Si ces relations sont identiques, A se réduira à

llï,5,...rl. |.

(îroupons ilans une même classe les indices correspondants h un môme système de valeurs de e et de r, et considérons ceux d’une classe déterminée : fl les altérera tous si l’on n’a pas i (mod. /j). Pour qu’il y en ail •l’inaliérés, il faut donc que m, se réduise à une puissance de &. telle tpie y', et qu’on ail en outre

(i4) ç-i-(/=o (mod.io),

. Or la fonction quadratique P peut, comme on sait, se mettre sous Ut forme ftXJ Y, X|, X,,... étant des fonctions linéaires de £,, |,,... distinctes les unes des autres, et Y’ une conslaiilc ou une fonction linéaire de II, la,..., distincte des précédentes.

Supposons d’abord quu Y ne soit pas une constante. S; le nombre des

fonctions X,, X..,..., Y' est inférieur à celui n des indicateurs |,, |j

■soient Z,... de nouvelles fonctions qui, jointes à celles-là, forment un système de n fonctions distinctes. .V chaque système de valeurs de ces fonctions correspond un .système de valeurs des indicateurs, et réciproquement. <Jr la st"""' partie seulement des systèmes de valeurs que l’on peut donner à X,. X,,..., Y'. Z,..., satisfont à la relation (i/|). Car cette relation détermine Y lorsque X|, X,,..v, Z,... sont donnés. Donc A ne pourrait lai.sscr invariable que la c*'*"’ partie du nombre total des indices : résultat absurde, car elle doit en laisser plus de la moitié invariables.

Si Y’ est une constante, à chaque système de valeurs de Xj,;..., Z,... ré-

DE 1.A RÈSOUTION PAR RADICM’X

|ii)Uilenl au plus «Iciix valeurs de X, salisfaisanl à la relation (i/|)- Donc h laisserait invariaMes tout nu ulus - M indices. On aurait dune

relation alisurde si w > i.

800. U'aulre part, si nr = 3. on aura au.«si n=3. Kn efl'et, h luulliplii' (es indices qu'elle altère par les diverses puissanres de 6, racine primitive de la congruence i (inod./<). Mais, d’autre part, elle les multiplie par des puissancc.s de S. Donc 0 est une puissance de S et a pour euhe l'unité.

Soit donc =s = 3 : les deux inemlircs de la relation{i5) seront égaux. Donc h devra laisser invariahles les deux tiers des indices. Pour que cela ait lien, il faut que la relation (i 4) donne cirectiveincnt deux solutions pour X,,

quelles que soient les valeurs qu’on assigne à X, Mais cela n’a lieu que

si l>\\ Y 4- d se réduit à a. Il faudrait donc que h se réduisit à la

forme

Mais alors /i multiplierait tous ceux des indices de la r+ i*'"”' série qu’elle altère par un même facteur Donc pour qu’elle multipliât deux indices par des facteurs dilTérents, il faudrait que ces indices appartinssent à des séries dilférentes de autrement dit, fussent multipliés par des facteurs dilférenls dans l’une au moins des substitutions de.î, et a fortiori ihns l’une au moins des substitutions de K, premier faisceau de L,' lequel contient 3; ou enfin, ce qui revient au même, dans l’une au moins dos substitutions de F,. Il lâudrail donc qu’ils appartinssent à des séries différentes; résultat absurde: car la première série de L contient des indices que A multiplie par 0 et d’autres qu’elle multiplie par 0^.

L’bypotbèsc BT > 2 est donc inadmissible.

807. Second cas. — n = 2, p" — i=so(mod.4). Soit y une racine primitive de la congruence y'E^i (mod.y;) : .3 contiendra une substitution j qni multiplie les indices de la r-f- i"’'”' série par Jf'. Les substitutions e,, (fl,,... ont chacune pour caractéristique une puissance de K’— i ou une puissance de K’-h i. On peut rejeter cette seconde bypotbèseï car si C, y

ii48 LIVRE QUATRIEME.

satisfaisait, on n'aurait qu’à la remplacer dans la double suite par la snbsti* lution yS,, qui rentre dans la première hypothèse. ,

Un aura, comme tout à l'heure, h = kh,\ k étant échangeable à £,, £],... transformera (0, en une substitution de la forme Posons

k, sera érhangeahie à S, £„, cO,; continuant, un aura enfin

A= 1 '".y'SMS’.Ài-e]. 1.

jt étant une constante on une fonction linéaire de et & une fonc-

lion quadratique ne contenant pas les carrés des variables.

