Revenons .à nos deux cas d’exception. Soient ç = c, -c

l'une des fonctions cherchées, dans l'expression de laquelle figurent les indices de i,; 5T„, Wa, les fonctions partielles formées par ceux dés

termes de o qui contiennent les indices des systèmes 2», 2„, 2» Suppo-

sons 'P choisie de telle sorte que le nombre k des fonctions ®,, rsa,

«oit minimum. Ce nombre ne pourra surpasser a. En elTet, supposons-lc égal à 3, et transformons la fonction ç = c.-t- Ca-t- par les substitutions de J,, pitls par celles du groupe analogue formé par celles des substilii-' lions de J qui n’altèrent que les indices de 2„. Le nombre des transformées ainsi obtenues sera égal à i).fjL„(/j''’— i), fj. (/>''■+ i}, ou

2(A„, suivant (pie le groupe F^ analogue k F, est de première, de^ seconde ou de troisième catégorie (fi„ y„ étant les noiiihrcs analogues a u,

V et relatifs au groupe F„). Ce nombre sera toujours supérieur au nombre lies fonctions distinctes dont ces transformées dépenileni, lequel est évitleinmenl égal, suivant le cas, à i -t- 2jav ■+- 2 u,v„, i + 2uy -4- ou

I -+- 2pv -+- fA„v«. Donc ces transformées ne sont pas distinctes, et deux au moins d'entre elles, = !»'„ sr[, -r- c*. f"= ro', -r- >3», appartiendront à un même système 8'. Leur dilTércncc o'„ — nr'„-é — n" appartiendra k s'. Si l’on n’a pas = celle fonction contiendra les indices de deux .systèmes seulement, dont le système 2„ : et 3 ne sera pas le minimum de k. Si ’r'jrr'Br'j, — ar’ appartiendra k 8', Donc toutes les fonctions formées avec, les indices de 2„ et notamment , appartiennent à 8' : p' — a, = -t- rr*

lui appartiendra également. Donc ici encore, 3 ne sera pas le minimum <le k.

Soit donc P = B7, Transformons celte fonction par les substitutions de J». Si l’on n’a pas k la fois p — 3, u„ = i , v„ = i ou 3, deux de ces transformées, p'= 7s'„ , p"= n,-i- c' , appartiendront k un même système 8' :

leur différence n', o* , et par suite les fonctions des indices de 2„. et nulammeni ci,, appartienilrnnt k 8'; et B!„r=p'-- lui appartiendra. La proposition 1 se trouvera ainsi démontrée. -

WHI UVnE C'CATRltME

Soit entin /» = 2, fir= u, = i , v = t on 2,- v„ = i on a. Supposons pal' cxi'inplf y = I , v„ = 2. ( Les trois autres rumbinuisons de valeurs de v, sc traiteraient de la niêiiie façon). Soient x,, x, et j„, j,, v, les indices de J„ el de la- I.ps substitutions de ces deux groupes contiendront respcctiveinenl les suivantes •

fi- el ga élant respectivement des racines primitives des congruences

' (n’O'l- assoit = a.r„ + hx, -(- c r. -t- dy, ■+■ ey, + /y, une des ronelions cbereliées, dans laquelle on n'ait pas a = h = o. Cette fonction, Iransfornice pâlies substitutions dérivées de F, F^. donnera 3.5 transformées différentes, qui ne peuvent être distinctes, car elles ne contiennent (|ue six indices. Donc deux au moins de ces transformées, 9', 9", appartiendront à un même système ,s'. Ce système contiendra = o' + r/iy', m étant une indéterminée dont on pourra profiter pour faire évanouir le cocilicient de l’un des six indices, celui de ,Vi par exemple, dans l'expression de 'i. Par un procédé analogue, on pourra obtenir une nouvelle fonction appartenant à l'un des systèmes cherchés et qui ne contienne plus ni r,. ni Vj, etc. On obtiendra •enfin une substitution de la forme appartenant à l’un des sys-

tèmes ebcreliés. Toutes les fonctions formées avec x„, x, appartiendront à ce système ("îTO).

774. Les deux propositions précédentes montrent que chacun des systèmes ,s, s',... est formé par les fonctions dérivées des indices d’un ou plusieurs des systèmes 2», 1

.\dmettons maintenant, pour plus de généralité, que (|uelques-iins des grou|)cs 1.', L",... soient décomposables de première espèce. Supposon.s,

pour fixer les idées, que 1/, L'' le soient, mais non 1.” Les indices de L'

^forment deux liypcrsystèmcs ll„. Il',; et l.'.se construit à l’aide d’une substitution W' qui permuU' les deux bypersystèmes, cl d’un groupe L'„ dont les substitutions n’allèrent (|uc les indices de H'„; et le grouiie J’„, qui est à L'„ ce que J est à L dans l’énoncé du ibéorème C, sera évidemment cuutenu dans I,', et par suite dans L, et enlin dans J.

