Proposition III. — k se réduit à l’ unité
Le nombre gé divisant g., les raeleurs premiers n, n',... qui le divisent Ibnl partie de la suite des facteurs premiers tr. qui divisent ;a. Soit
par exemple jt = b. I.cs puissances de la substitution 5 se confondront avec celles de la substitution 7s. En elTel, les unes et les autres sont des substitutions d’ordre tt, contenues dans F. et par suite seront les puissances de la eliî
substitution g ' . Donc les puissances de & appartiennent à .t; de même pour les puissances de û',
Cela posé, G contient i), substitulion.s échangeables à celles
de F, et a fortiori à celles de ,T, et écliangeabics entre elles aux puissances près de 6, 5',..'., d’où la relation «
ou I — i), -
absurde si h y i, à moins (|u’on n'ait X = a, fi' Mais ce cas est exclu ( 703)., Donc X = I.
758. pRoposiTios IV. — Act faisceaux F et G se confondent respeetwement avec i et
En premiei^lieu, .f étant contenu dans F, et ayant le même oidre se confond avec F.
l^la posé, les substitutions de G, en nombre i) sont échangeables
à celles de F, et échangeables entre elles aux F près. Elles appartiendront donc toutes à la forme .j; et par suite, l'ordre de G se réduira à 0w0'u'...0''', nombre qui ne pourra être égal à — i)= ijc*f />’— i) que
si O'j, O'm',..., O"’’ atteignent leurs maxima respectifs o’S si’*'' p‘— i .
Suppo.sons, pour fixer les idées, qu’on ait simplement = o'”', d’où
® =0'dO'(o' O". Le nombre (V étant moindre que (728), OV ne pourra atteindre ce maximum que si «’> i. Donc l’une au moins T des substitutions du faisceau (.7, appartiendra à G, et sera de la forme
Bî'... B*'..., y étant une substitution de F, et les exposants a,,
h a',. U n’élanl pas tous nuis.
Supposons que l’un des exposants a, , U par exemple diffère de zéro :
L contient une substitution U, échangeable è A,, B ;... et qui ne soit
pas échangeable aux F près à .Vf'BÎ'... (733). La substitution T"'. U”' TU
ïi«i LIVRE QUATRIÈME.
appartiendra au faisceau G, = (F, A',, B',,...) sans appartenir à F ; et combinée à F et à ses transformées par les substitutions de L, elle reproduira tout le faisceau G,. D'autre part. T et ses transformées par les substitutions de et en particulier par celles de L, et par suite T“'. U~* Tl! et ses transformées, appartiendront au faisceau Ç, = (,f, .v', , s!.' Donc ce faisceau
contient G,.
Si contient des substitutions autres que celles de G,, il résultera de la combinaison de G, avec des substitutions A],.,.,, .... AV, IT,,, échan-
geables aux précédentes, et échangeables entre elles, sauf pour deux substitutions A| , ])' d'un même roupie, qui seront écbangeables à 0 près (5,")9-56l). On peut d'ailleurs choisir ces substitutions de telle .sorte que leurs caractéristiques soient des puissances de i — K"", si sr' est impair, et des pui.ssanccs de K' — i, si sr' = a, à moins qu'un tt'ait en même temps />’'=3(mod.4), auquel cas .'\V*i, BV*i pourront avoir pour caractéristique une puissance de K’-+-.i (567-570).
Ou peut admettre que la double suite A',, 11',,,.., AV, H’,. A’,^.,, BV,.
