rclaliun al>surdc; ce qui démontre notre pro|iosilion.

731 . Cela posé, soit f une fonction ne contenant qBe les indices de la a i''"' série, et qui fasse partie d'un système Les v fonctions conjuguées qui dérivent de celle-là e^ y cliangcant l'imaginaire i en t'’, i'”,... sont distinctes, car elles contiennent des indices différents. De plus, elles font toutes partie du .syslcinc 1. Ku effet, soient X, Y,... les fonctions réelles que contient ce système : 9 est une fonction tX -a-r'Y-t-... de ecs fonctions : et ses conjuguées f'’X -t-i'^Y -t-... eu sont également des fonctions, et par suite appartiennent à 1. Le système X, et par suite chacun des autres, cnniient donc au moins y fonctions distinctes : et fiv étant le numhre total des indices, il existera au plus ji'systèmes.

TM. Soient A,, B,, A„ Bj,...; A',, B',,...;... les doubles suites qui. jointes à F, forment G, second faisceau de F. Ces substitutions permutent les systèmes transi tieement. Pour le démonlN'r, prenons pour indices indépendants ceux qui ramènent A,, Aj....; .V à la forme canonique. Soient

îL .... les transformées de par les sub.slilulions de G;

celle des fonctions dérivées de ri“lles-là où entrent le moindre nombre d'infliccs or, y,...: elle ne contiendra qu’un indice. Lu effet, supposons qu'elle en contienne plusieurs a-, y,...: la suite .V,,...;... contient une

subsliltilion T qui multiplie :r, y par deux facteurs différents q et q’ . Soient 'i'ni- ?»i< - les transformées de parT; la fonction

- «Ji., — 7fmo, 4- m'9.'„4- ...)— (mç., 4- 4-...).— — ,/'■ 3y 4- ...

contiendra moins d’indices que D'ailleurs elle est dérivée de car fai. font partie île cette suite: eu effet, soit S la substitution

qui transforme en , par exemple; , , étant la transformée de par ST: appartiendra à la suite f'.,. ..

Admettons donc que 4'„ ne contienne qu’un indice. Les substitutions B,.

DE I.A RfcSOl-UTION PAR RADICAUX. r.(!7

B,,...; B',,...;..., permuiant transilivemenl les indices île ta <i -h sérié, Iransforineront en p, fondions dislinotes, contenant ciiacunc un indice, et dont eliacune-sera dérivée des fondions Donc cette dernière

suite contient jn fonctions distinctes. Ces fj. fonctions appartiennent évidemment aux systèmes que les substitutions de G permutent avec celui qui contenait a„. Les fonctions conjuguées formées avec les indices des autres séries appartenant aussi à ces systèmes, ils contiendront p.v fonctions distinctes, total égal au nombre des indices. Il ne peut donc exister d’autres .systimies, formes lie nouvelles fonctions. ,

Les systèmes cherchés contiendmnt tous le même nombre de fonctions distinctes. Car si l'un d'eux, 1,, en contenait plus qu’un autre, i, il est clair que la substitution de T qui remplace par 1 aurait son déterminant congru à zéro, ce qui est absurde.

733. Cela posé, si une substitution T de G ne déplace pas le système ü, elle n’en déplacera aucun. En effet, soient un système quelconque; U une substitution de G, qui le fasse succéder à i : U“'TIJ ne dé|dacc pas le système 2'; tuais celle substitution e.st de la forme/T,/ étant une substitution de F. Or 9 étant une fonction des indices de la a -t- i''™' série, il en est de même de. la fonction 9', appartenant à i', que U lui fait succéder: donc / la mullipricra, ainsi que 9, par un simple facteur constant; donc elle ne déplace pas i'; donc T ne le déplacera pas non plus.

On voit par là que les substitutions de F laissent les systèmes immobiles. Si toutes les substitutions de G jouissaient île cette meme propriété, il n’y aurait qu’un système, et F serait indécomposable. Dans le cas contraire, les

doubles suites A,, B ; .A',, B',,...; .\\, B',...;... pourront être partagées

eu deux especes: celles dont tous les termes jouissent de cette propriété; celles pour Ic.squelles le contraire a lieu. .Admettons, pour fixer les idées, qu’il y ait trois doubles suites, dont la dernière appartienne seule à la première espèce; et soit |u = ré’n"‘'n"^ le nombre des indices de cbaque série. Les indices se partagent également entre n"’’ classe.s, en groupant ensemble ceux que les substitutions A',, A«,... multiplient par le même facteur; on en conclut, comme au numéro précédent, que des transformées de 9,, ....

par .A', A',,... combinées entre elles on peut déduire une fonction <{i„ ne

contenant que les indices d’une seule classe. Les substitutions B' , B",

permutant les classes entre elles, donneront de au moins r"’” transformées distinctes. Donc les transformées de 9^ par A', B’ ,... fournissent au moins n'"^' fonctions distinctes; leurs conjuguées sont également distinctes :

.’i68 LIVRE QlUTRltME.

