I.1VRF, QUATRIÈME

g III. — Démonstratio» du tiikorkme C.

Cas où ^ est décotnposahh.

7(50. ïiiÉORÈ.ME. — Soit L=r un groufte construit par la méthode des n"* 697-C99.: le groupe i défini comme à l’énoncé du théorème C (715) sera primaire et indécomposable (et resterait tel, lors même que Von conviendrait de , fioser toujours e = o dans ledit énoncé).

Nous .liions inonlri-r en effet ((u’il nVsl pas possililc de Irouver des systèmes de fonctions des indices tels, que toute subsiilution de J remplace les lunctions de chaque système par des fondions île celles d'un même système, et que,.ces fonctions étant prises pour indices indépendants, les exposants d'écliange des substitutions correspondantes à des indices de systèmes différents scient tous congrus à zéro. I.e procédé de démonstration consistera à montrer que si le théorème était faux pour un groupe d’un certain degré, il serait faux pour un groupe d'un degré moindre; d’où cette conséquence absurde, qu'il existerait une infinité de groupes de degri>3 décroissants à partir de celui que l’on considère.

761. Premier cas. 1’ est de première catégorie. Ses indices forment' deux systèmes conjoints, contenant chacun v séries, contenant chacune fl = tC Tt”^ ... indices. (Nous supposons ;a > i , pùur jilus de. généralité.)

b’un des systèmes de fonctions cherchées contient une fonction dans laquelle n'entrent que les indices d’une seule série. Soit en elfet, parmi les fonctions cherchées, 9 = -t- f J -T- -t- Çj. -t-... une de celles dont les indices

sont empruntés au moindre nombre de séries, et qui, subsidiairement, contiennent le moindre nombre d’indices; f„, fs,... représentant respectivement l’ensemble des termes de ç qui contiennent les indices de la a-(- i*'*"', de la b+ i'*”',,... série du premier système S, et f„., fs , .. rcnscmble de ceux qui conliennenl les indices de la a’-hi'^""', de la b' -h i série du second système S'. Transformons f par les diverses substitutions de F, premier faisceau de F (lequel est contenu dans J). .-Vut.-Hit un aura de transformées non équivalentes, autant on aura de fonctions disiineies, dérivées de ?«. ?4 ?U-‘ 730).

.Si les indices qui figurent dans 9 appartenaient à un seul système, mais il plusieurs .séries, on déduirait de là, comme au 11“ 730, la relation absürde

DE U RÉSOLUTION PAR RADICAUX. -

Supposons donc que dans fp figurent des séries de chacun des deux systèmes. I-a substitution de F qui multiplie les indices de la première série du premier système par m transformera p en

mf“ O, -f. ■ • •

Pour que deux semblables translormées obtenues en posant successivement m=m,, m = km, soient équivalentes, il faut qu'on ait

d'où

k ^ h ^ . . . = Ar* "*+■ = , I nioci./;»).

On a d’ailleurs j; ct'par suite i, & étant le plus grand com-

mun diviseur de b — a, b' — a',... et de v. Soit maintenant a' — a = râ + ti (mod.v), rf étant <o'; il viendra

Soit donc ' le plus grand commun diviseur de et + i; on aura k’’~T' SI, ce qui donne ^ valeurs distinctes po.ur k. I.es transformées

de 9 sont donc équivalentes '■ à ‘i et l’on aura g^r~- transformées

non équivalentes, toutes dérivées des fonctions 9,. pi p,., ?'j, dont le

nombre ne peut dépasser y* a, b,. . 7 appartenant à la suite a, a + à,. . a + ^ — 1^ d et a', b',... à la suite a', a'-i- â, On aura donc

relation absurde si a, d étant au plus égal à v. ,

Essayons la valeur g — 1 : p^-h t devra être divisible par p'^— 1; mais il ne peut être plus grand que //'— 1, d étant < d; on aura donc

d’où

i=p‘-i-x, ou pPifP-*— \) = i,

P — (/=i, 3 = 1, ou /> = 3, d — o, ir=t.

Posant dans la relation (6) ç=i, /> = a, d = a, il vient 5 v, , d'où

UVRE QL ATIUÈME.

v< 4; et comme v est un multiple de.ô, v = a. Posant au contraire

3=1, il viendrait - ? av, d’oü y = i ou a.