Le groupe L'n est indécomposable ou décompo.sable de seconde espèce (Ô9!>). isupposons-le décomposable, pour plus de généralité. Les indices s’y répartiront en systèmes, cl L* sc construira à l’aide de deux groupes : l’uu D'„, dont les substitutions permutent transitivement les systèmes : raulro F',,.

DE LA nÉSOLUnON PAR RADICUJX. liOl

dont les substitulions n’aliércnt que les indices du premier de ces systèmes, 2,. Les substitutions de 1)',, appartiendront à L„, à L', et enlin à J. Soient d’ailleurs :i,, A'„. A' les groupes primitifs qui servent à la construction de l)'„; f/, leurs degrés successifs.

Les systèmes formés par les indiees de L' se partageront de même en deux liypersystèmes II',, II'. Quant aux systèmes formés par les indices de I,", nous les considérerons comme formant un seul hypersysteme H".

773. Cela posé, on voit, par les propositions 1 et 11, que chacun des systèmes cherchés s, est formé par les fonctions linéaires des indices d’un ou plusieurs des systèmes 2„, 1 ; Deux cas seront ici à distinguer par rapport à chacun des systèmes », »’,

i" Parmi ceux des systèmes 2,,... dont 8 contient les indices, il en existe plusieurs 2'„, 2^, 2”,, 2' appartenant à des hypersyslèines différents, tels que U'„, H',, H' , II'. Dans ce cas, » contiendra tous les indices de ces hypersystèmes. En cllct, les substitutions de D,, appartenant à J, remplaceront les fonctions de 8 par celles d’un meme système. Mais elles laissent invariables ceux des indices de !!'„ qui sont contenus dans 8; donc elles remplacent les unes par les autres les fonctroos de 8. Donc » contient les fonctions que les substitutions de I)', font succéder aux indices tie 2',,, c’est-à-dire tous les indices de H'„. De même 8 contiendra tous les indices des autres hypersystèmes H'„, ir, , H*.

Soient maintenant l le groupe complexe formé à l’aide des groupes primaires L'„, L', L": y le groupe qui est à l ce que J est ,i L dans l’énoncé du théorème C; l l’une de ses substitutions; t'^, l", t' les trois substitutions partielles, appartenant respectivement aux groupes L'„, L", L', dont l est le produit : J contiendra une substitution T qui fait subir aux indices de 8 l'altération t. En ellèt, si £ = o, (voir l’énoncé da théorème C), ce qui est le cas général, la substitution / est abélienue propre, et sera contenue dans J. Dans le cas exceptionnel où £ est un entier impair, on aura d = i, sans quoi le groupe L tomberait dans un cas exclu (707 et 711). Donc chacun des groupes L', L", L', L'*',... a pour expo.sant l’unité. Soit donc le facteur par lequel t multiplie les exposants d’échange des substitutions correspondantes aux indices de 8; les groupes L‘*’,... contiendront respectivement des substitutions qui multiplient les exposants d’échange par ce même facteur; et J contiendra la substitution T = où i\ est la sub-

stitution qui altère les indices de H',, comme t'„ altère ceux de H',.

a° Tous les systèmes dont 8 contient les indices appartiennent è un même

ll<)2 LIVRH QCATRIÈME.

Iivpersyslènie, tel que H'^. Soit 2, l'un de ces systèmes. On verra, comme au n” 740, que s est formé par les indices des systèmes qui sont permutés avec 2, par les substitutions de l’un des groupes successifs (A„, A'„, f4'„, A'o....), (A’„, I, par exemple par les substitutions de tiela posé, les indices do H'„ formeront qq' systèmes ê, que les substitutions (2„, Ag) permuteront entre eux.

Soient d'ailleurs / le groupe dérivé de la combinaison de (A„....) avec F"*: y le groupe qui est à / ce que J est à L : on voit, comme tout à riietire, (|ue t étant une quelconque de scs substitutions, J contiendra une substitution T qui fait subir aux indices de s l’altération t.

774. TiiéoRè.ME. — Le théorème C, est vrai si i^est dicomposable.

Parmi les diverses manières de grouper les indices de ^ en systèmes, choisissons l'une de celles où le nombre des systèmes est minimum. Le groupe ^^se construira à l’aide de deux groupes : l'un iD, permutant les systèmes d’un mouvement. d’ensemble et d’une manière primitive; l'autre I' n’altérant que les indices du premier système

Le groupe J étant supposé contenu dans chacune de scs substitutions remplacera les fonctions linéaires des indices de chacun des systèmes s, par les fonctions linéaires des indices d'un même système.