<l»iic i, i|ui eonlk'Dl toule-t ces fondions, conlieni nu moins vk '’ indices; d le nuinhre des sYsIèines sera au pins égal à Les sulistilutions de la

forme AJ' B}'... A *' B,’’... ûlant en nombre supérieur à celui des

systèmes, deux au moins d'entre elles remplaceront le système i par un même système 2i'; en les combinant ensemble, on obtiendra une substitution T lie la forme /AJ' flj'... A*' B,’'... qui ne déplace pas le système 1, ni, par suite, aucun autre système; d'ailleurs l'un au moins des exposants a,,

jS a,, P', par exemple a,, différera de zéro. Cela posé! soient L, L',

f," les groupes auxiliaires respectivement correspondants aux doubles suites A,, B ; , B' ; A’ , B' A le groupe formé par celles des substi-

tutions de L qui sont abéliennes propres: M le groupe formé par celles des substitutions de F qui ont pour premières corrélatives les substitutions de A, et dont les autres corrélatives se réduisent à l’uuité. Ce groupe sera formé par celles des substitutions de F qui sont échangeables, aux F près, à celles de chacun des faisceaux (F, A',, B',,...),"(F, A’, B',...); mais l’une au moins IJ des substitutions de .M ne sera pas échangeable, aux F près, à yAJ'BJ'....

Fn effet, soit 4> le groupe formé par celles des substitutions du faisceau

(F, A,, B ) qui sont écliangeablcs, aux F près, à toutes les substitutions

de M. Le groupe «F', transforme de 3> par une .substitution quclcuu(|uc de F, sera formé par celles dus substitutions de (F, A,, B,,...) qui sont échangeables à celles de .M', transformé dc.M, aux substitutions près du groupe F', transformé de F. Mais les substitutions de F, étant permutables à F, ainsi qu'à (F, A',, B', ,...), (F, B’i ,...), le .seront évidemment à .M; donc F'=i F, M' = M, Pt par suite <!>' = 'F. Donc <F est permutable aux substitutions de F. .Mais il contient évidemment F. S'il contenait /AJ'Df'..., il contiendrait ses transformées par les substitutions de F, lesquelles, combinées

avec F, reproiluisenl tout, le faisceau {F, A,, B ). En eflét, soient

.V;' s!>î’... = |j?i, V X, -t-7,, y-, -t- J,,... I les substitutions respective-

ment correspondantes à celles de la forme /AJ'BÎ'.... Si les transformées de /.\J'BJ'... par les substitutions de F, jointes aux F, ne reproduisaient

pas tout le fai.sceau (F, A,, B ), les transformées de .vj'ifcJ'... par les

siikstitutions de L ne reproddiraient pas tout le fai.sccau (.L,, vi,, ,...). Le fai.sceau dérivé de çes transformées ne serait donc pas transit'if. Le groupe

(-v,, «!, L), dont les substitutions lui sont permutaldes, ne serait pas

primitif (53), et L ne serait pas primaire, contrairement à notre construction. Les substitutions de.M seraient donc échangeables, aux F près, à .\|, B et le groupe A formé par leurs premières corrélatives ne con-

tiendrait d'autre substitution que l'unité ; résultat absurde (592).

DE I.A RÉSViUmON PAR RADICAUX. f«lî>

Cria posé, la substitution T“'.l)”'TU appartiendra évidemment au faisceau (A,, B,,...) et non au faiseeau F. Or celles des substitutions de G (|ui ne déplacent pas les systèmes sont transformées par toute substitution de F en substitutions qui appartiennent à G et ne déplacent pas les systèmes; elles forment donc un groupe permutable à toute substitution de F; ce groupe, contenant ï, contiendra T ‘.U“'TII, et ses transformées par les substitutions de F. Mais ces transformées, jointes aux substitutions de F. lesquelles ne déplacent pas les systèmes, reproduisent tout le faisceau

fF, A,, B ). Donc A,, B, ne déplacent pas ces sy.stèmes. contrairement .à

notre hypothèse : absurdité d'oii résulte la vérité du théorème.

• 734. Paom.BMB. — Soit I. un groupe résoluble primaire et décom/tosable.

On demande de déterminer des systèmes de fonctions des indices ç, 9’,... tels : i" (/lie toutes les fonctions linéairement formées de celles d'un même système a/ipartiennent également à ce système, et soient cssentidlcment distinctes de. celles qui dérivent des fonctions des autres systèmes; 2" que les fonctions de chaque système dépendent linéairement d'un même nombre de fonctions distinctes ; !5“ que le nombre total de ces fonctions distinctes soit égal à celui des indices; h" que chaque substitution de 1, renqdace les fonctions d'un meme système />ar celles d'un même système.

Le groupe I. étant formé d’après notre méthode (688-693), les indices

-s’y répartissent en systèmes 2, et L résulte de la combinaison d'un

groupe D, dont les substitutions permutunt les systèmes d’un mouvement d’ensemble, avec un groupe F„ dont les substitutions n’altèrent que les indices du premier système. Cela posé, chacune des fonctions 9,... contenues dans les nouveaux systèmes cherchés s, est une fonction des indices des systèmes anciens i,, i,,....

73.'j. PaoeosiTios I. — f.'une au moins des fonctions 9,... s' exprimera au moyen des indices d'un seul des systèmes 2,,....

