LIVRE (.'I^ATKIEME
800. I’roi'osition III. La suhstitulion h ne peut apparlenir à
Soit 4> un raisroflii conttuui dans ' .i, u] (|ui salisfa.sse aux conditions de la proposition |iréeédenle, et qui ne suit eontenii dans aucun fai-sccau plus général jouissant des mêmes propriétés. Il ré.sullera de la eomliinaison de -v
avec un certain nomlirc de sulistitutions £, = .t."'iii.î'.... £, = ,1;'
telles, qu'aucune d’elles nu dérive de la coinijinaison des précédentes avce.f.
On peut déterminer une substitution qui transforme z,,
en S' Z,, y'Zi e,, étant des entiers arbitraires, car il suflil pour
cela de résoudre les congruences
qui ne |M)urraient être incompatibles que si quelqu’une des substitutions z,, S,,... résultait de la combinaison des autres avec 3. Soit donc <Op une substitution qui transforme Zf en SSp, et soit échangeable à £ £f-,.
I.e faisceau (.r', u) résultera de la combinaison de £,, <P,,..., £„, iCt, avec d’autres substitutions érbangeables à celle.s-là. Si ces dernières substitutions ne se réduisent pas a celles de .i, soient l’une d’elles, qui soit de la forme u: co,*, une substitution de même forme, échangeable à £,, (O £,, (0,, et qui transforme C,*, en etc. Le faisceau {f, u) résultera du la combinaison de .i avec la double suite £,, lO £,,
801. Cela posé, A étant permutable au groupe (.f, Z £„) transforme
les substitutions €^+,, lO,.,.,,... échangeables aux substitutions de ce groupe en substitutions jouissant de la même propriété. D’ailleurs ces transformées appartiennent à (.T, u); elles prendront donc la forme suivante
étant des substitutions de ,i. Donc A est peruiutable au groupe
(.7, £ £„, £,,.,1, i0„+,,...): d’ailleurs les transformées des substitutions
de ce groupe par A, combinées ensemble, doivent reproduire tout le groupe:
il faut évidemment pour cela que le déterminant des quantités a,,»,, p,* :
y«*i. ;••• ne soit pas congru à o(mod.a).
La transformée de (.0, par A sera, aux -i près, de la forme
et l'on peut choisir tP, de telle sorte que r».,,, se réduisent à zéro.
DE LA RÉSOLUTION PAU RADICAUX. (ii3
Hii cITul, (P, est assujuliic ii la seule conJitiun d'ètrc éeliangealtle U t-j
C„ cl de Iransfoniier C, en 5S,. La substitution C, = lO, salis-
ferail auA mêmes conditions, quels que lussent x, y D'ailleurs la trans-
rorméc de C, par A se réduira à la Ibmie /cf'C;'... si l’on a
(a.„— y.+,j--»-,..+r,.^,sso, j5.,..x-f-(i,+,— i,)/ o,.., (mod.ra;.
système de congruences dont le déterminant n'est pas rongni à o si ainsi que nous l’avons vu. Il ne l’est pas <lavantagesi *, Car s’il l’élaii, on pourrait délermincr les rapports de x, v,... de manière a satisfaire aux relations
(3t.*. — », )x 4- •/,*,/+ . . . ts O, 3„*, X 4- (à,*, —».)»• 4- ... O,. . .
Lela posé, la transformée de Siniîti,.,,.. serait dérivée de .î, C,
— Le faisceau dérivé de ces substitutions serait donc permutable à /i; d’ailleurs ses substitutions sont échangeables entre elles; il serait entiii plus général que (j, 2| C/i)i ce (|u’on suppose impossible.
On voit de même ((u’on peut choisir tO, ü0„ de telle sorte <|uc
<0,*,,.,. ne figurent pas dans l’expie.ssion de leurs transformées, (xla lait,
A sera permutable au faisceau (,i, Z,, lO, £«, (i>„) : elle le sera de même
au faisceau (J, £«*,, t0„*,,...) formé par celles des substitutions de A, a <|ui sont échangeables aux précédentes.
80i. Les résultats qui précèdent permettent d’assigner à la substitution A la forme générale qu’elle doit avoir. Trois cas seront ici a distinguer.
803. Premier cas.— a premier im/>air. Les substitutions C,, lO, t„, o',
auront pour caractéristique une pui.ssance de i — K"(ôG8), et pourront, par un choix convenable d’indices indépendants, se mettre sous la forme
£.^33|[ï,e,...»]. sl[e.e....£],i, .0, = ai (i
Soient /,£J’£Î' les transformées de £,, t.,... par //.
Pour qu’elles aient au.ssi pour caractéristique une puis.sanec de i — K'', il
laudra que yî./»,... se réduisent à des puissances de â, telles que V'. S‘‘
Posons maintenant
I [ii-.-o. I. /»
La nouvelle substitution k sera échangeable à £,, Z,
iMi I.IVRE Ol'ATRItME.