Si les relations (i3) ne sont pas identiques, on trouvera, comme au n“ soi, que la limite A du nombre des indices inaltérés par h est égale à

-i- ^ (’.c nombre ne peut surpasser .M — N -4- ~ Mais ici, où

ut =3 2, il peut lui devenir égal, en supposant N q— i-, .Mais pour que .

les relations (i3) reviennent à une seule as, + ...=;o(mod./r), il

faut qu’on ait identiquement

£*, sui ç, -e -I- . . . J, ^ -H A( a£, -I- 4- . . . 1, . . . (nioil.»),

d’où

D’ailleurs on ne peut uvoir h- 5so pour toutes les valeurs de

S",, f,,...: ou, ce qui revient au même, pour toutes les valeurs de £,, £j

On aura donc

(i -i- n* 4- 6j3 -t- . , s 1 , iToù 4. .4. . . . ^ a;, -f- 4- . . . ,

d'où

ï', + (i(aç, 4- ??■, + ...)=£, + 2«(a?, 4- ?>r„ 4 |

d’où >t= 2, V = V M. Ce résultat est inadmissible, n étant impair, par hy-

pothèse.

Si les relations (i 3) étaient incompatibles, A n£ pourrait laisser invariable plus de la moitié des indices; résultat absurde.

DE U RÉSOLUTION PAR RADICAUX. Cïl

808. Supposons enfin que ces relations soient identiques. Soit

et supposons qu'un des cocflicients a, A,..., a p.ir exemple, dilfère de o finod. a). Comparons deux indices qui ne different (|uc par la valeur de les fueteurs par lesquels h les multiplie diflereronl par un facteur ±j. Donc l’un au moins de ecs deux indices sera altéré. Donc h altérera au moins la moitié des indices; résultat alisurde.

.Admettons donc que s sc réduise à la constante ô. Groupons dans une même classe les indices corrc.spondanls à un même système de valeurs de t, r, et considérons ceux d'une classe déterminée : /i les altérera tous si m,j'‘ ne se réduit pas à une pui.ssance de 3, telle que S''.

La fonction y ne peut se réduire à l'unité, h n’étant pas échangeable a toutes les substitutions de la forme u. Si elle sc réduit à une fonction du premier degré. Y, A altérera la moitié au moins des indices, résujtat absurde. .Vu contraire, si ç contient un terme du second degré o|, S., on peut poser

•f' étant indépendant de Gela posé, pour chaque système de valeurs de I,,... on pourra déterminer £„ I, de telle sorte que l'on ait

«t, -4- . . . lŒ », £, + ?' + d=i (niod.i).

Donc sur les quatre indices qui ne different que par le.s valeurs de £,, |j, A en altère au moins un, qu'elle multiplie par une puissance de 3. Donc

D’autre part, la substitution A multiplie les indices qu'elle altère |iar 3 = — I. Mais elle doit les multiplier par une puissance de Ô. Soit donc 3 — 6*; on aura S* = 5’®= i . Donc rr est pair, et comme il est premier, il se réduirait à 2, contrairement à l’hypotbèse.

809. Troisième cas. — ’s = 2, p' — i = a (mod. 4)- Chacune des substitutions £,, lO On, CO» aura pour caractéristique une puissance de K’— i

ou de On peut admettre que la suite £ £„ ne contient pas plus

d’une substitution £, qui ait pour caractéristique une puissance de K*-+- t. Car s’il y en avait deux, O,, £». on pourrait, dans la formation de la suite

ii;«» LIVRE üLATRlÈilE.

remplacer £j par 2, 2,, qui a pour caraetérislique une puissance •le K- - I. Kn outre, si Cp a pour caractéristique une puissance de K’ — i, nn peut admettre qu’il en est de même de <f'p, qu’on pourrait au besoin remplacer dans la double suite par Sp'fp- Nous n'aurons donc que trois cas ù distinguer.

i“ 2,-, lO C„, iO„ onl toutes pour caractéristique une puissance de K’ — I . On raisonnera comme au second cas, sauf (|ue dans l’expression «le h, on aura c, = o. De mémo pour scs analogues Par suite, dans l'ex-

pression de /i. on aura r = o.

a” 2, et <P, onl pour caractéristique une puissance de K’ -H i . On pourra choisir les indices indépendants de telle sorte que 2, et lO, prennent les fonm's suivantes