Soit en effet 9 une de ces fonctions, choisie de telle sorte que le nombre m des systèmes de la suite £,,... dont les indices iigurent dans son expression soit minimum. Soit 9 = 9a-i- 94-+- 9^ 9», 94, 9..... étant des fonctions partielles formées chacune avec les indices d’un seul de ces systèmes. Soient 9, 9',... les transformées de 9 par celles des substitutions de L qui altèrent une ou plusieurs des fonctions 94, 9c,... sans cependant déplacer les systèmes correspondants ^4, 2„... et sans altérer 9,: chai|ue substitution de L remplaçant les fonctions de chacun des systèmes tt',... par celles

WO livre OÜATRlf.ME.

lie l’un (le ces systèmes, chacune des fondions y, f',... appartiendra à l'un de ces systèmes. D'ailleurs deux iransfurinces non identiques f' et 9" ne peuvent appartenir au même système S': car ce système contiendrait 9'— 9", i|ui s’exprime au moyen des indices des m—i systèmes ne

serait donc pas le minimum supposti.

Cela posé, soient F» le groupe analogue à F, formé par celles des subslilutions de L qui n’altèrcnt (|uc les indices du système F«, Gj son premier et son .second faisceau. Soient v le nomlire des séries de i», (x le nombre d'indires de cliacune d'elles. Knfin désignons par 94,, sjj,... les fonctions partielles formées par ceux des termes de 94 qui conlieniient respectivement les indices de la a-f- 1"‘”' série, de la ■+■ i''"', etc. Les diverses substitutions de G4 n’altèrcnt pas fc,..., et transforment 94, en une suite de fonctions analogues 94,, parmi lesquelles il en est p. de distinctes C732].

Lésp'* — I substitutions do K4 multipliant d’ailleurs ces fonctions par p’— i

facteurs tous diflércnts, la suite 943, 9I contiendra au moins p(/)'’— 1)

fonctirons non identiques. .1 fortiori, la suite 94 = 941 -t- 94? -t- . . . ,

f 4 = Çta Jl-s transformées de 94 par les substitutions de G4

contiendra au moins p(p''— . i) fonctions non identiques.

On voit de même que les substitutions de Gj n’altèrent pas 9*, 94,... et transforment 9, en une suite de fonctions parmi les(|uelles p(/)*~ 1) au moins ne sont pas identiques, etc. Donc la suite des transformées de 9 par les substitutions de (G4, Gj,...) contiendra au moins [pf/j” — i)]"’"'' fonctions non identiques; ces fonctions, appartenant à des systèmes différents s, s',... seront distinctes : mais elles dépendent toutes de 9* et des indices de Ü4, ic,..., fonctions dont le nombre est i -t- (m — i)pv. On aura donc l'inégalité

[pf/r— i)j— I i)pv„

laquelle est absurde si m>i, à moins (|u'on n'ait m — 2, p=i, avec P — U, V == 2, on avec p — 'i, v = i .

736. Etudions ces cas d'exception, et d'abord celui où p =2, v = a.

Soient x„, or, ely',,, y, les indices des deux systèmes X„, 1, qui figurent dans l'expression de 9, et .soit 9 — bx,-i- ejo-t- dy, ; soit enfin ^ une

racine primitive de la congruence (mod. 2): L contient les .substi-

tutions

C = \ jr„z„ )•„ y g^x„ y., y„ . . . | .

C' = I x„ a:,, y„ y„. . . x„ x„ gy„ g’y„ . . . |,

DE U RfiSOLUTinS PAK KAniCXUX.

I.es Iransfoniiùes de ç par les neur.suksiilutions dérivées de C, C' forment neuf fonctions non équivalentes, appartenant cliacunc à l’un des systèmes eliercliés s, s' Ne contenant d’ailleurs que quatre indices, elles ne peu-

vent être distinctes. Donc deux d’entre ellc.s au moins appartiennent au mémo système; et de leur comhinaison ou déduira une nouvelle fonction ij/ appartenant à ce même système, cl ne contenant plus que trois des indices J'«, ^1, y,' J'i- Soit par exemple = jSx, -I- */>'„ -(- dv,. I.es transformées de f par les six substitutions dérivées de C et de E fourniront six fonctions non équivalentes, des trois (|uanlilés a:,, a:,, t- dv,. Ce.s fonctions ne peuvent donc être distinctes; donc deux au moins d'entre elles appartiennent à un même systèmes. Leur différence appartient à ce système et ne contient que les indices de i„. Donc m = a n’était pas le minimum supposé.

737. Soit maintenant /) = 3, v=i. Soient x, y,... les divers indices; I. .s’obtiendra en combinant les substitutions

C= I — X, C' = lx,r — r.... |... (ntod.3)

avec un groupe D, dont les substitutions permutent les indices x, y

I.a fonction ç., étant, par bypotlièse, une fonction des indices x, y de deux sysiètnes seulement, sera égale, sauf un facteur constant qui est indifférent, à x± V. Cette fonction et sa transformée parC', = xz^y, appartiendront à deux systèmes différcols de la suite 8, car si s les conte-

nait toutes deux, il contiendrait 5; — 9', qui ue renferme qu’un seul indice; m = 1 ne serait donc pas le minimum supposé.

Soit T une substitution de D qui rcniplacc x par j; elle remplacera y par X. Car supposons qu’elle remplace y par z, z par e par x; elle

permutera circulairement les fonctions x — y, J — s. z — u,..., v — x. Soient f„, s,,... ceux des systèmes de la suite s. S',... auxquels appartiennent ces fonctions; s, le premier dj^s systèmes de cette suite qui se confonde avec s,. Les systèmes S *r-i seront tous différents : car si l'on

avait 8, = 8p, les substitutions T* et T'* remplaceraient 80 par un même système s,; lais.serait donc invariable; on aurait donc *^* = 801 contre l’bypotbèse, fi — a étant <r. Il est évident d’ailleurs qu’à partir de s, on retombera périodi(|uenient sur les mêmes systèmes.

