Proposition II. — \, est primaire et indécomftosable

Fin effet, supposons I, complexe, par exemple, et formé avec les groupes primaires L', IA.... .Admettons que les indices de L' forment /. couples de systèmes, que nou.« désignerons par 2„, 2,,..., et dans le.squels ebaque système contienne v' séries contenant chacune p' indices; V se construit à l’aide de deux groupes, dont l’un D' permute le.s couples de systèmes, l’autre n'altérant que les indices du premier couple 1, : soit K, le premier faisceau de La sub.stitution g, dont les puissances reproduisent .1, est contenue dans F. premier faisceau de L (778). Elle sera donc le produit de deux substitutions partielles, dont l’une, g'„, altère les indices de et appartient h F'n, l’autre h altérant les antres indices.

Or .séit d’abord p > a ; contient une substitution ,R'f^ ^ qui permute entre eux les deux systèmes de ï, (636). Cette substitution transformera g'„ en gu"'’^ et sera échangeable à h; elle transformera donc g=^’„/i en gu ''' h. D’ailleurs elle appartient à J, et a fortiori à 4;^: donc elle transforme g en une de scs puissances. Mais g'^ et h altérant des indices différents, il est clair que cela ne peut avoir lieu que si cette pui.s.saoce se réduit ii l’unité.

tir considérons un indice quelconque de i„-, g ou, ce qui revient au même, g', le multiplie par un facteur tel que g'"'-, g'u~'^ h le multiplie par g'’'''. On doit donc avoir l’égalité

(• r'*' ^ gé (mod./j), d'où p> -s 1=0 (mod.p'— 1), ce qui est absurde, s étant <v.

Si P = 3 \e raisonnement précédent est en defaut, car la substitution .■RU’’' .J pourra ne pas appartenir à J (67l-67.i). Mais dans ce cas on aura 4 > a, v'>3, p" et /)’’ étant >4 (616). Cela posé, l'^ contient une substitution ubélicnnc propre de la forme laquelle appartiendra h J, et par suite à 4^, et transformera g en T^i ne pourrait se réduire h une puis-

IU8 LIVRE ÜLATRliCME.

siince (le g (|u’en admellanl la relation absurde

/>’— irro (inod./)’ — i).

794. PnoeosiTiox III. — e/ L ont le même premier faisceau. En elïel» soient v' le nombre des séries de rbaeun des systèmes de L, pi = 'n'’n"'' ... le nombre d’indires de eliacun d’eux, tdiacjuc substitution de F, et a foriion eliaqup substitution de .f, multiplie ces indices par des fac'tcurs dont la puissance //— I SC réduit à l'unité. .Mais i est formé par les puissances d’une substitution g (|ui multiplie chacun d’eux par un facteur tel (|ue g>'^, g étant racine primitive de la congruence g'''~' ^ i ;mod./i). Un aura donc

if'’'*’’ ' 'niod./»)- <l'eù p'' — li^o inod./c— i).

Donc y' est un multiple de v, tel tjuc X'v. D’ailleurs le nombre des indices est égal à 2jxv et à ayL'v'. On en déduit p. = =ip'.

■ ' Soient maintenant .4,, B,,...; A',, B' ;... les doubles suites qui, jointes

à F. reproduisent G, second faisceau de I,; et posons, comme d’habitiide, 5 = ' Br'.\, B,, 5' = .V,“' lf,*'A , If, Ia*s pui.ssances de 0 appartien-

dront h .1. En effet, p' divisant p, n, n\... le diviseront; donc chacun d’eux

-sera égal à quelqu’un des facteurs ra, ta' Soit par exemple r =i c. Les

deux substitutions 5 et 3= > 7' ui, sont d’ordre n et apparticnifl'iil à F. Donc les puissances de 9 et celles de 3 sont identiques, et se confondent

avec les puis.sances de g' ’ , g' étant la substitution dont les puissances reproduisent F.

Cela posé, les p"‘{p'' — i ^ substitutions de G seront abéliennes propres et échangeables entre elles aux près et appartiendront à J. En outre, elles ne déplacent pas les deux systèmes de En effet, elles remplacent un indice quelconque x par une fonction des indices x,y,... qui appartiennent au même système, dans le groupe L; (|ui, par suite, sont multipliés par le même facteur que .r, mi par un facteur conjugué, dans chacune des .substitutions de F, et a fortiori, dans chacune des substitutions de i; qui, par suite, appartiennent au même .système dans <7. On aura donc la relation

1). ou I 1),

d’où l’on déduit, comme aux n"“ 757-758, la preuve de notre proposition.

Gela posé, le théorème se démontrera, comme aux n"’ 758-759.

t)E LA RfiSOIXTION fAR RADUIAIX. (H!i

705. TuKOitKMt. — Le théorème C est vrai, si est indéeom/msahle et rie seconde catégorie.

Pnf .MiFB CAS. — I. est complexe ou décomposahle.

Supposons que le lliéorème soit en iléfaiil, cl choisissons les initiées inilépenil.'inls île manière à Mmcner c h sa forme type : soieni

M = ajiv le nombre de ces indices, av le nombre de séries entre le.squelles ils SC répariissenl, u = n*n'‘'... le nombre d'indices de chaque Eéricl ? le premier l'aisecau de 4^, g la substilution d’ordre 1 des puissances de

laquelle il est formé, .v,, «!> ; .v’,, aî>', les doubles suites qui,

jointes à .T, forment son second faisceau ff : les substitutions de jaseront de la forme <f étant la substitution

où / est suivant le ras égal à 1 ou à une racine de la congruence (mod./)). «r’-> étant lui-méme congru à — i, et s, *',... des substitutions qui ne déplacent pas les séries, et sont respectivement échangeables a toutes les doubles suites, sauf à la première, à la seconde, etc.

D’autre part, supposons I. complexe cl formé à l’aide de groupes primaires L'. 1." Si l’on choisi.ssait ces indices de manière à ramener ces

groupes à la forme type, ceux de L' par exemple se réparliraiciil entre X' systèmes (ou couples de systèmes) S„, S,,... contenant chacun av' séries, contenant chacune u.' indices; et L' .serait formé à l’aide de deux groupes, dont l'un D permute les systèmes, l’autre r„ n’altérant que les indices du premier système S#. Soieni K,, G„ les premier et second faiseeaux de 1"„.

.Nous admettrons que parmi tous les systèmes entre lesquels se répartissent ainsi les indices de L, S, est l’un de ceux qui en conlienneut le

moindre nombre N. On aura évidemment N5— •