LIVRE OÜATRIÈME

$;eal>le, d'uii les relations

g’’f' l’in, d'où — i) f/ii » O,

Ig'*'’ — i) m ( / — ni' ) = O, [g-('*r'> — 1} f( / — ni') k o.

Mais a(i +p*), et a fortiori ±(i -(-/»’) ne sont pas «les multiples de/>* — i; donc I, ne se réduisent pas à zéro. On aura donc

ici encore

/'ni = ni(/ — ni') = /'(/ — m') = O, d'où /' = m ^ O (748), ce qui ilémontre notre proposition,

788. 2” r,, est de seconde catégorie. Soient 2v le nombre de séries, g la substitution d’ordre /l’-t- 1 dont les puissances reproduisent F,. Le groupe F*,, résulte de la combinaison de substitutions de la forme ^avec une substitution de la forme S étant égal à 1 ou à 2 (590). On peut la supposer abélicnne propre, car si elle multipliait les exposants d'échange par i, r„ contiendrait la substitution qui est abélicnne propre, et de la

forme 11^5^(13 substitution ^ étant définie comme au n"781).

Supposons d’abord v>i, et posons C = g, E = (î*^; la substitution C~' E“* CE = g'’*~' sera échangeable à toutes les substitutions de .7. Or cette substitution multiplie x par g^‘~' et jp,... par g"’*”'"’*. Pour que les fonctions que les substitutions de .7 font succéder à x continssent l’un des indices x^, il faudrait qu’on eût

(10) gd-; ta gie^-or*, d’où (p*— i)(^i — i) = o (mod.p'-i-i.

Dans cette relation p peut varier de 1 à 2V — i . Mais soit p = v -t- r; on a /P {mod. p' -+- 1); de sorte que la relation (10) revient à l’une des

deux suivantes : '

(11) (p*— i)(pi— i)=o (inod.p--t- 0,

(la) (p*— 1) (p'4- i)so (mod.p’T I), r= o. 1,. . ., v — 1.

Étudions les moyens de satisfaire k ces deux relations, en supposant «^=2, ce qui est évidemment le cas le plus favorable. Clommençons par la relation (1 1).

Si P < V — I , on a (p’ — i) (pC— 1) <p^'”-+- 1 < p’-i- 1. Donc la relation est impossible. Si p = v — i, elle donne

P"*' — P'-' — p’ -t- I = — pr~‘ — p’ — P I O (mod. p’ 4- i).

DE U RÉSOLUTION PAR RADICAUX

Si V > 3, celle dernière relation est impossible, car — /)^' •— p est négatif, et moindre en valeur absolue que + /i -t . i

et a fortiori moindre que + i . Si y = 3, elle devient

ip*A-p^\r^o ( mod. p' -f- I

et ne sérail satisfaite que pour p — 2\ mais ce cas est exclu (708). Enlin, si y = a, elle devient

o = p' -tf tp — I ^2{p — i) (mod. i), ce qui est absurde.

Passons à la relation (i a). Elle est impossible si r< y — a; car on aurail

Soit r=v — a : il viendra

owsi[p'— -t- 1) = — p’~' 4-/»’ — 2 (mod./J’ 4- I).

Si y >3, — 4- />’ — a sera négatif, et moindre en valeur absolue que 4- a et a fortiori que yj''4- i . La relation est donc impossible. Si y — 3, on n’aurait de solution que pour p=2\ mais ce cas est exclu (708i. Si y = 2, — /!*”’ 4- />* — a se réduit à — 3, quantité positive, et inférieure à/)* 4- I. Donc la relation est impossible.

Soit enfin r = v — i : il viendra

o^{p' — i){p'~‘ 4- i) s — p—' 4- — p — I ( mod./»' 4 I .

Si y> a, —/>’■' 4- yj*—/) — I est négatif, et moindre que/»’ 4- i : la relation est donc absurde. Si v= a, il vient [p— i)’:^o(mod.//4- 1), ce qui est absurde.

789. Il reste à considérer le cas où y = i. Supposons que .7 contint une substitution 9 qui remplaçât x par une fonction telle que Ix-i-my,, où figure un indice de la seconde série. Il est clair que 9 remplacerait réciproquement y, par une fonction de la forme l'x+ m'y,. Cela posé, la transformée de 9 par g appartiendra à ,7, et par suite sera échangeable à 9; d’oii les conditions

/'/H I® /*m, ou (iuocI./é),

— 1) m(/' — m) ^ O, I )/'{/' — Oj

«Ki LIVRE QUATRIÈME.

d’oil, si auquel cas 2 (/> — i )• n’est pas divisilile par p+i,

l' m^m(l — = — m'J = o, et enfin /' = ni = o (748).

Soit enfin = 3, v = 1 . Si clia(|ue série ne contient qu'un indice, ou si le nombre iX (709) est pair, on tombera dans un cas d’exclusion. Si DC est impair, il existera dans r'„ deux substitutions ‘f, c, telles que l’on ait ‘f'"‘ P“* "f* r = g’’, T étant impair (766). Les substitutions de .f étant échangeables à g', qui multiplie a; par g'‘ et les indices ar,, j,,... de la seconde série par un autre facteur g'’’, feront succéder à x des fonctions qui ne contiennent pas x,,y

790. Il résulte des propositions précédentes qu'une substitution quelconque q prise dans i multiplie chaque indice de S par un facteur constant; car la fonction par laquelle elle le remplace ne contient que cet inilice.

.S(' chaque série de S contient plusieurs indices, q les multipliera par un même facteur, (iar cela est nécessaire pour qu’elle soit échangeable b des sukstitutious de cbacune des formes f[ B,,/j Bj

D’ailleurs q est réelle et abélienne propre. Elle multipliera donc les séries conjuguées ou conjointes par des facteurs conjugués ou réciproques. Il est clair par là que q appartiendra b F.

791. CoKoi.LAiAE 1. — Si l’un des groupes I.', L", ... est de seconde catégorie, sera de seconde ou de troisième catégorie. En effet, si L', par exemple, est de seconde catégorie, soient x, x',... et y, j',... deux séries conjointes de L'. (iliaque substitution de F' ou de F, ce qui revient au même, et a yôr- Uon chaque substitution de .T, les multipliera respectivement par des facteurs égaux ou conjugués. Donc ces deux séries feront partie d'un même système dans et ce groupe sera de seconde ou de troisième catégorie.

Corollaire II. — Si l'un des groupes 1,', I,",... est de troisième catégorie,

sera de troisième catégorie. En elTet, soit x, x',... une série de L', qui soit sa propre conjointe. Chaque substitution de F, et a fortiori chaque substitution de .f, multipliera x, x',... par ± 1. Cette série sera donc sa propre conjointe dans

792. TiiéoBÉMF.. — Le théorème C est rrai si t^esl indécomposable et de première catégorie.

Soient v le nombre des séries de chaque .système; ... le nombre

des indices de chaque série; ,i le premier faisceau de g la substitution d’ordre i dont les puissances reproduisent ,1; vs a',, les

DE U RÉSOLITION PAR RADiaAL’X. 617

douilles suites qui servent ii former son second faisceau. On va voir qu’en supposant le tliéorèinc en défaut on aboutirait à une absurdité.

PiinposTTioN I. — L'ordnf^ d’un groupe ü contenu dans t^et dont les sut» sUtutions soient ahélienncs propres, échangeables à celles de ,i et échangeables entre elles aux -f prés, et ne déplacent pas les deux systèmes de 4^. ne peut dépasser {p'— 1 ) .