On aura nécessairement r = 1 : car dans le cas contraire, celles des fonctions de la suite x—y, y — z,... qui appartiennent à un même système, n’étant pas contiguës, sont formées d’indices diflércuts et par suite di.stinctes. D’ailleurs les fonctions de systèmes différents sont distinctes: donc

.VT2 LIVRE OCATRIfeME.

loules ces fonctions seraient distinctes : résultat absurde, car leur somme est nulle.

I.cs fonctions x — y, y — z, z — u,... appartiennent donc au système Leurs transformées x+y, —y — z, z — it,.,. par C' appartiennent à un inéii:e système; résultat absurde; car z — u appartient h et x -hy ne lui appartient pas.

Donc T remplace / parx, comme nous l’avons annoncé.

738. Cela posé, soient x' un autre indice (|uelconi|ue, U' une substitution de D i|tii remplace x par x* et v par un autre indice/' : elle remplace x-t-y et X — V par x'-t-y’ et x'—y', lesquelles fonctions appartiendront chacune à l'un des systèmes s, »',... et non au même. Donc parmi les quatre fonctions ci-dessus deux au plus pourront appartenir au même sy.stcme, et ces deux fonctions difl'éreront au moins par un de leurs indices. Donc les quatre fonctions sont distinctes : donc /' diffère de x et de /.

Toute substitution de D qui remplace x par x' ou /' remplace v par/' ou x'. Car s’il existait une substitution V remplaçant x, y par x', /", elle remplacerait x-t- y et x — v par x'-i- y" et x'— /", qui appartiendraient k «leux systèmes différents. Comparons maintenant les quatre fonctions x'dr/', x'±y’: si deux d'entre elles appartiennent au mcinc système, elles différeront j)ar un indice au moins; ces quatre fonctions sont donc distinctes; résultat absurde, car elles ne dépendent que de trois indices.

Soient x" un autre indice, ü" une substitution qui remplace x, / par x", y";/" différera, comme on vient de le voir, de x,/, x',/'; et toute substitution de D qui remplace x par x" ou /" remplacera / par /" ou x". Continuant ainsi, on voit qu’on peut grouper les indices deux à deux en liyper- .systèmes X,/; x', /';... tels, que chaque substitution de D remplace les indices d’un bypersy.stcme par ceux d’un même bypcrsystènie. .Mais cela est inadmissible : car on a déjà /) z= 3, v = i; et cette combinaison d'hypothèses nous ferait rentrer dans l'un“des cas exclus (702^

739. Soit donc y, une fonction dont l’expression ne contienne que les

indices d’un seul des systèmes i,, 1 ceux de par exemple; et soit s

celui des systèmes cherchés qui contient y,; on aura la proposition suivante :

Phopositiok h. — Toute fonction formée avec les indices de 2, sera Tune des fonctions de $.

En effet, les fonctions communes k 2, et k a dérivent d'un certain nombre

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 573

(le fondions' Si ccs fondions sonl en nombre égal aux indices

de 2,, la propo.silion est démontrée. Uans le cas contraire, le groupe r, étant primaire, l’une de scs substitutions T remplacerait par une fonction distincte des précédentes. I.cs fonctions 9' y', par lesquelles T

remplace y y„ sont distinctes entre elles; de plus elles appartiennent

au système »' que T fait succéder à s, lequel différé de 8 puisque y', n’appartient pas à 8. Donc les fonctions y y„, y',,.... y', sont distinctes.

D’ailleurs 8' ne contient aucune fonction dérivée des indices de sauf y',,..., y^ et leurs dérivées : car s’il en contenait une y'..,, 8, que T*' fait succéder b 8', contiendrait sa transformée par T~', laquelle serait distincte de y y,.

Si 1, contient plus de a» indices, I', contiendra une autre substitution ü

qui remplace y,,..., y„ par d’autres fonctions y", y', distinctes entre

elles, distinctes des precedentes, et appartenant b un nouveau système S". r.ontinuant ainsi, on voit que le nombre des indices de est un multiple de n, tel que mn, et qu’on peut déterminer m systèmes 8, s',... ayant cbacun n fonctions distinctes communes avec Toutes les fonctions des in- <lices de pouvant évidemment résulter de la combinaison de ces mn fonctions, aucune d’elles nu pourra appartenir b un .système autre que les m précédents.

Cela posé, soit V une substitution quelconque de F,. No déplaçant pas le système 2,, elle permutera ensemble les systèmes 8, 8',... qui ont avec lui des fonctions communes. Si elle remplace par exemple 8 par 8', elle remplacera les fonctions y, y„ communes b et b 8 par des fonctions com-

munes b et b 8', c’est-b-dire par des fonctions linéaires de y',,..., % . Le groupe F, serait donc décomposable, ce qui ne peut être (730).

740. La solution du problème proposé est maintenant facile. Soient T une substitution quelconque de D; 1, et 8' les systèmes qu’elle fait respectivement succéder b et b 8 ; les indices de 2, et leurs fonctions linéaires appartiendront b s'. Donc chacun des systèmes 8, est formé par les indices d’un ou de plusieurs des systèmes 2a, 2,,... (joints aux fonctions qui en dérivent linéairement).