«. fi saiisfiiisant à la congruence «’ -t- j5’=^ — i (mod./;), cl Cj, con-

servant la inéMiie forme que dans le premier cas. Cela fait, on aura

et le reste comme au premier cas; d’où

Si les relations fi3) ne sont pas identiques, on trouvera comme précédemment .V= |.M et TT = 2 (807), résultat inadmissible. Dans le cas contraire, on aura c,“o(mod.2); car s’il était congru à i, groupons ensemble les deux indices qui ne diffèrent que par la valeur dc£,. Désignons par 9, ce que devient y en y cbangeani en -t- 1 . Le rapport des facteurs par lesquels h multiplie ces deux indices sera égal à

expre.ssion qui diffère de l’unité. Donc h altérerait au moins l’un de ces deux indices ; elle altérerait donc au moins la moitié des indices, résultat ab-

surde. Soit donc c, :^o; on prouvera comme précédemment que A= ^ M,

DE U IlÉSOLCnON l’AR HAIUCALX. lai

’i" Zi, iD, 0/1/ resiiectnrmi'nt pou/ caractérislîques des puissa/ices de K’ -P- 1

et de K’ — I. Les subslilutions (O,, £j, (D, ayant pour caraclé-

l'isliqiics lies piiissanfes de K’— i. pourront se mettre sons les formes

I [4.Ç....£l. SUl?,Ç.,..el, |. I

Posons

La sulistilulion rapportée aux nouveaux indices ainsi définis, prendra la forme

I [?.5> --et;

la forme des sulistitutions lO,, £j, n’étant pas diangée. Cela posé, /i„, h,,..., et enfin h auront les mêmes formes que tout à l'Iieure, et la dé-, monstration s'aclicvera sans diiriculté.

810. La démonstration du théorème est maintenant latile; O/i aura v'^aiPv ou (aX"* + i)v (X'' èta/it un entier), suieant que I’’,, est de première ou de seconde catégorie. En rflct, chacune des substitutions de K„ ou, ce qui revient au même, chaque substitution de F, et a /or/i'ori chaque substitution de .t y multiplie chaque indice par un facteur dont la puissance p'' ± 1 est égale à l'unité. (On prendra le signe -- ou le signe -4-, suivant que I"',, est de première ou de seconde catégorie.) ‘ ■

La substitution g dont les puissances reproduisent .f les multiplie par des facteurs tels que g'”', où g est une racine primitive de la congruence r I (mod./r). Donc est un multiple de /)' -t- 1 . Mais soit

v' = /nv-h t, t étant <v; il viendra '

/!■' ± I E2( — I (inoil.g;— I),

relation qui ne peut évidemment subsister qu’en posant e = o, ot r-.: aX' si l’on prend le signe — , t = o, m = aX'-t-- i si l’on prend le signe -f- .

Soit d'abord p ]>2; et admettons (|ue F'^ soit de première categorie. Soient A,, H, les doubles suites ipii jointes à F, forment G,. Siip'po' son.s les indices choisis de manière à ramener 1', à sa forme type. Le nombre p.' étant une puissance de 2 (797), la substitution <P, qui remplace cbaquo indice par son correspondant de la série suivante, transformera substitutions A,, Il ;... en 5^11,...., 6 étant la substitution qui

<m UVRE Ql'AThIK.\IE.

liplic chaque indice par — i, cl a, jS,,.. élant égaux à o ou à i. snivaiil que A,, B,,...:... ont pour caractéristiques des puissances de K’ — i ou de K’+ I. I.a substitution 'f a donc i'uuitc pour chacune de scs corrélatives; elle est d’ailleurs ahélienne propre. File appartient donc à cl à J.

Cela pose, la substitution est le produit de deux substitutions partiellc.s dont l'une g„ altère les indices de S„; et l’autre /i les autres indices. La substitution <! appartenant à J, et par suite à la transformera en une de ses puissances; mais elle la transforme en g^,h, qui ne peut être une puissance de g^fi que si g^„ = g„, ce qui est absurde, l'ordre de p“+ i, élant supérieur h p.

Le raisonnement serait le même si était de seconde catégorie : désignant les indices par on prendra

/ étant choisi de telle sorte que ‘f soit ahélienne propre.

811. Soit maintenant p = 2. Si r'„ est de première catégorie, la substitution <f appartiendra encore à J (672-C7V), et le raisonnement précédent sera applicable. Si r„ est de seconde catégorie, J contiendra 'ï’, qui transforme g = gc h en gi'h, substitution qui doit être une puissance de g. Donc (ÇÎ' — go’ d'où p' — I =3 0 (mod./j’-t- i), d’où v = i, v'= ik'+ i .’ Kn outre,

est une puissance de a, et d'autre part ses facteurs premiers divisent le nombre impair p"' +i. Donc p! se réduit à i .