Désignons par / et y les mêmes groupes qu’au n" 773 : L étant contenu dans 1^, j le sera évidemment dans 1’. Mais les groupes /, y, F étant de degré moindre que L, J, 4^, le ibcorème C leur est applicable, par hypothèse. Donc / et F sont des groupes pareils; donc l est primaire comme F. Donc <'cux des indices de L dont s est formé appartiennent exclusivement a un seul des groupes L', L", L",....

.\insi, chacun des systèmes 8, g’,... est formé de tout ou partie des in-, dires de l’un des groupes L', L", L",... (et de leurs fonctions linéaires); et ces groupes pourront en général se partager en deux sortes : i“ceux dont tous les indices appartiennent à un seul de ces systèmes; a° ceux dont les indices forment plusieurs systèmes.

H ne peut exister plus d’un groupe de première sorte. Car s'il y en avait deux, L', L“, ces deux groupes étant pareils à F, le seraient entre eux, et l’on tomberait sur un cas exclu (713).

775. Parmi les groupes de seconde sorte, il n'en existe aucun qui soit dèconqiosable de première espèce. En efl'et, si l'un d’eux L' l'était, ses indices se partageraient en deux hypersystèmes H'„, H’,, dont chacun serait formé

DE I.A RfiSOUmON PAR RADiaüX. eO:t

par li*s indices d'un ou plusieurs des syslëmes K, *' Soient x,, y,,... el

•v,,y les indices do ces liypersystèuies : V se construira au moyen de

la substitution

" ' = I ar„ }■•>■■■ r> g.> » • • • I >

et d’un groupe I,'„ dont les substitutions n’altèrcut (|ue les indices de H'„. (ie groupe se construira lui-même à l'aide de deux groupes D',( = (A,, A',, A' ,...) et r„. Parmi les systèmes qui sont contenus dans H'„, il en existe un S tel. que le groupe l qui lui correspond soit dérivé de la eornbinaisun de l'y avec (A*....) par exemple.

Soient maintenant L', , D', = (A,, A',, A’, ....), T, les groupes transformés de L'd, D'„, I'',, par W' : L' pourra être considéré comme construit à l’aide de W' et de L',; et parmi les systèmes qui sont contenus dans H', , il en existe un s' tel, que le grou|>e correspondant l' soit dérivé de la combinaison de 1",

avec un des groupes (A,, A',. A' ,...), (A',, A’,....). (A* ,...) D’ailleurs s

et *' contiennent le même nombre d'indices. Donc /' dérivera de la combinaison de r, avec (A", Mais / et /' devraient être pareils, ce qui n'est pas, bien qu’ils aient la même forme: car ils ont a pour exposant et sont

rapportés respectivement aux indices x,, y et aux indices x,, j,,... qui

correspondent à des substitutions dont les exposants d'échange sont g fois plus grands.

776. Chacun des groupes de seconde sorte déplace la moitié au moins des systèmes {davantage s’il ny en a pas juste quatre). Cela est clair s’il n’y a que deux systèmes. S'il y en a davantage, le groupe <0 étant primitif, le nombre des systèmes est une puissance d’un nombre premier, telle que 0(533):

et si l'on caractérise les systèmes par n indicateurs x, y variables de o à

p — leurs déplacements par les substitutions de (D seront de la forute

|x,y,... ox -I- 6y-e. . . -I- a, «'x -f- 6'y-t-. . .-t- a',. . .

Le nombre des systèmes déplacés .par chaque substitution de (0 (l’unité exceptée^ sera au minimum pf—pT-', nombre égal à i si /»" = '|, supérieur dans tous les autres cas (718).

Soient d'autre part L' un groupe' de seconde sorte: I) — (A, A', A", . . .) et F' les groupes qui servent à le construire; S l'un des systèmes qu’il con-

( * ) Noua changrona ici le sens des lettm />, n.