Si s ne contient que les indices d’un seul système 2,, chacun des systèmes 8, s',... sera de même formé par les indices de l’un des systèmes 2,,

2 Supposons au contraire que 8 contienne les indices de plusieurs des

systèmes 2a, 2,,.... Admettons, pour fixer les idées, que le groupe D dont les substitutions permutent entre eux les X systèmes 2«, 2,,... corresponde

au UVRi; QUATRIÈME.

à la décoinposilion ). = qq'q"..., el soient A, A', A”,... les groupes partiels (le la combinaison desquels il est formé. Supposons enfin que dans la suite des groupes (A, A', A",...), (A', A",...), (A",...),... le groupe (A', A",...) soit le dernier qui jouisse de la propriété de déplacer tous les systèmes dont les

indices sont contenus dans s. Soient A,, l'un de res systèmes; A;, 1„,

ceux que les subslilniious de (A",...) permutent avec lui; les indices de tous ces .systèmes sont contenus dans s. En elfet s contient, par hypothèse, les indices d’un système ■!' que les snbslitutions de (A",...) ne déplacent pas: donc ces substitutions ne déplacent pas S; donc les indices des systèmes A, A„, qu'elles font succéder à ceux de A,,, qui sont contenus

dans s, le seront également.

Cela posé, considérons celles des substitutions du groupe (A', A",...) qui ne déplacent pas »; elles permutent l'iiypersystème S, formé des systèmes 2,,,..., A„| avec d'autres bypcrsyslèines analogues. S,, Sj,..., S, dont tous . les indices seront contenus dans s. Si parmi les systèmes que ce groupe déplace il eu existe un A,, d(jnt les indices ne soient pas contenus dans a, la substitution T du groupe (A', A",...) (|ui le fait succéder à A,, fera succéder

à S S, des bypersystèmes S’ S’,, dilTércnts des précédents (car

leurs indices appartiennent au système a' que T fait succéder à s j. S'il existe encore quelque autre .système A,, que (A', A",...) déplace, scs indices ne pourront appartenir à a’; car ceux du système auquel T le fait succéder appartiendraient à 8, ce qui ne peut élie, cesysième n'étant pas contenu dans

la suite S S,. Cela posé, suit U la substitution de (A', A",...) (|ui fait

succéder A,, ii A,,; elle fera succéder à S S, des bypersystèmes S’ ,...,

S' dont les indices appartiennent à un nouveau système 8". Continuant ainsi, on voit (|u’on ()ent grouper les liypcmstèmcs que (A', A",...) permute entre eux en classes, formées chacune de « hypersystèmes. Les hypersysièmes * d'une même classe jouiront d’ailleurs de la propriété d’éire remplacés par ceux d’une même classe dans toutes les substitutions de A'. Car si une de ces substitutions fait succéder S',, par exemple, à S,, clic fait succéder 8' à 8, et par suite la classe d'iiypersystèmes que contient 8' à celle (|ue coutient s. Ce résultat est inadmissible. A' permutant primitivement les hypersystèmes, par construction.

Donc les hypersystèmes S,, Sj,..., S, sont les seuls que A' permuie entre eux ; donc 8 est formé par l'ensemble des fonctions linéaires des indices qu’altèrent les substitutions du groupe (A', A",..., r„).

741 . TuéoiirsiE. — Le théorème B est irai, si est décomposabk.

DF. I..\ RÉSOLCTION P.\R RADICAUX. ST.n

Supposons en effet que L fût contenu dans Ce dernier groupe ré.sulU; <le la combinaison de deux autres; l'uii lô dont les substitutions permutent les systèmes; l'autre Ç„, dont les substitutions n’altèrent que les indices du premier système. Chaque substitution de , et par suite chaque substitution de !.. fait succéder à l'ensemble des fonctions linéaires des indices de chaque système rensemide des fonctions linéaires des indices d'un même système. Soient d'autre part l) = (A. y. A",...) et 1’, les deux groupes dont la combinaison forme L, supposé décomposnble pour plus de généralité. Nous avons vu, en ré.solvant le problème précédent, quelles sont les diverses manières de déterminer des systèmes de fonctions jouissant de la propriété cide.ssus. Quel que suit celui de ces iiioiles do détermination que l’on adopte, I. sera toujours dérivé de deux groupes partiels, dont l’un, qui sera par

exemple (A', A" P,), n’altère que les fonctions du premier système,

tandis que l'autre. A, permute les systèmes entre eux.-

II est clair que cD et Ç,, contiendront respectivement A et (A', A" r„).

.Mais cela ne peut avoir lieu que .si ces groupes sont respectivement pareils; car ils sont de degrés moindres que r , et les théorèmes A et B leur .seront applicables, par bypolbèse. .Mais alors t; et L seront eux-mêmes pareils; done le ibéorème B sera vrai. .

Cas où est indécomposable.

7-12. Dijiniiion. — Soit L un groupe résoluble décomposnble, contenu ou non dans le groupe abélien (dans l'un des groupes bypoabcliens), cl construit par notre méthode, à l’aide de deux groupes D et F,, ce dernier étant indécomposable. Soient F, le premier faisceau de F»; F„, F ses transformés par les substitutions de I). Le faisceau (F,, F ) sera dit le premier

faisceau de I,.