De plus, les indices de L ne peuvent former plus de deux systèmes (couples de systèmes). Car si cela aAail lieu, l’un au moins de ces systèmes autre que S,, contiendrait moins de la moitié des indices. Soit <t, la substitution analogue h <f cl relative aux indices de S,. Si aucune des deux substitutions *f, ‘jf, n'appartient à J, leur produit lui appartiendra Or g est ' le produit de trois substitutions g„, g,, A altérant respeclivcmenl les indices de S„, de S, et dos autres systèmes : ‘£>!, la transformera en g1,g’',fi, qui devrait se réduire à une puissance de g, résultat absurde.

Cela posé, S, ne peut contenir la moitié des indices, (air on mirait M = 2p = iv\ et P serait pair, ce qui [est absurde, car il ne peut avoir pour facteurs premiers que des diviseurs de i = 3. En outre, on aura

v' = I. En effet, v' est impair; s'il avait un facteur premier 7, J, et par

suite contiendrait la substitution A = qui, ramenée à sa forme canonique, laisse invariables tous les indices des .systèmes autres que S,, c’est-

DE LA RÉSOIXTION PAR RADICAUX tœ»

à-(lire plus (le la moitié, plus la partie de ceux de S«; résultat absurde (800).

812. Soit donc v'= i. Les substitutions du premier faisceau de apparlienncnt à J et n’altlTent que les indices de r„; or, d’après ce qu’on a vu plus liant, et par suite i, ne contient aucune substitution qui, ramenée à la furine canonique, déplace moins du tiers des indices. Donc les deux indices que contient l'o forment au moins le tiers du nombre total. Donc ^ contient six indices; donc ,a= 3. Les quatre indices restants devraient former un seul système (couple (Je systèmes) S, ; résultat absurde. Kn elTei, soit r, le groupe analogue à r„ et relatif h S,. Il ii’exislc aucun groupe de première catégorie et de degré a*: donc T, sera de seconde catégorie. Soit ay" le nombre de séries formées par les indices de S,, /i" le nombre d’indices de chacune d’elles. On aurait 2fA'v" = 4, résultat absurde, v" étant un nombre impair 2k"+\, ainsi que pt", dont les facteurs premiers divisent le nombre impair a”"-*- i.

813. Seco.vo cas. — L est primaire et indécomposable, i® Supposons-lc de première catégorie et soient v' = aX-y le nombre de séries de chaque système, a'=^^ le nombre d’indices de chaque série. On obtiendra, comme aux n“’ 757 et 794, la relation

(':) .«'’(/»’■— ou p>**— I ;4X>(/»--i- i).

Mais p— aXix' étant divisible par a, 1 le sera. Donc p est impair. Sous le bénelicc de cette observation, la relation (17) ne pourra subsister que si X = I, p*-='i ou 5, d’où p'^ = V ou 5’. Mais ces deux cas sont exclus (704).

a“ Si L est de seconde catégorie, on aura y'= (aX -t-i)y, fi'= et

(l8) ;*'*(/>>'-»- 1), ou A 4.

D’ailleurs aX-t- 1 divisant p, ses facteurs premiers diviseront /j’-t- 1. Sous le bénéfice de celte observation, la relation (18) ne pourra subsister (|ue si X= 1,/»''= a, d'où y»'' = a’, cas exclu (708), ou si X=o, d'où v' = v. Dans ce dernier cas, les groupes et L auront même premier faisceau; et l'on verra, comme aux n"‘ 758-759, qu’ils ont mémo second faisceau, et enfin qu’ils sont pareils.

tïM LIVRE QUATRIEME.

814. Tiiéohèmk. — Le ihéoréme C ai vrai si est indexom/Msaltlc el de troisième catégorie.

l’iiKMiER CAS. — \. complexe ou décomposable.

Siiic.nl S„. S S, les systèmes (couples de systèmes) entre le.«quds se

repsrtissenl les indices de L. Ces systèmes se réduiront à deit.r, contenant chacun la moitié des indices.

Supposons en effet qu’il en fut autrement. Chacun de ces systèmes, à l'e.xception d'un seul, S,, conlicndra moins île la moilié des indices. Soient respectivement av^ le nombre des séries entre lesquelles se répartissent les indices de Sp, (Xp le nombre d'indices do chacune d'elles.

Chacun des systèmes (couples de systèmes) .Sp contiendra au moins le quart des indices. (!ar J, et |tar suite contient des substitutions qui n'altèrent i|ue les indices de Sp et qui, élevées à une puissance convenable, donneront une substitution d’ordre premier : d’autre part, on voit, comme aux !)•" "07-809, que toute substitution d’ordre premier, contenue dans étant ramenée i» sa forme canonique, altère au moins le quart des indices. En outre, pour qu’elle en altère moins de la moilié, il faut qu’elle soit d’ordre a (le nombre sr de l’endroit cité se réduisant ici à a)..