'.ut LI\-RE OÜATRIÈME

lient: (A" P') le groupe l correspondant. Les substitutions (A, A') per-

mutent entre eux les qq' systèmes que contient I/, sans déplacer les autres. D'ailleurs elles appartiennent à J et par suite à et enfin à i». Donc les systèmes qu’elles déplacent, et que colUieni L', forment au moins la moitié du nombre total (davantage, si

777. Les propositions précédentes montrent que trois hypothèses .seulement .sont possibles relativement aux groupes L"", L"

I® U existe deux groupes L', L’ de seconde sorte, contenant chacun précisément la moitié des systèmes; pé=tf. Ces groupes contiennent chacun deux systèmes : ils sont évidemment semblables entre eux, cl nous tombons ainsi sur un cas exclu (71.1).

a® Il existe un groupe de seconde sorte, L', et an de première, L". Les déplacements que L' lait sûbir aux />"— i systèmes qu'il permute entre eux forment un groupe primitif A; sans quoi l'une des substitutions de L'

déplacerait tout au plus f- systèmes, résultat absurde. On aura donc

//■ — I =n", TT étant premier; et le premier faisceau de A, ç, contiendra n™ substitutions d’ordre n, échangeables entre elles.

<Ar si l'on admet, ce qui est permis, que le système que les substitutions de 4 n’allèrent pas est celui dont les indicateurs sont tous nuis, les substitutions de 9 prendront la forme linéaire sans termes constants

(7) |j:, y,... «ar -^ 6)--h. . a'r -I- i'y +- |.

Os substitutions étant d’ordre premier h p, et échangeables entre elles, pourront être ramenées simultanément par un changement d’indices à la

forme canonique monôme. Les nouveaux indices X,, X se partageront

en systèmes contenant respectivement pv, ;a'v',... indices, respectivement répartis en v, v',... séries: et l’ordre de 9 divisera (7'’ — 1) (/'”’— !)••■• pv -t- p'v' -+-... étant égal à n (186). Pour que cet ordre soit égal à //■ — 1 , il faut évidemment qu’il n’y ait qu’un système, et qu’une série. .Mais alors lesp"— I substitutions de 9 seront les puissances d’une seule d’cnti*e elles, de la forme

A = 1X„X„... i\„ir\ I,

OÙ i est une racine primitive de la congruence if'-' — 1 (mod.p). .Mais cela UC peut avoir lieu que si m = 1 , d’où i = u. Dans ce cas, A contiendra n(n— 1) substitutions, toutes permutables è 9, et sera contenu dans le

DE LA RÉSOLUTION PAR RAmCACX.

jçroupe K formé parcelles des suhslitutions de la forme (7) qui sont permutables à Mais en prenant pour indices indépendants Xg, X,,..., on voit immédiatement que K se réduit anx n [p' — 1) substitutions de la forme

1 X., X nX„ o'X,*,, . . .

Donc rt(n — 1) = (^— 2) divisera n{p/' — i), résultat absurde si Mais si <l’où îî<3, on tombe sur un cas exclu (714).

3® H n existe quitn groupe de seconde sorte, I.'. Le groupe A formé par les déplacements que L' fait subir aux systèmes est un groupe transitif contenu dans le groupe primitif 1». Appliquant b ecs deux groupes le tliéorème A. supposé vrai pour les degrés inférieurs b pf, on voit que ces deux groupes sont pareils; / étant d’ailleurs pareil à T, L = L' le sera b con- Irairement b l'Iiypotbèsc.

Cas où 3^est indécomposable.^

ns. TuÉoRèME. — Les groupes I., J étant définis comme au théorème (i, supposons que ^ soit indécomposable et contienne J ; 'son premier faisceau -• sera contenu dans F, premier faisceau de L.

La démonstration est fondée sur le lemine suivant :

Lf.mme 1. — Soient C, E deux substitutions quelconques de J : C“‘ K"‘ t'E sera échangeable aux substitutions de i. En effet, si est de première catégorie, par exemple, les substitutions C et E qui y sont contenues seront de la forme a et étant définies comme au n“618 et ^ étant une

substitution qui ne déplace pas les séries. La substitution C“'E''CE, se réduisant évidemment b la forme sera échangeable b celles de i.

Si donc C est écliangeable aux substitutions de ,f, E"' CE le sera.

Le groupe L étant supposé complexe, pour plus de généralité, soien( L', L",... les groupes primaires dont il est formé. Les indices de L' se répartiront en général entre systèmes (couples de systèmes) S, S et L' sera

formé au moyen de deux groupes D' et T,,, l’un permutant les systèmes, l’autre n’altérant que les indices d’nn seul système (couple de systèmes) S.

,779. Lemme II. — Toute substitution de 3 remplace les indices de S par des fonctions de ces seuls indices. En effet, ces indices se partagent en séries. Si chacune d’elles contient plusieurs indices. G,, second faisceau de r„, s’obtiendra en adjoignant b son premier faisceau F. certaines doubles suites A,,

fiOli UVRE QUATRIÈME,'

B (lonl les subslilutions, éiaiit abélicniies propres, appartiendront

à J. Prenant C = A,, E= B,, il vient C“‘ CE = 9, substitution qui altère tous les indices de S sans altérer les autres. Les substitutions de lui étant éeliangeables, remplaceront les indices de S par des Tonclions de ces iiièmes indices.