Kssayons maintenant la valeur ç = a : étant un multiple de "■ - »

et 'n’étant égal ni supérieur à /»* — i. sera égal à ^ • On en déduit

P^{P^ — a)= 3, d’oii P = ‘i, d= 1 , 3 = a, ou p = 5, d=o, 3 = i . Dans l'un et l’autre cas, la relation (6) donnera v = 3.

On a d’ailleurs /)’> 4 (616). Les seuls cas qui échappent à la démonstration sont donc les suivants: /) = 3, v = a; /> = 5, v = i , dont le premier est exclu (704). Nous examinerons l’autre tout h l’heure.

762. Soit donc f = fa une fonction des indices d’une seule série, laquelle fasse partie de l’un i des systèmes de fonctions cherchés. On verra, comme aux n“* 731-733, que 1 contiendra les fonctions conjuguées de 9: que les systèmes contiennent tous le même nombre de fonctions distinctes, et sont permutés transitivement par les substitutions de G; que les substitutions

de F laissent les systèmes immobiles, et que les doubles suites A,, B ;

A',, B',,...; A',, B',,...;... seront de deux espèces : 1“ celles dont toutes les substitutions laissent les systèmes immobiles; a“ celles qui ne jouissent pas de cette propriété.

Supposons, pour fixer les idées, (|ue toutes les doubles .suites, sauf la première, appartiennent à la première espèce. On verra, comme au n" 733, qu’il existe une substitution T de la forme / B)’..., où l’un des exposants, a, par exemple, ne .soit pas nul, et qui ne déplace pas les systèmes.

Cela posé, soient L le groupe auxiliaire correspondant à la double suite B,,...; 1

,V, = I jr„ i,y.,... I, *,= |a„y i,...j,...

les substitutions respectivement correspondantes à A,, B,,... et au faisceau desquelles ses substitutions sont permutables. Supposons, pour plus de généralité, que L soit décomposable : il résultera de la combinaison de deux groupes, dont l’un. A, permute les systèmes entre eux, l’autre, F,, n’altérant que les indices d’un seul système, par rapport auquel il est primaire et indécomposable. Soient en général «„... les indices du r''"" système; G.,,, Q,,,... les substitutions correspondantes. On peut les considérer comme dérivées d’une double suite de substitutions S,,,*!®,,,..., dont tous

DE LA RÊSOLITTION PAR RADK.AUX.

les exposants d'échange mutuels soient nuis, sauf pour deux substitutions associées dont l'exposant d'échange sera i (293-300).

Soit en général

Les substitutions du faisceau (A,, iit> ) étant dérivées de celles-là, celles

(lu faisceau (F, A,, B ) le seront de la combinaison do F avec les substitutions C,,,. = Dp, = Aj^ Bj'c lesquelles seront échan-

geables entre elles, sauf deux substitutions associées, Cp, et Dp,, qui le seront à 5 près. Kn particulier, T sera de la forme /CJ," Dî,"... CVD‘>'..., l'iin au moins des exposants, tel que a,,, n’étant pas nul.

Soit maintenant J, le groupe qui est à F, ce que J est à F. La substitution jointe à ses transformées par les substitutions de J,,

reproduira toutes les substitutions dérivées de S,,, (0,,,..., e„,, (D„,. Kn effet, s’il en était autrement, le faisceau résultant de ces transformées ne serait pas transitif. Le groupe (C,,, (D S.,,, (D„,. J,}, dont les sub-

stitutions lui sont permutables, ne serait pas primitif (53), et J, ne serait pas primaire. Ix- tbéorème serait donc faux pour le groupe F,, de degré moindre que F.

Donc J, contient une substitution w non échangeable h F contiendra une substitution abélienne propre ü qui ait pour première corrélative c> et pour ses autres corrélatives l'unité, et ne déplace pas les séries, et qui par suite appartienne à J. La substitution T“‘ ü"'TU ne déplace pas les systèmes S, S', et sera dérivée de (F.,,, D, ,,..., C„,, D„,), sans appartenir il F. Les transformées de cette substitution par celles des substitutions de J dont les premières corrélatives appartiennent à J, et dont les autres corrélatives se réduisent à l'unité, jointes aux substitutions de F, reproduisent (•videmment tout le faisceau (F, C,,, D,,,...,C„,,D„,). Donc les substitutions C,,, D C„,, D„, laissent les systèmes immobiles.