I.ii suliSlilution tO,, (pii Iransformc ccs suhslidilions en SC,, C,.... sera tiansl'orinée par i en une siihslitiUion qui jouira des mêmes propriétés, et )|ui par suite se réduiia à la forme S'mO, CÎ' Posant
/■, sera échangeable à £,, £3...., lO,. Klle transformera donc (0, en une substitution lie la forme S*' (O, £^'...; et on pourra la décomposer de même en deux autres Substitutions, dont l’une soit de forme analogue à celle de h,,
l'autre étant éebangcable à £,, £, <0,, lO,. Poursuivant ainsi, on aura
/iz=A„/, l = /i„.../i,h, étant une substitution de la forme
/= I u,ï....e], s.[r,r....Ei. I,
où Ÿ '■“St fonction du second degré en £,, et t„ une substitution
échangeable ù £,, C3,..., to,, co ainsi qu'aux substitutions de .1, et qui
par suite se réduira à la forme
oii les coefficients a';'* sont indépendants de |,, ç,,....
I.a substitution / ne peut se réduire à l’unité. Car si cela avait lieu, h serait échangeable à S,, lO,,..., £„, cô,. .Mais elle n'est pas éebangeable aux •f prés à toutes les substitutions u (799). Donc parmi les substitutions dérivées de £„»,, (O,* il en est une T à laquelle h n’est pas échangeable
aux près. I.a substitution T ' A’ ' TA =; T# et scs transformées T,,... par les puissances de A formeront avec .1 un faisceau de substitutions échangeables
entre elles, permutable b A. D’ailleurs T„, T étant dérivées de .i, £*+,,
i0„+ sont échangeables b £ £„. l.e faisceau {.1, £,,..., £„, To. T )
aurait donc ses substitutions échangeables entre elles, cl serait permutable b A, quoique plus général que f.'i, £,,..., £„), ce que nous supposons impossible.
Quant b la substitution X-„. elle est échangeable b l, et pourra être ramenée b la forme canonique par une transformation d’indicés qui n'altère pas celte dernière. Cette forme cgnoni(|uc sera inonùmc; sans quoi X„, cl par suite A auraient leur ordre divisible par/>, ce qui est contraire b la nature
DE LA RÊSOLtniON TAU IIADICALX. «i’.
<Ie h. Supposons celle transformation efrectuée : on aura
les facteurs ;/i; étant indépendants de?,,
804. Les indices pourront être d"e deux sortes; ceux pour Ic.squels (i3) . fjE:?,,... (mod.m),
et ceux pour lesquels ces relations ne sont pas satisfaites. Supposons d’abord que ces relations ne soient ni identiques ni incompatibles, tuais su réduiscnl à q relations distinctes; elles détermineront q indicateurs en fonction des ^ autres, qui resteront arbitraires. Le nombre des indices de la première sorte sera donc le sr»'''"' du nombre total M.
Soit maintenant [?,?,...£], un indice de seconde sorte que h remplace par elle remplacera i],. par [?' ?,... e ,.
q', ?*,, r,,... étant des fonctions construites avec comme 9,
îj,... l’élaicnt avec ?„...; /i remplace de même par un nouvel
indice f|’^|^...E]r multiplié par un facteur constant. Continuant ainsi, on retombera 5 la fin sur un indice eJ, qui se confonde avec f£,|2...E’r:
à partir de celui-là, ils se reproduiront périodiquement.
La substitution A" fait succédera l’indice [Ê, £j...e], l’indice [|S*’ Ej, multiplié par un facteur constant; mais elle se réduit à l’unité : donc n e.sl un multiple de p; et comme il est premier, n = p. •
Si donc on groupe dans une même classe ceux des indices de la .seconde sorte (|ue h permute circulairement à un facteur constant près, ils s’assembleront n à et h sera le produit d’une substitution qui multiplie par des facteurs constants les indices de la première sorte par d’autres substitutions partielles altérant cbacune les indices d'une seule cla.sse. Pour canoniser A, il suffira de canoniser séparément ces dernières substitutions.
Soit S = I a:, | une de ces dernières substitutions, en désignant
pour abréger par les indices qu’elle permute. Si on la canonise
par un changement d’indices convenable, parmi les r; nouveaux indices il ne peut en exister plus d’un qu’elle laisse invariable; car pour que S laisse invariable une fonction c,x, -h ... -I- il faut qu’on ait en général
= Les rapports des quantités c c,,,... sont donc déterminés;
et par suite la fonction le sera à un facteur constant près.
.Kn admettant donc le cas le plus favorable, où A n’altérerait aucun indice
liîti LIVRE QUATRIÈMË.
lie Is) première sorte, lo nombre des indices <]iie ht ramené à la l'urmc <'annnir|iic laissera inaltérés, ne peut dépasser ^ ^ ( i — expression dont le maximum |.M, correspond à ?:= a. 9= i. Mais d’antre
pari ce nombre est égal à M — N-t- cl comme N est an plus égal ii
il sera au moins égal à M — ^ ~ nombre évidemment supérieur au
précédent. Celte contradiclion prouve l’absurdité de l'bypotbcsc.
Si. les relations (i3) sont incompatibles, il n’y aura pas d’imliees de première sorte, et la contradiction subsistera a fortiori.