Si L était un groupe romplexc, résultant de la fusion de groupes primaires L', L',... (712), on considérerait son premier faisceau comme formé de la combina'ison des premiers fai.sceaux de L', L"

713. TiiKonÈMK. — Un groupe primaire L ne peut être contenu dans un groupe primaire et indécomposable que si son premier faisceau F contient .T, premier faisceau de

La démonstration est fondée sur le lemme suivant :

LfMHR L — Soient C, E deux substitutions quelconques de L; C"' E~' CE

:n(i LIVRK QUATRIÈME.

sera échani^eable aux substituiions de En eflel, C et E appRrtenanl à L, et par suite à seront «le la forme ‘f étant la substitution qui remplace chaque inilice de .ç^par son conjugué de la série suivante, et ^ une substitution qui UC déplace pas les séries (555); C~* E'*CE ne déplaçant pas les séries, sera échangeable aux substitutions de .■».

Si C est échangeable aux substitutions de d, Çr' et par suite E~‘ CE le seront.

7i4. Cela posé, admettons que les indices de I. forment ). systèmes, contenant chacun v séries, contenant chacune fc indices. Soient 1), F„ les deux groupes dont 1. est dérivé; Fj le premier faisceau de F,; F,, F,,..., scs transformés par les substitutions de 1); F = (F,, F,,...) le premier faisceau tie L. Soit enfin ^unc racine primitive de la congruence = i (niod./>) : F, contiendra la substitution g„ qui multiplie par g'' les indices de la r-+- 1''™' série du ! -t- système, sans altérer les indices des autres systèmes.

745. Lkmme II. — Toute subslilution ç Ofiparlenant à i remplacera chacun des indices de L par une Jonction de ceux de la même série.

Soit d’abord ). >i. I) contient une substitution d qui fait succéder le » T- .système au /-t-i'""''. Si l'on pose C = ^,, E = rf, il viendra C~' E"' CE = ^7'5’j- Celte substitution multiplie les indices de la r-H i''"' série du 5 -t- i''"' système par g"'’’, ceux «le la p h- i''"' série du /-«- i'*"' système par et laisse invariabbrs les indices des autres systèmes. La substitution y, qui lui est échangeable, remplace chaque in«lice par une fonction de ceux-là seulement que g,' gt multiplie par un même facteur. Or les facteurs des formes et g’’' different de l'unité, et sont en général dilTércnts. Car si l’on avait gt"’ {moA. p), on en déduirait i , relation absurde,

p> — p" ètml </F— I. Si d'autre part on avait g~>' g'*, on en «léduirall

I (niod./j), d'où i =o(mo«l./r'“— i). Cette relation est

impossible en général; cars et r étant <^v, i sera C^p'—i, à moins

qu’on n’ait à la fois /»= a, y = a. s — r = i , ou p = 3, y = i, p — r = o. [On a /F> a (555)]. Laissant provisoirement «le côté ces deux cas d’exception, il est donc établi en général que y remplace les indices d’une série quelconque du /-t- i*'"' syslimie par une fonction de ces seuls indices. Le lemme est donc démontré.

Il serait encore vrai, même dans les cas d’exception que nous avons signalés, si l’on avait X 7> a. Car nous avons établi que y remplace les indices

DE U RÉSOLUTION PAR RADICAUX, de chaque série du /+ i"*"' syslcine par des funclions qui uc peuvent contenir que les indices de rette série, et ceux du r-t- i""' système. On verrait de meme que ces fonctions ne peuvent contenir, avec les indices de la série considérée, (jue ceux du s' + i''"' système, s’ étant dincrent de s et de /. T)onc ces fonctions ne peuvent eonlenir que les indices de la série considérée.

746. Soit maintenant i. Ce cas se subdivise en trois autres : r° celui où v = I. dans lequel le Iciunie devient évident; 2" celui où v = 2, que nous réserverons; 3® celui où v> 2, que nous allons traiter.

Les substitutions de L sont de la forme PQ. Q étant une substitution (|ui ne déplace pas les séries, et P la substitution qui remplace chaque indice par son conjugué de la série suivante (553); d'ailleurs, parmi les substitutions de L, il en est toujours une S dans Ia(|uclle on ail p = s. En effet, si fl était égal à 1, L contiendrait la substitution P et son carre P’. Soit au contraire fr > 1 : chacun des groupes auxiliaires qui servent à construire I, contient la substitution qui multiplie tous le^ indices par p, et les exposants d’échange par p‘. Ces substitutions, associées ensemble, seront les corrélatives d’une substitution de L, laquelle sera de la forme P’Q. Posons C=

E = S; C~‘ E“' CE = sera échangeable à 9. Donc 9 rem|ilace les indices de la 1''"" série, que C^’^' multiplie par par des fonctions des

indices que cette substitution multiplie par le meme facteur. Or un indice appartenant à une autre série, telle que la p -+■ 1''"', ne peut être multiplié par le même facteur : car si l'on avait

(inod.^),

on aurait

(/)’— i)p'£3(/>’— i)pi, d'où (p’— i)(pr-'— I (inod.p’— 1),

relation absurde : car si p — r<v— 1, sera </>' — 1:

et si O — r = V — I , on aura

(/)’— i), p’ ' — 1) » —p'~‘ ~ p' -t- p + I (mod.p- — 1), congruence dont le second membre est négatif et </>’'— i . .