Si chaque série ne contient qu'un indice, un obtiendra le même résultal. Kt d’abord sera de première ou de seconde catégorie.

j° S’il est de première, catégorie, soit y' le nombre des séries de chaque système. Si v’> i, I”,, et par suite J, contiendront les substitutions

'f — I . . ■ , Xrf ..., ar'^, ... ..., Xr^t , ■ • • , • I»

oii est une racine primitive de la congruence es i (mod./>). Posant ('■=g, E = 'f, il vient C"‘ E“' CE = substitution qui altère tous les indices de S sans altérer les autres.

Si v'= I, d'où /> > 3 (616), r",,, et par suite J, ronliendra les substitutions abéliennes propres

ér=l-*^. A=|x, x' x', — x|.

Posant C = ^, E = âi, il vient C~'E~'CE = g'’, substitution qui altère tous les indices de S (/»'’’ étant > 3) sans altérer les autres.

3° Si r’„ est de seconde catégorie, soit 3v' le nombre des sériesa l''o contiendra les substitutions

^=|...,x„... g^'x„... 1, <l'=|..., cCx,*,,... I,

où g est une racine primitive de la congruence g^' sr i (mod./>) cl e une racine de la congruence ~ — i . Ces substitutions, étant abéliennes propres, seront contenues dans J si /<>3. Posant alors C = jç', E = 'f, il vient C"' E“‘ CE = g'’"', substitution qui altère tous les indices de S sans altérer les autres.

Si p~i, J ne contiendra pas 'f (678); mais il contiendra <f*; et l’on pourra poser (^=g, E = 'f, d’où C~' E"'CE=jç^’"', substitution qui altère tous les indices de S (sans altérer les autres), pourvu que l’on ait y’> i, Soit /» = 3, y' = I . Si ).' > I , D’ contient une substitution T qui remplace S par un autre système S,. Cette substitution appartient à J (675); posant (>=T, E=^, et désignant par y, y, les indices de S,, la substitution

DE U Rf:SOI.LTION PAR RADICAUX. <W7

(; ■' E' ' CE iniillipliera x el v, par g~‘ =g’, v <■! x, par g, et n'allérer.i pas les autres indicc.s. Les subsliiutinns >lc qui lui sunt échangealilcs, remjilaeeronl ilone x et v, par des fonctions de ces seuls indices. Soit

f -- I x,y„. . . lx -\ m y„ l'x + m' r.,. . . |

l’une d’elles. .Sa transformée par g, appartenant à .f, lui sera échangealile, d’oii les relations

i;V msx g-'V m, {g— t)m[l -- m') = {g ' — i)V [J — m')^o

d’où l’on déduit, comme au n”7t8, /'ssmsso. Ou voit de même que/ multipliera x,, y par de simples facteurs constants.

Resterait enfin le cas oü/> = a, v' = i , X' = i . Considérons dans ce cas tes groupes L",... qui concourent avec L' à la formation de L. Si l’un d’eux I." était de seconde catégorie et que les nombres v", X” res|iectivement analogues à ■/, X' SC réduisi.ssent à i, il serait semblable à L', et l’on tomberait dans un cas exclu (713). Dans le ras contraire, l’analYse précédente montre qu’il existe une substitution qui altère les indices de l’un quelconque des systèmes (couples de systèmes) de L“, sans altérer ceux de L', et à laquelle les substitutions de i soient échangeables. Les fonctions par lesquelles ces dernières substitutions remplacent les indices de L' ne .peuvent done’conlenir les indices de L".

780. Lkmme III. — Soil X l’un quelconque des indices de S. U ne. figure qu'un seul indice de chaque série de S dans les fonctions que les siihsfilulions de ,i font succéder à X. Cela serait évident si chaque série ne contenaii qu’un

indice. Admettons donc qu’elle en contienne plusieurs; et soient .\,, Il ;

.V,, B',,...;... les doubles suites qui, combinées à K,, reproduisent G„.

I® Si r„ est de première catégorie, il contient une substitution abélicnne propre T qui ne déplace pas les séries et ne soil pas échangeable à A, aux K près (733), Cette substitution appartiendra à J; et si l’on pose C = A,, E = T, C"‘ E"'CE sera de la forme /A^'B)'...,/ étant une .“ubstitution de F,. Les substitutions de .f sont échangeables b cette substitution el b ses transformées par les substitutions abélicnnes propres T, T,,... que contient I”„. Mais les transformées de par ces dernières substitutions, étant jointes b F,, reproduiront tout le faisceau (F„ .A,, B ). DoVtc ces trans-

formées, combinées entre elles, reproduiront une substitution de la forme

/.Al'B|'.,., quels que soient les exposants y,, d, En particulier, elle.s

reproduiront des substitutions telles que f, A,,/, .\j

WH I.IVBR QUATRIÈME.