Cela posé, le système 1 contiendra les transformées de ^ par les substitutions C,,, D, ,,..., C„r. D„i, .V,, B',,..., parmi lesquelles il en est au moins de distinctes (732). il contient en outre leurs conjuguées, soit en tout au moins vr.^n"^... fonctions distinctes. Le nombre des systèmes ne peut donc dépasser Donc parmi les substitutions de la forme

moins une qui ne déplace pas les systèmes. Supposons que l'un des exposants a,„ b,,,..., par exemple, diffère de zéro. On verra, comme tout à l’heure, que C«j, D„j ne déplacent pas

!ütâ LIVRE QUATRIÈME.

le.s systëineü, élu. Donc enfin aucune des sulislilulions Dp,, et par suite aucune dus sulistilulions de (i, ne déplace les systèmes. Donc tous les indices de S, <]ui résultent de la combinaison de ç et de ses transformées par les substitutions de G avec leurs conjuguées, appartiendront à un même système 1. De même les indices de S' appartiendront tous à un môme système 1', lequel iic peut différer île 2, les expo.sants d’échange dos substitutions correspondantes à leurs indices respectifs n’étant pas congrus h zéro.

Donc il n’existe qu’un système 2, et J est indécomposable.

703. Considérons le cas d’exception où p' = ü. On doit supposer ,a> i, sans quoi l’on tomberait dans l’un des cas exclus (705) ; d’ailleurs fi, divisant I, sera une puissance de a telle que a’ a’’.... Soit /= a une racine primitive de la congruence /*^ i (mod. 5) : F, premier fai.sceau de F, sera formé des puissances de la substitution g-=y qui multiplie par j les indices du premier .système et par j~’ ceux du second. Quant à son second faisceau G, il résultera de la combinaison de K avec certaines doubles suites C,, D,,..., C, , D', .... telles, que toutes les substitutions de F soient permutables à cbacun des faisceaux (C,, D ), (C,, D', (705).

Le nombre des systèmes de fonctions cherebés ne pouvant dépasser aa. nombre total des indices, deux au moins, T, T' des a/x’ substitutions y'Cî'Df“...C,’' D’/>... (où l’on prend s égal à o ou à i) remplaceront l’un 2 de ces systèmes par un même système 2,. La substitution T"'T' = U laissera 2 immobile. D’ailleurs elle est dérivée de y. C,, D C, , D’ et ne

se réduit évidemment pas à une puissance paire de y.

Si U est une puissance impaire de y, telle que y?, 2 contiendra une fonction des indices d’une- seule série. Soit en effet » = ç, -i- l’une des fonctions de 2, étant les fonctions partielles formées par ceux des indices

qui appartiennent respectivement aux deux séries de F : 2 contiendra y'fo. -t-y“*'9’„, transformée de y par U, laquelle est distincte de et qui, combinée avec f, donnera les fonctions ç,, f',. qui appartiendront à 2.

Soit au contraire U = y*'Q' DJ'... C,*' 1)’,^'..., les cxpo.sants a,, (i par

exemple n’étant pas tous nuis. Les transformées de L’ par les substitutions y, C|, D| C|, D',,... sont de la forme y”U et laissent immobiles les sys-

tèmes ([UC ces substitutions font respectivement succéder a 2. Mais y*', multipliant tous les indices par un même facteur ± i, laisse tous les systèmes immobiles : donc U laisse ces systèmes immobiles. D’ailleurs y, C,,

D, C,, D' permutent transitivement les systèmes : car, s’il n’en était

pas ainsi, les transformées de 9 par ces sulistitutiuns, combinées entre elles,

DE U RÉSCH.ÜTION PAR RADICAIX. ^>.W

ne rcpruiluiraicnl que des foncliuiis dérivées de celles appartenant aux systèmes que ces substitutions perniuleraient avec 1 : le nombre des fonctions distinctes dont elles dépendent serait donc inférieur à Mais ees transformées, cütnbinces entre elles, donnent qui, transformées par C,,

l)i,.,., C, , 1)',,...,... fournissent cliacune fx fonctions distinctes.