747. La démonstration du théorème proposé est maintenant facile. Supposons. pour plus de généralité, ;x> i, et soient A,, B,,..., A',, B’,,... les doubles suites qui, combinées à F», reproduisent G„ second faisceau de F».

r.n LIVRE QUATRIÈME.

i'e (;roupe eonlient au moins une subslilution S qui ne soit pas échangeable à aux F„ près. Posons C = A,, E = S. La substitution C~' E”' CE sera de

la forme /.A*' B}'..., /étant une substitution'de F,, et a,, fi n’étant pas

tous nuis. Les transformées de cette substitution, eombinées entre elles,

fournissent une substitution de la forme /Aï'Bj' que soient y,.

o' ; car ces transformées, jointes aux substitutions de F, qui leur sont

éeliangeables, doivent reproduire tout le faisceau (F,, A,, B ) (733).

t>la posé, Ÿ le produit de substitutions partielles altérant

respectivenient les indices du premier système, du second, etc. D'ailleursç, et par suite est échangeable ii Vr' E“'CE et h ses transformées des formes

/.Xi'Bj' (T'AS). De même, sera échangeable à des substitutions de

la forme /A'/’ B',*'..., quels que soient y',, à' (733).

Supposons les indices indépendants choisis de manière à ramener .simul-

laneinent à la forme canonique les substitutions des formes /A, /A',,™.

aux()uclle.s y, est échangeable. Soie nt t, x' deux indices quelconques d’une meme série. L’une au moins des substitutions /.\ les multi-

pliera par un facteur constant dilTércnt. Donc la fonction par laquelle remplace x ne contient pasx'. Donc p, multiplie chaque indice par un facteur con.staot. Pour que soit échangeable b une substitution de chacune

des fonnes/B /B',,..., il faudra en outre que ce facteur soit le même

pour tous les indices d’une même .série. Donc p, appartiendra b F,; de iiiémc 9, appartiendra b F,; etc. Enfin çi = y, 9,... appartiendra b F = ,F.. F„,...).

7A8. Passons b l'examen des cas réservés. Soit d'abord ). = 1, v = a; et supposons I pour plus de généralité. Soient x, x',... les indices de, la première série, x,, x',,... leurs conjugués. On voit, comme au numéro précédent, que la fonction que 5 fait succéder b x ne contient aucun des autres

indices x' le la première série. On voit de même que cette fonction ne

peut contenir qu’un seul des indices de la seconde série. Soit x', cet indice: il c.st clair que la fonction par laquelle 7 remplace x', ne contiendra de meme que x et x', . On aura donc

? — ] X, . . . , x’, ,. . . tx ^ mx /'x -t- m'x',,. . . |.

La suiistitution g„ définie comme au n° 744, appartient b F, et par suite b 1^. Elle est donc permutable b .7.. La substitution appartiendra

donc h .f, et sera par suite échangeable b 9, ce qui donne les relations de

DE LA HÉSOLl’TION PAH R^OICAI X. .iTO

coilditiuil

ff'-f l' l' m, d'oii ~ t)t’ m -t^o (inüd./<', '

— \)mU — m')BQ, (j»'-'— i)/'(/— m') = o (mod./i).

Mais l' P — \ )<^ P* — I ; donc i ^o; on a ilonc

f mmi mtl — — oi' ) s: o.

L’une an moins des quantités /', m est donc nulle. Soit par exemple l\. o. Si m n'était pas nul, on aurait et ^ aurait pour ordre un multiple

de p. Mais -f ne peut contenir aurune semblable substitution '562;.

Donc i ^m~o. Donc f multiplie cba(|ue indice par un facteur constant: et l'on peut aclicver la démonstration comme au numéro précédent.

7i9. Soit maintenant ), = a, avec /J = 2,^ = a ou /> = 3, y = 3. Supposons d'abord a > i . Le raisonnement du n" 745 montre t]uc ebaque indice .r du premier système doit être remplacé dans f par une fonction ne contenant que les indices x, x',... de la meme série, et ceux y, y',... d'une autre série, appartenant au second système, ün voit ensuite, comme au

n" 747, que la fonction ij» ne contiendra pas x' Enfin, les transformées

des substitutions des formes auxquelles « est échangeable,

par la substitution qui permute les deux systèmes sont écliangeablcs à ç; : d'ailleurs elles n’altèrent pas x. et multiplient j, y',..^ par-des facteurs constants. Deux indices différents de la suite seront multipliés par

un facteur différent dans l'une au moins de ces substitutions. Donc la suite Contiendra tout au plus un indice v qu'aucune de ces sulrstitutiuiis n'altère, et qui par suite puisse figurer dans la fonction iJ-, Sojt donc i = mx + ny.

Le groupe 1’, formé par les substitutions de L qui n’altèrent que les indices y, .y',... contient évidemment une substitution S qui ne muiti|)lic pas y par un simple facteur constant; soient Y, Y’’,... les fonctions qu’elle fait succéder à J, y',...: et soity = aY' -t- «' Y''-t-.... La suJ>stitutiun S~';S remplace x par m.r -r- n(av «'y’-t- ...); mais, faisant partie de .1, elle doit remplacer x par une fonction ilc x et y seulement. D’ailleurs Y ne se réduisant pas à y, à un facteur constant près, a',,., ne peuvent s'annuler à la fois: donc « = o. I.e lemme II se trouve ainsi vérifié, et l’on peut achever la démonstration comme précédemment.

