LIVRE OUATRltME
s(il>slitulioii qui appartienne à H''’’. On aura évitleinnienl =
cl allcindra son maximum p“— i en posant </= i, <? = v. '*
D'antre part, les substitutions U,... étant échangeables 'a toutes celles de 11. I es substitutions correspondantes
le seriiiit évidemment aux substitutions de I
la?,, .)•„ ... a\x, + c\ r. , y, X, d', v, . |
corrélatives de celles de 11. Ces deux sortes de siibstilulions réunie.* ensemble t'ormeronl un groupe de substitutions ccbangeables entre elles contenu dans le groupe résoluble et primitif de degré ts'' qui résulte de la combinaison
dessubstitutions <!,,/> avec le groupe auxiliaire qui correspond à la double
suite .1,. as. Son ordre Ow ne pourra par suite dépasser o’C On aura
de même 0’u'“c'’* , etc., d'où {/>’ — ') = — ')•
753. Si les substilutions de ,5 n étalent échangeables entre elles qu'aux .1 prés, mais quelles fussent échangeables à celles de ,f, on trouverait de même © = t)uO' 0''’5fe’(/»'- i).
75i. PaoposiTioN II. — L ne peut être décomposable.
Supposons en effet X' > i . Le groupe dérivé des substitutions F„,
A',,... et du leurs transformées par les substitutions de D a évidemment pour ordre pi'' [p'"' — i)^', et scs substitutions sont échangeables entre elles. Ktant rontenu dans L, il le sera dans d’où la relation (752)
hM/* — - 0‘'-
D'ailleurs on a X'p'v'=u.v, chacun de ces «leux nombres exprimant le nombre des inilices. D’autre part, la substitution g est contenue dans 9 et par suite dans K; donc son orilrc i divisera p''— i (751): donc y divise y’. Soit v' = Ay, d’où p = iX'p.' : il viendra '
relation évidemment absurde, sauf pour de très-petites valeurs de/', X', /«'. En faisant quelques essais cl remarquant d'ailleurs que p' — i doit cire > I (555) et divisible par tous les facteurs premiers de p, on trouvera que
DF, I,A KÉSOLUTIflX PAR RADRUl'X. W3
('Plie relulion n*es( possible que dans les quaire cas suivants ; •
f" Pi a" : /i sri, ou 5;
7ÔÔ. Considérons d’abord le Iroisipine cas : 1. el ont respectiveineiil pour ordre i .a.3(a.3/ el 3.3’(3’— i) (3’— 3). Donc l’ordre de L ne divise pas celui de 4^; donc L ne peut être contenu dans 4^.
Dans le quatrième cas, L a pour ordre 1.2. 3. 4(2-3)*. Quant à son ordre sera égal à 2.2* y, q étant l’ordre d’un groupe auxiliaire primaire ou complexe, de degré a*. Ce dernier groupe étant contenu dans le groupe linéaire, son ordre divisera (a‘— i)(a*— 2)(a'— a’)(a‘— a*). Ici encore l’ordre de I. ne divisant pas celui de 4^, L ne pourra être contenu dans .
736. Soit enliu ).' = 2, 4- = 1 el = 3 ou 5, d’où v = v' = i . I,es l’acteiirs premiers o. o',..., k, divisant p — 1, se réduiront à 2; ei les grotqies
auxiliaires correspondants aux doubles suites -.1,. «S,,..., .l',, W, ,•■■:■■■ pourront être fondus en un seul groupe complexe (712). Cela posé, la substitution 6, est d’ordre 2 et appartient à 4^; et sa corrélative
étant d’ordre 2, pourra par un cliangcinent d’indices convenable se melire sous une forme telle que
el sera échangeable aux substitutions dérivées des substitutions t\, l\,...,
C,. Q,... correspondantes aux indices X, Y,..., Z, U Soient a,, /<
les substitutions respectivement correspondantes ,à a-, , , el soit
(\ = «)' 4»î'..., C, =«;• Il est clair que les substitutions du groupe It
dérivé de 3 et de .Yf' s!,f‘..., a)' seront échangeables h (7, aux puis-
sances près de â. Or le nombre des indices X, Y,.... Z, U.... est au moins la moitié du nombre total. Donc le nombre des substitutions de K sera au moins égal à — Si toutes ces substitutions ne sont pas échangeables il 5o. elles dériveront de la combinaison de l’une d’elles, qui lr,insforme 5„ en avec un groupe R' de substitutions écbangeablcs à 4„. et d’ordre
égal ou supérieur il (/4 — 1). '• ■
Srt» LIVRE QUATRIEME.
Si $u apparlen.-iil à Ç, sa corrélative 5C réduirait à l'unité; K cl R' auraient alors pour ordre i) et i).
Soient d'autre part i,, 2, les deux .sy.stèines d'indices de L: la substitution 9, multipliant par — i les indices de 2„ sans altérer ceux de 2,, les substitutions U,... tlu groupe R', qui lui sont échangea blés, seront chacune le produit de deux substitutions partielles C„ U,,... altérant respectivement les indices de 2o et ceux de 2,.
Soit maintenant V une substitution quelconque de F,; elle sera échangeable à U aux puissances près dé 9o- En cfl'et. V, appartenant à sera permutable à donc U~' V“‘ L'V = U;'' V~' U» V appartiendra à {?. Or chaque ■ substitution de ramenée à la formé canonique, multiplie la moitié des indices pari et l’autre par — i', ou la moitié par j et l’autre par —j, à moins qu'elle n'appartienne à i, et ne multiplie tous les indices par un même facteur. Mais L'7* V"' U„ V laisse invariables tous les indices de 2,; donc elle multiplie les autres par un même facteur ± i , et se réduit à une puissance de 6».
La substitution U,, étant échangeable aux puissances près de 5, à A,. B,,..., A',, R', ,..., appartiendra au faisceau G». Elle appartiendra à F,: sans qdoi ses transformées par les substitutions de F,, combinées avec F,, reproduiraient G» (73A]; elle ne serait donc pas échangeable à toutes les substitutions de F„ aux puissances près de 5„.
Le groupe isomorphe é R' formé par les substitutions partielles ü
' sera tlooc contenu dans F,; et son ordre a>' divisera p — i . Celui de R' sera égal il 'V'j", «" étant l'ordre du groupe R" formé par celles de ses substitutions qui laissent invariables les indices de 2„; ces substitutions, appartenant à ÿ, multiplieront les autres indices par un même factetir ±: i . Donc R" ne contiendra que la substitution i , seule ou jointe à la substitution 9, = 3 9,. Dans le premier cas, on aura
(/< — = I), d’où = = I.
Dans le second ras, R', conlcnaui â et 9,, contiendra 9,, et l’on aura
a(/) — i — i), d'où = u'=:i.
Mais en supposant p'^ = 'i ou 5, p'=i, X'=a, on tomberait sur un cas exclu (702J.
il faut donc nécessairement admettre ).'= i, ce qui établit la proposi-
DK LA RÈSOLlTlgN PAR RADICAUX. S8S
lion II. Ceki posé, nous pourrons écrire F, G, g', 6, à la place de F„, êo* ^0* ^o»****
