Les substitutions de r„ se réduisent à la /orme S

Soit en effet i = ‘i’Pfi.s'.,. une quelconque de ces substitutions : elle transforme g en g'^. Mais prenons pour indices indépendants ceux qui ramènent L à sa forme type; g étant contenu dans .'f, et par suite dans F 778) conservera sa forme canonique. Soient maintenant x un indice quelconque

appartenant aux systèmes S ; g'^ le facteur par lequel la substitution

le multiplie : il est clair que Ir' gk el gt^ le multiplient respectivement par g’"' et par g'"'^\ facteurs qui ne peuvent être égaux que si p = o(mod.y).

•■fl I-IVHE QUATRIÈME.

797. Nous hIIoiis prouver maintenant ijue p.’ na aucun diviseur impair.

Si p' avait un diviseur premier impair n, l’une au moins des doubles suites

<|ui servent à eonstruirc Go serait formée de substitutions d’ordre n, ayant pour earaetéristiqiic une puissanec de i — K’'. Soit h une quelconque de ees substitutions : clic lai.ssc invariables, outre les M — N indices des systèmes autres que S,, la partie de ceux de S,. Cela posé, nous allons voir que h ne peut appartenir à e .

798. Propositios I. — La substitution h ne peut appartenir à Ç.

En effet, h lai.sse invariables plus de la moitié des indices. Soit au contraire /uu'... une substitution quelconque de (?,/ désignant une substitution de .1, V une substitution de la forme a.J' et.}'..., u' une substitution de la forme .t',®' etc. Si u, w',... se réduisaient à l'unité, /uu'... appartiendrait à .f, et par suite à F; elle, ne pourrait donc se confondre avec /i. Soit donc u^i; et supposons (|ue la première des puissances de /u qui appartient à ,i soit la a""'. Prenons pour indices indépendants ceux qui ramènent /u à sa forme canonique; et considérons spécialement ceux de ces indices qui appartiennent à une même série, la première par exemple; ils SC partagent en bt classes également nombreuses; et si /u multiplie les iuilices de l’une de ces classes par m, elle multipliera ceux des autres classes

par mi mi’^~\ i étant une racine de la congruence (mod./.i).

t'.ela posé, la substitution u'... remplace les indices de cha(|ue classe par des fonctions de ces indices, l’onetious qui ne varient pas d’une classe à l’autre. On peut lionc la ramener à la forme canonique par une transformation d’indices (|ui n’altère pas /u; et si u'... multiplie par n l’un des nouveaux indices, elle multipliera par le même facteur les indices analogues des autres classes.

Soient donc x, y,... des indices quelconques que /u et u'... multiplient par m et par n; il existera des indices en nombre égal que ces substitutions multiplient par mif et n, i|uel (|ue soit p. Si mn = i , on aura mi^n = Donc à chaque indice inaltéré par/uu'... correspondent bt — i indices

respectivement multipliés par St S"”'; et le nombre des indices de la

première série qui restent inaltérés est au plus égal au du nombre total; de même dans chacune ties autres séries. Il est donc impossible i|ue |dus de la moitié des indices restent inaltérés.

799. PiiopO.siTios II. — On peut déterminer parmi les substitutions de l'une

DF. LA HftSOUmOX PAH «ADICAUX. liJI

lies formes fo.fv',... un faisceau plus général que .f, permulahle à h, et ilont les subslilHlions soient échangeables entre elles.

La suli8tilu(ioii h élant échangeable à celle.s de ,1, et non contenue (laii!> <■', ce dernier laiareau contient au moins une substitution T de l'une des formes u, u',..., de la forme u par exemple, à laquelle h ne suit pas échangeable aux S près. Prenons/pour indices indépendants ceux qui donnent à h sa forme canonique. Soient x, x\... les indices, en nombre P, que h n’altère pas; y,... les autres, en nombre Q, qu’elle multiplie par des facteurs constants m,.... Soit enfin

,p I X, a-', . . . nx 6 j'-t-. . . cj- -t- ... , X-+- i'x'-i- ... -f- (•'/-t-...,... I

1 /, ax -t- . . . -t- y/ -t- I

Soient respectivement «,... les fonctions queT”' fait succéder à' La

substitution T“' h^'Jh = T„ se réduit à

Ÿ = {m — t)cH f',... étant des fonctions des Q variables u, Ces

fonctions, en nombre P>Q, ne peuvent être toutes distinctes. Soit par exemple r5>~+-r'ç' ^-o: T„ laissera invariable la fonction rx + r’x'-t- ....

Mais h laisse cette fonction invariable; donc T,, Tj transformées de T,

par h et ses puis.sances, jouiront de la même propriété.

Le faisceau dérivé de (.f, T,, T,, Tj,...), éviilemment contenu dans le faisceau {i, n), est plus général que .f et pcrinntalde à A; de plus, ses sid«stitutions sont échangeables entre elles. Lu elTet, choisissons les indices indépendants de manière à ramoner T„ à sa forme canonique; et considérons spécialement ceux des nouveaux indices qui appartiennent à la première série. Ils se partagent en classes telles, (|ue T, multiplie les indices

des diverses classes respectivement par les facteurs S*" S”"'.

Les substitutions T sont toutes échangeables à T, aux puissances

près de Sr. Soit donc T;"‘TjT, =3®T„. On aura T, ='C, D, C étant la substitution qui remplace les indices de la classe p par ceux de la classe s --- a, et D une substitution échangeable à T, et qui par suite remplacé les indices «le chaque classe par des fonctions de ces mêmes indices. Mais T,, lais.sant invariables des indices que T„ n’allèrc pas, ne déplacera pas la classe correspondante; donc a=o, et T, sera échangeable à T,.