I IV IV

i“<¥’ ““ /' +‘<-7 si /> = a,

ce qui n’csl possible que si l’on a rf= 1 , /< = 3, v = 1 .

t>5 cas d’exception peut se traiter par une méthode identique à celle des n"‘ 763-7G5, en remplaçant dans le raisonnement la substitution A' par la substitution 'f' ainsi définie

U'' = fC,r>.= | 5’-.[£, 4.1,5.,.. -

‘ht la substitution V par la suivante

g\ = I [5. 5, g(of,. ,.ï,,...],4- [15,... /J,...], I,

jÇ étant une racine primitKe de la congruence ÿ* = i (mod. 3) (").

(*) On doit remarquer que les grou()cs formés par les premières, secondes, etc., corréiatives

DF. I.A nÉSOUTlOX P.Ul BADICALX. .".in

Le lemnve t i-dessiis élanl établi, on obliemlra la déinonstralion connue an n“ 762.

767. Thoisikibe cas. — F est de tmisicme calêgorie. Il n’y a qu'une série, et l’on raisonnera comme au n" 762.

76S. Phoblkmk. — Soient L un groupe résoluble primaire ou complexe, de degré />•*, contenu dans te groupe ahetien [dans l'un des groupes hy//oabéliens]; J le groupe défini comme à l'énoncé du théorème C. On demande de déterminer des systèmes de fonctions des indices », tels : i" tjue toutes tes fonctions linéairement formées de celles d'un même système appartiennent c^alernent à ce système, et soient essentiellement distinctes de celles qui dériceni linéairement des fonctions des autres systèmes; a" qu'elles déricent d'un certain nombre de fonctions distinctes, le même dans chaque système; II® que ces fonctions distinctes, dont le nombre total sera égal à celui des indices, étant prises pour indices indépendants, les exposants d'échange des substitutions correspondantes à des indices de systèmes différents soient toujours congrus à zéro; 4® que chaque substitution de J remplace les fonctions de chaque système par celles d'un même système.

Supposons, pour fixer les idées, que L soit complexe, et résulte île la

fusion de divers groupes primaires L', L" Soient J', J",... les groupes

resjiectivcment formés par les substitutions communes à J et k L', L",

Cboisissons les indices de manière à ramener I.', I.",... à leur forme ty|)e. Ceux de L' se répartissent en général entre X' systèmes (ou couples de sy.stèmes) Z,,..., et L' sc construira à l'aide de deux groupes résolubles : l’un I)', dont les substitutions permutent les systèmes (couples de syslème.sj il’un mouvement d’ensemble; l’autre F,, dont les substitutions n’altèrent que les indices de l’un d’eux, ï.,. I.e groupe J,, dont la relation au groupe F, est celle indiquée entre L et J dans l’énoncé du tbéorème C, sera évidemment contenu dans J'.

Les indices de L",... so répartiront de même entre X",... systèmes (couplés de systèmes) ly, iiv,, qui pourront ne pas contenir le même nombre d’indices que ceux de L'.

(ieâ subslilutioas do J contieimonl toutes les substitutions des groupes formés pür tes corrétatives de ceîlcs dü r. Soit en ctTot S une eut)sUtution «[uelconquc de P; cette substitution, ou à son dé* faut la substitution laquelle a les mêmes corrélatives, sera abélienne propre, et appartiendra à J.

•i:w LIVRE OL'ATRIKME.

769. l’iioposi riO!« I. — Vnn an moins des systèmes cherchés S contiendra nue fonction j qui s'cxt'pnme « l'aide des indices de 1,.

Eu cfTi'l, si aucune tics fondions cherchées ne contenait dans son expression les indices de i,, ces fonctions se ramèneraient, contre l'iiypothèse, à un nombre de fonctions distinctes inférieur à relui des indices. Donc l'une au moins de ces fonctions q sera de la forme cr, ts, étant une fonction des indices «le (|ui ne soit pas identiquement nulle, et / une fonction des autres indices.

Soient n, -+-)«, Po les transformées de y par les substitutions de J«:

chacune irelles app.articndra, par hypotlièsc, à l'un des systèmes s,

Si*<lcux «l'entre elles appartiennent au même système s, sans être identiques, s contiendra leur différence o» — ei'„, et notre proposition sera démontrée. Pour qu’elle fut en défaut, il faudrait donc que toutes les transformées non identiques appartinssent à des systèmes différents, et par suite fu.ssent des fonctions distinctes. -

i" Supposons d'abord F, de première caléporic. Soient F. G ses deux premiers faisceaux, v le noud)re des séries «le chaque système, fx le nombre d'indices «le chacune d'elles. Soit entin c, =

5j,... étant les fonctions partielles formées par ceux des termes de ta, qui contiennent les indices de la «r de la b-+- série du premier

système, et y',-,-., les fonctions formées par ceux de ces termes qui contiennent les diverses séries du système conjoint. Les transformées de par

les substitutions «le G donneront a fonctions distinctes i„, les

substitutions de F multiplieront chaeunc par />*— i facteurs difl'ércnts. Le nombre des transformées différentes de la fonction ç„, et a fortiori de la fonction c» -t- / par les substitutions «le F, sera donc au moins égal à ixip’— 1^. Ces transformées devraient être distinctes; «l’ailleurs elles s’expriment toutes à l’aide des arxv indices de F, et de la fonction y-, «l’oü la relation

o(p' I I -t- SflV,

laquelle est absurde,/;’' étant > .'| (616).

3" Si F, est de seconde catégorie, soient av le nondwc des séries, p. le nombre d’indices de chacune d'elles : on aura toujours, par. les mêmes considérations,

• (P'-t- «IJ « ^ Ï.Ui’,

relation absurde, à moins qu’on n'ait p = i et /J= a avec v = i ou a. Nou.s exaraineions tout à l’heure ces deux Cas «l’exception.

DE 1^ RÉSOLUTION' PAR RADICAUX. MHt

3" Si T„ est de troisième catégorie, il n’y a qu’une série, contenant fA indiçcs: et l'on aura, par des considérations semblables aux précédentes.

relation absurde, car (A > 1 . ■ , ' ' '

770. PBopf)siTios II. — Toute fonction formée aire les indices de sna Tune des fonctions de 8. Celle proposition sc démontre comme au n“ 730 'en changeant F, en J„).