On conclut de là jUp= i pour toute valeur de o supérieure à o. En elYel, si ftp avait un diviseur impair, soit l'p le groupe résoluble primaire et indécomposable, contenu dans le groupe ahélicn de degré qui sert à la construction de L, et correspond au .système (couple de systèmes) Sp. Si ftp avait un diviseur impair rr, l'p contiendrait dans son .second faisceau une substitution d’ordre?:, laquelle ap|)artiendrait à J, et a fortiori quoique

altérant moins de la moitié tics indices, ce qui est absurde. D’autre part, si n était une puissance de a, la construction de l'p dépendrait de celles de groupes auxiliaires Lp, I,' ,... ayant peur degré.s des pui.s.sances de a. l.e premier faisceau de Lp sera formé par les puissances d’une substitution d d’ordre impair ot. Cela posé, l'p contient une substitution d ayant pour premii-re corrélative 5 et pour ses autres corrélatives l’unité.

Soient rie facteur par lequel d multiplie les ex|>usanLs d'échange, et r^ la substitution qui multiplie tous les indices de Sp par r. La substitution r~'r/’ est abélienne propre, el api>artient à l'p-, elle appartiendra donc à J, el par suite à D’ailleurs son ordre est divisible par le nombre impair «, car pour que sa puissance /5 se réduise h l’unité, il faut a fortiori (|ue sa corrélative d’!’ .se réduise à l’unité, d’oit jS = o(mod.«). Donc, en l’élevant à une puissance convenable, on aurait une substitution d'ordre premier im-

DK 1 V «ÈSOLLTION P.\H BADU’.UX. tOîi

pair contenue dans ^;^el n’altérant que les indices de Sp, qui (brmcnl moins tic la moitié du nombre total, résultat absurde.

J-e nohtbre /jip sc réduisant à i, le groupe rasera ilc première ou 'de seconde catégorie. Son premier raisccau Fp aura ilonc pour ordre Wp=/j'‘i ± i . D’autre p.art, le second fai.seeau tie F, contient un groupe <l> de substitutions aliélicnne.s propres écliangeables entre elles, ilont l’ordre est égal à (p'"— à (/>'*+ i),u„ ou a 3ft„ suivant que r„ est de première, seconde ou troisième catégorie. Le groupe (4> Fp....), d’onlre ro,...Up...,

est contenu dans J, et a /oriiori dans (^. De plus, ses substitutions sont abélicnnes propres et éebangcables entre elles. Mais on voit, comme au n" 752, que l’ordre d’un groupe contenu dans et jouissant de cette propriété ne peut dépasser ap.’. On aura donc

(19) Sfi>5 w.. .. 61,. ± I). .. (/Cvi;.i).

Si r, est de première catégorie, on doit avoir />'*• > 4- Sous le bénéficc de cette observation, on aura toujours Substituant celte limite

dans la relation ( 19), remplaç-ant en outre p. par sa limite 8v, et supprimant les facteurs />’'• ± 1,... au second membre de celle relation, il viendra

ce qui ne peut avoir lieu que pour de petites valeurs de p et de v,. D’ailleurs V, et p"' ± I doivent être des puissances de a. En effet, parmi les substitutions de F, qui sont abéliennes propres, et par suite appartiennent à J, se trouvent une substitution d’ordre ± 1, formant le premier faisceau de F,, et une substitution d’ordre v, ou av,, permutant les séries. Si l’une ou l’autre de ces deux substitutions avait son ordre divisible par un nombre premier impair rt, il suffirait de Félever à une puis.sance convenable pour obtenir une subslilulion d’ordre n, qui serait contenue dans cl n’altérerait que les indices de S,, résultat absurde.

Ün remarquera enfin qu’on tomberait dans des cas exclus en siqiposant F, de première catégorie avec p'< = 3, 5, ou 3’, ou F, de seconde catégorie, avec p'* = 3.

En tenant compte de ces observations, on voit que la relation (20) ne pourra être satisfaite qu’en supposant p = 17 ou 3i . avec v, = 1 , d’où D’ailleurs p est une puissance de a, supérieure par bypolbèse à 4piVi; donc P = 8.

Supposons maintenant p — 17, ce qui est l’Iiypollièsc la plus défavorable :

ia« LIVRE QUATRIÈME.

1 /)'f — I SC rcdui.sant chacun à i6, la relation (tg) deviendra

(ai) a.8’jM,.iû«, ,

et sera absurde si 9 > i . Soit d’autre part 9=1: le syslèinc S, contiendra six indices. ()c nombre n’étant pas une puissance de 2, F» sera de première ou de seconde catégorie, et sera égal à {17''* ± 1) (x„ 2ft„v, étant égal à 6.