Di>nc I' ne déplace aucun système. Il en sera évidemment de même <le ses transformées par toutes les substitutions de J. Or soit V une substitution

de J échangeable à C, , IV et non éebangeable à C*’DÏ'... aux F près:

V~' üV = U, appartiendra au faisceau (C,, l) ). Ses transformées ü,.

L',,... par les substitutions de F, ou, ce qui revient au même, par les substitutions de J C), jointes aux substitutions de F, reproduiront tout le fitis-

eeau (F, C|, D ); les substitutions U,, L'»,... reproduisent donc tout le

faiseeau ((i,, D ). Cela posé, transformée par les substitutions

(F, C|. I),,'...) donne a° fonctions distinctes (733). Les substitutions de F multipliant ees fonctions par de simples facteurs constants, la transformation par l',, U',,... sullira pour obtenir ces a’ fonctions. A fortiori, on obtiendra au moins a’ fonctions distinctes en transformant ç = par l',,

Toutes ces fonctions appartiennent à i. quc U,, Ui,... ne iléplacent

pas.

Donc chaque système contient au moins a’ fonctions distinctes. Le nombre des systèmes sera donc au plus égal à a.a-’pi, et inférieur au nombre a.a“’'’p.’ des substitutions y' C,“> Raisonnant comme tout à l'beure,

on voit que i n'est pas déplacé par les substitutions (C,, D',,...) et contient une fonction ç, des indices d’une seule série, ou contient au moins a’.a'^ fonctions distinctes. Continuant ainsi, un voit que si ^ ne contient pas ^ . il ne sera déplacé par aucune des substitutions '(C,, 1),,..., C,, D',,...) et 'contiendra au moins p. fonctions. Il n'y aura donc que deux systèmes, 2, 1'.

76i. Cela posé, si J contient deux substitutions A' et F telles que l'on ait .R'C = C.fl'/'. r étant impair, il existera une puissance impaire de j qui ne déplacé pas les sy.stèmes 2, X'. En effet, s’ry les permutait entre eux, et que .<l' les permutât aus.si, A'j ne les iléplacerait pas. Donc l'une des deux substitutions ,r', .ft'y, par exemple A'j, ne les déplacerait pas. Sa transformée par G ne les déplacerait pas non plus! mais G”'y G cette transformée se réduira donc à A'J'*'. Donc (*'/)“' =y'-'*’ ne déplacera

pas les .systèmes.

(’) r résulte (Je la combinaison de J = A avec une subbtituticn \V échangratilc à c,, D,,... (GIT).

S9i LIVRE QUATRIÈME.

Donc, dans ce caa, 5 conliendra une fonction f, des indices d'une seule série. Cela posé, la démonstration s'achèvera comme au ras général.

TC.'j. Il reste à établir rexistence des substitutions A', G. Chacune des doubles suites C,, D,,...; C*, , 1)', peut être modifiée de telle façon (|uç chacun de ses couples ait pour caracléristiqiie une puis.sance de K’ — i , sauf le premier, qui aura pour caractéristique une puissance de K’ — i ou de K’-f-i (,’)70). Suivant que le (iremier ou le second cas se présentera, le groupe auxiliaire L correspondant à la double suite considérée .sera contenu .dans le premier ou le second groupe hypoabélien (578).

Le nombre ac des groupes auxiliaires L, L',... contenus dans le second groupe hypoabélien est impair, sans quoi l'on loniherait dans un cas exclu (705). Donc il existe un nombre impair de doubles suites dont les premiers couples aient pour caractéristique une puissance de K’+ i. Soit C,, I),,... l'une d’elles. Les autres doubles suites pourront être fondues en une seule. (|u'on modifiera, s’il y a lieu, de manière que tous scs couples aient pour caractéristique une puissance de K’ — i. Soit C,, D’,,... cette double suite ainsi modiliée.