750. Soit = 2, P = 2, V = 1, ft= I. On a quatre indices x, x,; jy< formant quatre séries et deux systèmes. D’après le n“ 745, s sera de la

;jsu

forme

UVRF. QUATRIÈME.

— [ X r. Ix my m'y, |,

l'i l'on verra, tommo au n® 7i8, que m et /' s'unnuleiil.

lînliii le cas où >. =.a, /< ■= 3, v = i . /x = i est cxelu (702).

7.51 . Tiikorkme. — Le théorème B est vrai, si est indécomposable .

(3ioisissuns les indices de manière à ramener J. à la forme Ij'po, et suppusons qu’ils se réparli.ssenl entre X' systèmes, contenant cliactin v' séries, ct>ntenant chacune jx' = n’n'®'... indices; L résultera de la cumhiiiaison d’un groupe I) dont les suhsiilutiuns permutent les systèmes avec un groupe i', dont les substitutions n’altèrent que les indices du prcmicr système. Soient g', 5, î',... des racines primitives des congruences

g'r' 6'%£zi, 6'*' =5 1,... (mort /<),

g\< 5’g.... les substitutions qui multiplient respectivement par g'''', 5''',

6''"',... les indices de la r-t- i''"' série du premier système, en laissant invariables ceux des autres systèmes. Le premier faisceau de l'«, F,, sera forme des puissances de g\; son .second faisceau (•, s’obtiendra en combinant à F»

certaines doubles suites \,, Bj,...; .V,, B',,...;.... Soient^'„, F,, g',, F

les transformés de g\, F„ par les substitutions de D; le premier faisceau de L, F = (F„, F,,...) aura scs substitutions de la forme g'o‘’g't’‘‘---> l’ordre de ebacunc d’elles divisera /)*■ — i .

D’autre part, si l’on supposait les indices choisis de manière à ramener 4;^ à sa forme type, ils ne formeraient qu’un système; soient'/ le nombre de .ses séries, fx = o' n'*'..-. le nombre des indices de cbaipic série. Soient g, â, â',...,y des racines primitives des congruences

gr‘-'s~i, S*=i, 3'*'=i,..., 7‘æi (mod.p).

Désignons également par g, 3, S' J les substitutions qui multiplient les

indices de la r+ 1'™' série par g<^. S'’’, y' j''. Le premier faisceau de ,f, est formé des puissances de g; son second faisceau Ç s’obtiendra

en joignant h .f certaines doubles suites ,i.,, si ; .1.',, si.' ;.... Kniin les

substitutions de jaseront de la forme >f étant la substitution qui remplace chaque .série par la suivante, et ^ une substitution qui ne déplace plus les séries.

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. -«l

752. PnoposiTiON 1. — 1,’orJre iT un groupe 5 contenu dans dont

les substitutions sont échangeables entre elles, ne peut dépasser p- [p'‘ — 1 ).

En elTet, supposons, pour plus de généralité, que 5 l'onliennc quelque substitution qui déplace les séries; il résultera de la combinaison d’une semblable substitution où S est un diviseur de v, avec le groupe II

l'ormé par celles de ses substitutions qui ne déplacent plus les séries (557);

"Le groupe I formé par les premières corr^atives des substitutions de H est isomorphe à 11. Soit O son ordre; on aura li = OÛ,, ii, étant l’ordre du groupe formé par celles des substitutions de H dont les premières corrélatives se réduisent à l’unité. Ces'substitutions sont de la forme .1*’ aJ’... c, C étant une substitution qui ne déplace pas les séries, et soit échangeable

il ,v,, V!. Celles de ces substitutions, 1, c,, c„... qui se réduisent à la

forme G forment un groupe H': soit U' son ordre. Soient d’autre part IJ = ie>|'... G une substitution quelconque de H, : ce groupe contiendra

évidemment ü' substitutions, U, Ur,, ü G»,... dans lesquelles )3 ont

les mêmes valeurs que dans U. On aura donc U,= i)U', « étant le nombre des systèmes de valeurs que peuvent prendre j3,,... dans les substitutions de H,.

Soit O' l’ordre du groupe 1' formé par les secondes corrélatives des substitutions de H'; on aura de mèméû' = ü'il', , 12’, étant l’ordre du groupe H', formé par celles des substitutions de H' qui ont pour seconde corrélativè l’unité. Ces substitutions seront de la forme G', G' étant une

substitution qui ne déplace pas les séries, et soit échangeable à .1.,, «t

.t.', , a!,',,...; et l’on aura 12', = tâi'ü", u' étant le nombre de systèmes de valeurs que prennent dans les substitutions de H',, et û" l’ordre du

groupe H" formé par celles des substitutions de H’ (|tii se réduisent à la forme G’.

Poursuivant ainsi, il viendra

0*^' étant l’ordre du groupe H" formé par celles des substitutions de II (|ui sont échangeables à ,L,, .1,',, aî.’,,...; — Ce dernier groupe est évi-

tleminent contenu dans .#; et ses substitutions, étant échangeables à se

Ùzi .(EIh!

réduiront aux puissances de gr*-'. Soit g r*-' la moindre puissance de cette