, se confond terme à terme avec la double suite .1.’,, pourvu qu'en for-
mant celte dernière double suite, on renonce à s'astreindre à la condition (ju'elle ne contienne pas plus il'un couple ayant pour caractéristique une puissance de K’ I ‘ lorsque sr' = a et />’== 3(mod. 4)|. •
' Gela posé, le groupe G, = (F, A,, B ; A’,, B’,,...;...) a pour ordre
.ti’ i) = Owü'ta'n''^’'^(/>’'— i). Or toutes les substitutions de Gj, et en particulier celles qui sont échangeables à v,, sont échan-
geables à A',, B’,,..., .-\V, BV : leurs secondes corrélatives seront donc échangeables aux substitutions
y. J-.-, yv. a., y. + li, a-e + -t Pe
elles seront donc de la forme
x.,y Jry. yv x„ y„ . . . , jr,-, yv I
a,-», , yv+. , . . . (!,'*, -t- y V+i /v+i-r,-,, (/,>+, yv+. l
et l'ordre O' du groupe qu'elles forment sera moindre que i728j.Mais
pour que OwO'u'... soit égal à — i). il faut (|ue 0'<u' soit égal à o'**’. Donc V> ' t et par suite l'une des substitutions de Gj (autre (|ue celles
de F) appartiendra h 9',. Soit /A‘‘B5‘... A)*’ B)''... celte substitution. Si a, par exemple n'est pas nul, on verra, comme tout à l'heure, que la double
ii'< AJ. . . . rt'f A*f - -
Il «' •
DE I.A RESOLUTION PAR RADICAUX, suite A', B',,... nppariiemlra à ff,, et l’on pourra supposer A’=A',.^,. B’, = B’.r^,. Poursuivant ce raisonnement, on obtiendra le résultat suivant :
Iji faisceau (F, .V.', , m,',,...) résulte de la combinaison de F acec quelquesunes des doubles, suites A,, B,,...; A',, B',,...;..., dont la réunion formera la double suite .t.', , iH.',
On peut, par raison de symétrie, énoncer un résultat analogue pour la double suite .i.,, le Par suite, le faisceau Ç se confondra avec G.
759. Supposons maintenant, pour fixer les idées, que G contienne trois doubles suites B,,...; .V,, B' ; A’ , B' dont la première soit con-
tenue dans le fai.sceau (F, -L,, lü,,,...) et les deux autres dans le fai.seeau (F.'.i.',, On aura d'où n' =n". Gela posé, la
ronslruelion de dépend évidemment de celle de deux groupes auxiliaires
<^ot <o' respectivement correspondants aux deux doubles suites -A.,, x« :
•V,',, St,' De même celle de b dépendra de celle de deux groupes auxi-
liaire.s L„, L'„, l’un primaire et correspondant ii la double .suite A,, B,,...,
l'autre complexe, et correspondant à la double suite complexe .V,, B',
Soient A, y les groupes respectivement lormés par celles des substitutions •I* 4^0» 41o* ‘lui sont les corrélatives des substitutions de I, l' les groupes formés (>ar celles des substitutions de Lo, I/„ qui sont les corrélatives des substitutions de L. Pour i|oe contienne L, il faut évidemment que 3, 3', et a fortiori et contiennent respectivement I, I'. D'ailleurs toute substitution abélietine propre S contenue dans par exemple, étant associée à la substitution t que contient L',,, on pourra déterminer une substitution de L qui ait ces deux-là pour corrélatives. Donc .S appartient à I. En outre, dans le ras particulier où qucl(|u'un des groupes primaires et indécomposables qui servent à la construction de 1,, serait de degré 7'", oii m est une puissance de 2, et correspondrait à une décomposition «1 = v, «J' où l’on eût v, = i, 1 contiendra une substitution (|ui multiplie les exposants d’écbange par un non résiiln de 7, .sans quoi on tomberait dans un cas exclu (707 et 711).
Soit donc J, le groupe qui est à l-, ce que J était à L dans l’énoncé du théorème C (715); 1 contiendra J„. I^e théorème étant vrai par hypothèse pour les groupes .^7,, L,, J, qui sont de moindre degré que ^7, E, le groupe J„, et a fortiori le groupe I, ne pourra être contenu dans que si 47» et L„ sont pareils. iJn voit de même que 47'^ et L'„ doivent être pareils. .Mais alors <7Ct I. seraient eux-méme% pareils.