Oii verra île niéinc que parmi Ic.h .substilulions auxquelles cellc.s de doivent être écliangcables. il en existe de Hiacunc des fornics/' A',...;....

Cela posé. Ic.s substitutions /,' A',,...;... multipliant tous

les indices par des facteurs constants, les substitutions de i, qui leur sont écliangcables, remplaceront ebaque indice par une fonction de ceux-là seulement que rbacune de ces substitutions multiplie par un même facteur. Deux indices quelconques [ç, .cl [l’,!',... d’une même

série sont multipliés par un facteur différent dans l'une àu moins des substitutions ci-de.ssuS; car si par exemple, diffère de f|./i A, ne les multipliera pas par le même facteur.

781. a" Si r’u est de seconde catégorie, il contiendra encore une subsli-

fulion T qui ne déplace pas les séries et ne soit pas écbangcable à A, aux F près. Si T n’élail pas abélienne propre, mais multipliait les exposants d'échange par un facteur X', r„ contiendrait la substitution '

où le facteur h est une racine de la congruence A'’'"'’' E::/-(mod,/>), et ta substitution abélienne propre hr' T, i|ui transforme K, de la même manière que T. On pourra poser C = A, E = A^'T; cl C~‘E“*CE sera..de la forme /a:b|'.... Les transformées de cette substitution par les substitutions T, T,,... du groupe r„, ou. ce qui revient au même, par les substitutions abélicnnes propres A-'T, Ar'T,,..., lesquelles appartiennent à J. combinées entre elles, reproduiront des substitutions de chacune des formes /,A,,- /jA,...,. Cela posé, on achèvera le raisonnement comme tout à l’heure.

782. 3® Si r„ est de troisième catégorie, sa construction dépend de groupes auxiliaires /, de première ou de seconde catégorie, et respectivement correspondants aux doubles suites A,, B,,...; .A',, B’,,...;.... Considérons en particulier le groupe /; et posons

J.es substitutions de /seront de la forme

. Supposons, pour plus de généralité, que / soit décomposable; il sera formé à l’aide de deux groupes: l’un, J, permutant les systèmes (couples de

DE U RÉSOLUTION PAR RADICAUX. m>

sysli’ine.s) d’un mouvement d'ensemble; l’autre, y», n'altérant que les indiees du premier système (couple de systèmes). Soient le premier faisceau de y,; a,, 6,,...; a\, b\, les doubles suites qui, jaintes à f, formeront son second faisceau. Ces subslitulions, ainsi que celles de d et de

seront les corrélatives de certaines substitutions de T„, telles que T, T

qui multiplieront les exposants d’échange par des résidus quadratiques de P (671-677). On peut admettre que ces résidus qundratiijiies se réduisent à l’unité : car, si T, par exemple, multiplie les exposants d’échange par k^, soit k la substitution de qui multiplie tous les indices parX-; contiendra la substitution k~'T, qui est abélicnne propre et a la même corrélative (|uc T.

783. Supposons maintenant en premier lieu que y, soit de première catégorie. Remplaçons les indices x,,y,, x,, v,,... par d’autres indices indépendants, choisis de telle sorte que le groupe / prenne sa forme type; soient

ceux de ces indices qui forment respectivement le premier et te second système de y„, l^s sub-

stitutions correspondantes. Soient v le nombre des séries de chaque système. U le nombre d'indices de chacune d'elles; les pLv indices imaginaires

Q,e,... >;,... re dépendent d’un nombre égal de l'onctions réelles x\ Les

indices des premiers systèmes de chacun des autres couples dépendront >ie même de fonctions analogues et l’on peut admettre, sans nuire à la

généralité, que x', ..... x^., x',.*, .... se confondent respectivement avec .r,,..., x,,v, X|i,+ (638). Cola posé, les substitutions ,V, corres-

pondantes aux indices x,,..., x,.,, seront dérivées des substitutions Pi réciproquement.

Soit par exemple .1., = CJ , et soit h une racine pri-

mitive de la congruence /»'•”' s i (mod.^). La substitution h d’ordre a’— i

dont les puissances reproduisent 5;, transforme .u, en , «...Qjf ,, „..., laquelle diffère évidemment de .1.,. Donc x~' h~' .\.,h ne se réduit pas à l’unité. Celte substitution est d'ailleurs évidemment dérivée de ,i.,, .u,,..., •' nv: supposons-la donc égale à -i Soit maintenant H la substitution abélicnne propre contenue dans l’'„ et qui a h pour corrélative; on aura, eu posant C=.\,, E = II, G“' E”'CE =/Aî‘... A^’ (/ étant une substitution de Ko), et les substitutions de .7 seront échangeables à cette substitution, et à ses transformées par les substitutions de J.