La relation (21) sera encore absurde.

815. Il est donc établi qu’il ne peut exister que deux systèmes S». S,, conlenunt chacun la moitié des indices.

Cela posé, soit 6 la substitution qui multiplie tous les indices par — 1 : second faisceau de résultera de la combinaison de 6 avec certaines

doubles suites que l'on pourra fondre en une seule .1.,,

Soient F„ le premier faisceau de F,, t celle de ses substitutions qui multiplie tous les indices de S» par — i : contiendra un groupe \\ formé de 2’ sub-

stitutions au moins échangeables à t; il en contiendra même 2” si t appartient à Çi'. En effet, t appartient évidemment à J, et par suite à Si elle appartient à ff, toutes les substitutions de <? lui sont échangeables h 9 près. Donc les .substitutions deff, en nombre résulteront de la combin.aison d'une

.substitution T qui transforme t en 5/, avec des substitutions échangeables <• à t, en nombre a’®. Supposons au contraire que t n’appartienne pas h <7;

.sa corrélative

sera d’ordre 2. Ramenée à la forme canonique, elle dcviemlra donc

et sera échangeable aux substitutions dérivées des substitutions C,, C,

C7, Cl-,... correspondantes aux indices X, Y,..., Z, U, Soient a,, b,,...,

a„, b, les substitutions respectivement correspondantes a sr,,y y„,

et soit C, = a'' b]'..., C,=«j' b\' Il est clair que. les substitutions dérivées de ,v,"' 1)!,}’ et de 0 seront échangeables à t aux puissances près de 5. Or le nombre des indices X, Y' Z, U... est au moins la

moitié 5 du nombre total. Donc le groupe dérivé des substitutions ci-dessus sera au moins il'ordrc 2’*'. Si toutes scs substitutions ne sont pas écbangeable.s à /, elles dériveront de la combinaison de l’une d’elles T, qui Irans-

DE U ntsoi-üTioN PAR Radicaux.

lurme l en 6l, avec un groupe de »ubslitutions échangeables à / et d'onlré égal ou supérieur ît a®.

Soient U, U',... les substitutions échangeables à t dont nous venons d’établir l’existence. Elles remplaceront les indices de S,, que i altère, par des fonctions de ces mêmes indices; de même pour les indices de S,, que t n’altère pas : elles seront donc chacune le produit de deux substitutions partielles U„ U,: L"„, U',;... altérant respectivement les indices de et ceux lie S,.

81 G. Soit maintenant V une quelconque des substitutions abélienm-s propres que contient F, : elle sera échangeable à t prés à l’une quelconque

U (les substitutions U, U' En eflêl, V u|>fiarlicndra à J, et par suite à :

donc elle sera permutable à (?, cl U' ' V“‘ l,'V = Üo ' V"' Ü,V appartiendra à ce faisceau. Mais chaque substitution fle <(’> ramenée à sa forme canonique, multiplie la moitié des indices par i et l'autre par — i, ou la moitié par y et l’autre par — y, suivant qu’elle a pour caractéristique une puissance de K* — I ou de K’-t- i; à moins toutefois qu’elle ne se réduise à une puissance de 5, auquel cas elle multiplie tous les indices par le même facteur ± I . Or ü^' V"' Ü,V laisse invariables tous les indices de S, : donc elle multiplie les autres par un même facteur db i , et se réduit ainsi à une piiis-

• sance de t.

817. Supposons d'abord que F, soit dé première catégorie. Soient F,, G„ ses deux premiers faisceaux. A,, B,,..., A',, B',,...;... les doubles suites (lui, jointes à F„, reproduisent G». Los substitutions U», IJ’o,... seront permutables à F,, et par suite de la forme .fl. et <Jf étant définies

comme au n“ 018, et ne déplaçant pas les séries. D'ailleurs, les substitutions U, U',... appartenant è ç, leurs carrés se réduiront à 5 ou à i; ceux de üo, U', se réduiront donc à r ou à i . Si donc le nombre Vo des

.séries de chacun des deux systèmes de S„ est pair, on aura p = o ou = i"; si V, est impair, p = o.

Soit d le nombre des systèmes de valeurs que les expusants-r, p peuvent prendre dans les substitutions de II. L’ordre lî de ce groupe sera égal à r/Û", 12' étant l’ordre du groupe fl' formé par celles de ses substitutions dont le premier facteur se réduit à la forme car en multipliant une substitution de H dont le premier facteur soit égal à ^ par les û' substitution.s du H', on obtiendra 12' substitutions ayant leur premier facteur de la forme J g| ,|„j lodies appartiendront à 11

ti;t^ UfitE OCATRIEME.