Cela posé, les indices indépendant.s [5,?,. peuvent être choisis de

telle sorte, que les substitutions C,. D C,, D, prennent (en n’écrivant

que les indices du premier système) la forme

Il, = I ./■ [5i-t- 1, 5.,-. V ]' I ,

et les substitutions C, , D', ,... la forme

b'. = IU'5>— 1?.. ;

(iela po.sé, la construction de T dépendra de celle de deux groupes auxiliaires L, L', l'un primaire, l’autre complexe, respectivement correspon- '

danis aux deux doubles suites C,, D ; C,, D', I.a substitution abé-

lienne propre

.ti' = A C ü, = 1 (ï, ï. . . . ,1, . . . ]' 6»-'. [ 5. -e 1 , E. . . . J-- I

a pour chacune de ses corrélatives l’unité. Ces corrélatives étant contenues respectivement dans L, L', .■a' le sera dans T, et par suite dans J.

DE L\ RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 50.V

SuiçMl iiiainicnant F, le groupe formé par i’cnscuibic des substitutions ahéliennes propres qui sont periniilahles aux faisceaux F, (C,,

{C, , n' ). I.cur.s premières corrélatives formeront un groupe H lijpoabé-

lien de seconde espèce et de degré a”. L'une quelconque T de ces substitutions transformera ,<l' en A'j^, p étant un entier. Kn effet, .R' étant permutable à F et échangeable aux substitutions des faisceaux-(C,, D,

(tr,, D', ), T“‘ .r'T le sera, et sera «le la forme A' .j^étant une nouvelle

substitution écbangeable à ces mêmes substitutions, et «|ui ne déplace pas les séries, et «pii par suite appartienne à F.

En particulier, F, contient la substitution

qui transforme .R' en A'y'. Celles des substitutions «le F, qui sont éebangcables à a', aux pui.ssanees près de 7’, forment évidemment un groupe contenant la moitié «le F, et permutable aux substilulions de F, ..Leurs corrélatives rormeroiit 'un groupe I contenu dans H, d’oiaire moitié moin«lre, et permutable à ses substitutions.

Le groupe L u’est p.as contenu «lans I (67i-68.')). D'ailleurs chacune de ses substiluliuns, étant abélienne propre, sera la corrélative «l’une substitution «le J (car on peut l'associer à la substitution 1 contenue dans L'). Donc J contient une substitution qui transforme .A' en r étant impair.

766. SecoND CA.s. — F est de seconde catégorie. Soient ay le nombre «les séries, u, relui des indices «le chacune d’cjlcs.

L’un des svstémes de fonctions cherches contient une fonction des indices d'une seule série. Soit autrement 9 =ya-t- -<-... celle de ces fonctions dans l'expression «le laquelle figurent le moins de séries. Transformons-Ia par lus substitutions «le F, premier faisceau de F. Autant on aura de transformées non équivalentes, autant on aura «le systèmes. Or ces transformées sont de la forme mé’ m étant une racine de la congruence I (mod./>). Posant successivement m = m,, m = tm,, on aura deux transformées équivalentes si l’on a

. il r*îs. . . , d'où m . . .^ 1 avec hé'*‘ = t.

On en déduit ^ i , puis ær 1 , d étant le plus grand commun diviseur de b — a,..., av. Soit n le plus grand commun diviseur de i cl de i; on aura /"ss 1 (mod.7>),;ce qui donne n valeurs admissibles

■<'M LIVRE OEATRIEME.

pour k. Lfi iiorabii- des U'an.sformées non. oquivulontcs sera donc^^^-'

Ur O, divisant av, est égal a r/ ou à hd, d étant un diviseur de v niointire (|ue V. Si d = d, p^‘ — I divise — i : n divise ilono />'— i ei/>’' + i, et par suite leur différence a. Divisant d’ailleurs />’-(- i, il se réduira à i si P = a. Si au contraire 5 — arf, p'‘ — \ — (^4- 1) {ff* - i). Or

/>•+ t = (— i) -t- 1 =o (niüd.p' 4- I),

itar d ne divisant pas v, par liypotliêse. g sera impair. D’ailleurs p‘ 4- 1 et

p*—i peuvent en outre avoir le fiicteur commun a. On aura donc n-^pf'-ÿ- 1 ou 1).

I.ps diverses transformées de f ne dépendant que des fonctions ç», fj,.... 2 y

en nomlirc au plus égal à on aura

P'4- ! in .

Si 0' = arf, celte relation devient

i(p* -e ly * il'

cl n’est admissible étant impair') que si p=2, v = 3, cas exclu 7(IS). Si rf = rf, on aura