Les transformées de la substitution .vJ'. . . par les substitutions

lilU LIVRB QUATRIÈME.

{h, a,, b,,..., à^, combinées entre elles, reproduiront toutes les

.substitutions (,v Car celles qu’elles reproduisent forment évi-

(leniment un ^çroupe permutable à h, a,, b, a',, Si ce groupe

ne contenait qu’une partie des substitutions (.A. groupe

(/i, a,, b a',, serait non primaire. On pourrait donc déterminer

des fonctions réelles des'indiccs en nombre inférieur à fiv, et que chacune de ses substitutions remplacerait par des fonctions linéaires les unes des autres; résultat absurde, car d’une fonction quelconque jointe à ses transformées par b, a,, b,,..., a\, b' on déduit piy fonctions distinctes, ainsi

que nous l’avons vu.

Les substitutions (,l.,,..., ainsi dérivées de -i.*’. . ..aJ?’ et de ses transformées, étant à leur tour transformées par celles de d, fourniront toute la suite des substitutions .A, ,A|i„

Cela posé, il est clair qu’en transformant /.\î'... par les substitutions abéliennes propres qui ont pour corrélatives A, a,, b d^, b\ com-

binant ces transformées entre elles, et transformant les résultats obtenus par les substitutions abéliennes propres qui ont pour corrélatives celles de 5, un obtiendra aux F, près toutes les substitutions de la suite A,,..., A|i„ A^v.,.,,.... D’ailleurs les transformantes appartiennent à F',,, et par suite à J. Les substitutions obtenues et qui sont respectivement des formes /, A,, /i A„... seront donc échangeables à celles de -f. Cola posé, on aebèvera la démonstration comme aux deux premiers cas.

Hemarque. — En considérant les seconds systèmes de chacun des couples entre lesquels se répartissent les indices de on démontrerait, d’une manière analogue li la précédente, qu’il existe des substitutions des formes /,' B,,/j R],... échangeables aux .substitutions de .7.

784. Si y, est de seconde catégorie, la démdl)stration est la même, sauf

la simplification résultant de ce que les indices de ne forment qu’un système, ce qui permettra de démontrer du mémo coup la proposition relative aux substitutions /, A,, /,A, et celle relative aux substitutions B,,

785. Lfmme l\’. — Les fondions desTndices de S que les subslitutions de i font succéder à x ne contiennent aucun indice appartenant à une autre série que X. Trois cas sont è distinguer :

C» de première catégorie. Soient g la substitution d'ordre p'’— i dont les puissances reproduisent F„, A et <ï deux substitutions définies

• «Il

DE LA nfsnumoN par RAniCVUX.

tomme an n® 618: conlienilra une subsiitulion abélienne propre de l’une

des deux formes ne déplaçant pas les séries (*). Suivant que

l'un ou l’autre de ces cas se présentera, nous prendrons C = g, E = A^. d’où C“'E-'CE = ^-*, ou C = ^. E = A>??^. d’où C-E-'CE = Les

substitutions de .f seront étdiangeables suivant le cas à la substitution g~’ ou à la substitution elles remplaceront donc chaque indice par une

fonction de ceux-là seulement que ces substitutions (qui sont canoniques monômes) multiplient par un même facteur constant.

Soit d’abord C~' E~‘ CE = Supposons, ce qui est permis, quex soit de la première série; g~* multipliera les indices ij, Vp,... de la p-i- série du premier système par ^ et les indices ar',, y',.,..- de lu r-4- i''""" série ilu second système par g^’’ -

Pour que les fonctions que les substitutions de font succéder à .r continssent l’un des indices x^, jp,..., il faudrait qu’on eût

g-' = g-'f' (mod.^), d'où — i)“o (mod./j' — i),

ce qui est absurde, p étant <v.

Pour que ces fonctions continssent l'un des indices x'^, y\, il faudrait qu'on eût

g~' = g'^' (niod.p), d'où a i)= O (mod.p'— 1).

Posons donc

(8) a(/»'-4- I) = /^(^■— I), d'où yp(A/>—' — a) = A -l- 2;

on aura a fortiori, pf étant au moins égal à i et à a, aA— a^A-(-a, d'où A'^4'

Posant successivement i, a, 3, 4 dans la relation (8), et remarquant que (616), et ne doit pas être égal à 3’, ce qui serait un cas exclu

(704), oti ne trouvera qu'une solution, 4 = i, r = o, p’ = 5.