Or soit g lit substiliition d'onlre p’’— i donl les puissances reproduisent r„; la sultstUulion la transforme en (|ui n’est égal à g aux

puissances près de / = /» ’ que si { — if p*— i est congru à un multiple de *■ ‘suivant le module /i''*— i . d’oü la condition

2 [(— I )'/»»— ijso (fho<J.p’« — l).

Le nomlire /A est >/i, et différent île 3’; s'il est >5, on ne pourra satisfaire à la congruence qu'en posant j6 = o, t = o. Soit au conirairc />''• = 5, on pourra poser /s = o et t = o ou i; donc ilans aucun cas d ne pourra dépasser 3. Soient d'autre part :^üj, ^'L', les substitutions de 11'. Les substitutions partielles étant échangeables à celles de F,, et échan-

geables à i pri's à toutes celles de Pj, a|>partiendront à F,. D’ailleurs leurs quatrièmes puissances se réduisent à l'unité. Ce sont donc des puissances ilc

y * (dey’ = t=g'’ si v„ — i est inipaircment pair) .

Soient respectivemcnty®,y*',... les substitutions

m ni' O ,

le plus grand commun diviseur île a, a',..., et de 4: a, a',... des entiers * tels que l'on ait aa -t- a'a'-t- . ..= d’. Posant (

aura = O"!!,, .j' U', = t»’"' o', o,, n’,,... étant les substitutions

de 11 dont le premier facteur se réduit à l'unité. Soient H" le groupe formé par ces dernières substitutions, 11" son ordre; on aura évidemment iï= àU". D'ailleurs les substitution.s t>,, cV, .... appartenant à ff, comme tontes les substitutions de H, et laissant la moitié des indices invariables, multi[dieronl tous les autres indices par un même facteur S: i . On aura donc D" =* i si la substitution qui multiplie par — i tous les indices de S, sans altérer ceux de So, n’appartient pas à 11; dans le cas contraire on pourra avoir ir =3.

Donc = ne pourra dépasser 8, à moins quo*<, n’apparlienne à H, auquel cas on pourra avoir D =. i6. Ces chiffres devront être réduits de moitié si l'on n’a pas/>'* = 5.

En supposant F, do seconde catégorie, on trouvera de même 11 = rfdü". (/étant égal à i dans tous les cas, sauf pour p'^'= 3, auquel cas il pourra être égal à 3, d étant au plus égal à 4> et il" égal à i ou à a si /, appartient à H, à I dans le cas contraire.

DE U RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 'i3H

Si r„ élail de troisième catégorie, on trouverait de même ü — dû", 5 et tr étant au plus égaux à a ; donc Û ^ 4-

818. Cela posé, si l’une des substitutions /, /, appartient à H, on peut ailmetirc à cause de la symétrie qui existe entre elles que c’est t. On aura alors û = a”, et comme Ü ne peut dépasser i6, a'’54- Si au contraire t et t, n'appartiennent pas à H, on aura a’ = û^8 si //• étant égal à 5, Fo, F, sont tous deux de première catégorie, ou si p"’ étant égal à 3, F„, F, sont de seconde catégorie. Dans tous les autres cas, on aura a® = Ü 4-

Doue t;^ne peut contenir plus de 8 indices. D’ailleurs le nombre de ces indices est une puissance de a; de plus il est le double du nombre des indices de F,, qui est pair. Donc contient précisément 8 ou 4 indices.

819. Supposons d'abord que contienne 8 indices. On aura //' = 5, et F,, F, de première catégorie, ou />’'•= 3, et F„, F, de seconde catégorie. Dans l’un et l'autre cas, F„ et F, auront pour ordre {p — i)48. et contiendront chacun 48 substitutions abéliennes propres. Ces substitutions, jointes ensemble, fermeront un groupe K d’ordre 48® qui sera contenu dans J. cl a fortiori dans et par suite dans le grou|ie A, formé par celles des substitutions de t^qui sont abéliennes propres. Cela posé, désignons en général par 0,„ l’ordre d'un groupe résoluble et général, contenu dans le groupe abélicn de degré a®" : on aura, suivant le mode île construction du groupe dont il s’agit,

O, = i.3.(a’— i), (2 -I- i)3'.i.a’.3!(î -t- 1), ou 1.2. 3[2(i -i- i)J*:

O, = 4(a’-(- 1). ou 1. 2(2(2 + i)]’î 0. = 2(2-i-i),

et suivant que dans In formation du groupe (;^il faudra employer un, deux ou trois groupes auxiliaires primaire.s, l’ordre de <^ sera égal à (/> — i)u®0,, {p — i)a*0,0, ou (/? — i) a'UjÜjO,. D’ailleurs a est non résidu quadratique de p; donc a pourexposant i , et l’ordre de A sera siinplcineiit a“U,, 2®0,0j. ou a'OjOjO,, Soit d’ailleurs u l’ordre du groupe formé par les corrélatives des substitutions de ,V: l’ordre de ,V sera égal à u, multiplié par l’ordre a' du groupe formé par celles de ses substitutions qui ont pour corrélative l'unité. De même l’ordre de K sera égal è «,«, u, étant l’ordre du groupe formé par les corrélatives des substitutions qu'il contient, lequel divise évidemment «, et o l’ordre du groupe formé par celles des substitutions de K qui appartiennent è Ç.

Or il résulte des valeurs données pour les ordres de K et de A que l'm-

Ui4i LIVRE QUATRIEME.

(li'c <le K c^>l divisible par a', et <)uc celui de A n'est pas divisible par une puissance de a supérieure à a"*. Donc le rapport de ces ordres, et a fortiori

cbactin des deux entiers ^ dont ce rapport est le produit, contient a à

la seconde puissance tout au plus. Donc o est au moins égal à a‘. Mais soient U = UgU,, U'= U‘„Lr,,... les substitutions de <i’ qui appartiennent à K, et dont chacune est évidemment le produit de deux substitutions partielles appartenant respectivement à F, et à F,. Nous avons vu (816-818) que le nombre o de ces substitutions ne peut dépasser iC; il ne peut donc être égal ou supérieur à 3a.

820. Supposons maintenant que contienne quatre indices. Son second faisceau se construira en ajoutant li son premier faisceau quatre substitutions formant une ou deux doubles suites. Si elles n'en forment qu'une, son premier couple aura pour caractéristique une puissance de K’-i- 1 (670); ce qui ne peut avoir lieu comme on l'a vu que si le groupe auxiliaire qui sert à couslruire .(^cst de seconde catégorie, et tel, que le nombre des indices de chaque série, multiplié par celui des systèmes, est impair. Le nombre total des indices dans ce groupe auxiliaire étant /|, ils formeront un seul système, contenant 4 séries; l'ordre ü, de ce groupe auxiliaire sera 4 (a’ -t- i) cl celui de .(^sera {p — i). 4 (a* -t- i).

Il reste à considérer le cas où ces quatre substitutions considérées formeraient deux doubles suites. Mais il est impossible. Kn effet, les deux groupes auxiliaires dont dépend étant d'ordre a’, seraient de seconde catégorie : et dans chacun d'eux, ces deux indices ne pourraient former qu'un système, contenant deux séries, contenant chacune un seul indice. Le produit du nombre des systèmes par le nombre des indices de chaque système serait donc égal pour chacun de ces groupe.^ au nombre impair i. Donc chacun des deux couples sk, : si.', qui forment les deux doubles

suites aurait pour caractéristique une puissance de K' + 1, résultat absurde; car le nombre des couples de celte espece devrait être pair (670).

821. L'ordre du groupe A formé par celles des substitutions de i;^qui sont abéliennes propres sera donc égal à 4(a’-f- i)t, t étant égal à i ou k-a suivant i|uc .Q^a pour exposant i ou a, c'est-k-<lire suivant que a sera ou non résidu quadratique de p. Or F„ contient a(/> — i) substitutions abélicnnes propres s'il est de première catégorie; a(/> -t- i) s'il est de seconde; a4r s'il est de troisième. Le groupe formé par ces substitutions est contenu

, I)K I.A H(;S(IU'T10N PAR RAmCACX lill

iliiiis dgiir son ortlie iliviso cpliii du A, et ne peut être divisible pnr 'i. Dune 1', est de preiuière ou de seconde calcftorie; de même pour F,.

Or si F, est de première caléf;orip. on aura sans (|uoi on tomberait ilans un des cas exclus;, d’où — i J(î. Si F„ est de seconde catégorie, on aura par la même raison /Jj S, d'nù/> -t- 156. Les premiers faisceaux de F„ et de F, combinés ensemble donneront donc un groupe contenant au moins F>.6 substitutions abéliennes propres échangeables entre elles; lequel groupe sera contenu danst^: résultat absurde; on voit en-effet comme au u"752, (|ue l’ordre maximum d'un groupe contenu datls <^et formé de substiliiijons échangeables entre elles est aix’ = 3a.