Cette dernière hypothèse ferait elle-même tomber dans un cas exclu si chaque série ne contenait qu'un indice, ou si le nombre 3C du n'^ 705 était

(•) En effpl, Its groupes auxiliaires qui servent à la conslruclion dol', ronliennent chacun um' sulMlilution qui multiplie chaque indice par p •. ces substitutions sont les corrélatives d'une substitution de 1',, de la forme laquelle, combinée à la substitution de forme .RÛ^^que 1',

contient nécessairement (636), donnera une substitution de la forme A^ou do la forme A'Sp .

i;li ■ LIVRE QUATRIEME,

|>uir. &'il est impair, T, contiendra deux substitutions abéliennes propres a', F, telles que l’on ail A'~' jr'g =g’, t étant impair (765-765) (*). Les substitutions de .f étant ccbangcabics à g', qui multiplie x par g' et x', y',... par un autre facteur g~', feront succéder à x des fonctions qui ne contiennent pas x', y,....

786. Soit maintenant C"' E"' = Celte substitution multiplie x

par a*p, 7p,... par x',, par

Pour que les fonctions que les substitutions de ^ font succéder à x contiennent Xf, y,..., il faut qu'on ail

^(/n-1) = (mod.p), d'où { p + i){p> — i)^o t mod./c — i),

relation où p est au moins égal à i et moindre que v. Si p <v — i, elle est impossible, car on aurait

Soit donc p = v — i; il vient

-f- — y)— I S O (mod.p*— i), d’où

d’où enfin v= 2, p = i,pj restant arbitraire.

Pour que ces fonctions continssent les indices x), y,,..., il faudrait qu'uR eût

(i() = (mod.p), d'ôù (p-l-iHp'-t-Cso (inod.p'— i),

relatiou impossible si v>4- Car soit dans cette bypolbèse r = v — i; le reste />’'■* -h P» -4- 2 de la division de {p+ + ') pa*" p''— ' sera </>’'— i

cl >o. Soit au contraire r<v — i; on aura

ip 4- i)(p'+ I) = p'+‘ 4-p’' 4-p 4- 1 <Zp'~‘ 4- /»— ’ -h. . . + p + I <. ^ \ ^P‘ ~ '

Si V = t\ et /-= 3, il vient la relation absurde

OSp*4-p’4-p4-I=p’4-p4-3 (mod.p'— l).

i*) La subsliluiion g n'esi autre que la subatiliuiony de l'eodroit ciU.

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX

Si y = r = 2, il vient

{niod./j‘— i),

d'où p — 1.

Si y = 4, /•< 2, {p + i){pT+ i) sera <p^— i .

Si y = 3, r= 2, il vient la relation absurde

Ip + ')(/’’■•■ p' -t- P -t- 2 = o(mod.y>*— t) = o (mod./i’ + p-*- t).

Si y ='3, r*< i, la relation (9) est absurde.

Si y = 2, il vient

1^0 (mod. /J — ij, d'où 2 = 0 ( mod. /» -• I ), /> = aou3.

Si V = I , d’où r = O, il vient

2(/>4-i) = o (mod./> — I), d'où y» = 2, 3 ou 5.

Or p"" > 4 (616) et ne peut être égal à 3* (704). En outre, le cas oii/) = 5 a déjà été discuté. Il ne reste donc que deux cas d’exception : i°v = 2 cl P quelconque, mais >3; cas où les fonctions que les substitutions de .f font succéder à x peuvent contenir un indice de la série x„ 2° v = 4<

P = 2, cas où ces fonctions peuvent contenir un indice de la série x\, y\

787. Di.scutons le premier cas d’exception, .\dmettons que i conlieniic une substitution 9 qui remplace x par Ix + my, par exemple : 9 remplacera de même y, par une fonction l'x 4- m'y, des deux indices qui sont multipliés par le même facteur que v, dans toutes les substitutions que nous avons vu être échangeables à 9. La substitution g, étant abélienne propre, appartient à J, et par suite à la transformée de 9 par ^ appartiendra à 3; elle sera donc échangeable à 9, d’où les relations suivantes

g-rfm^gf-' l'm, {g'-'— — m' ) = {gf-' — i) /'(/— m' ) = o.

On en déduit, comme au n®748, /' = mso,-ce qui établit notre proposition.

Soient maintenant v = 4> /> = a, et 9 une substitution de i qui remplace 2par Ix + my'j, y, par l'x + m'y^ : sa transformée par g lui sera écban-