Stcosn cas. — I, indécomposable de première catégorie

Soient v' le nombre des séries de chaque système de L, p’ le nomhre des indices de chacune d’elles. Ou aura p = ip'v', ce qui montre (|ue p.' et v’ sont des puissances de a.

Soient donc A,, B,,...; A',, B’ les doubles suites qui, jointes à F.

premier faisceau de L, reproduisent son second faisceau G; deux substitutions d’un même couple seront éciiangcablcs, à la substitution ù près, (|ui multiplie tous les indices par — 1, et dont les puissances forment premier faisceau de tl- Le groupe G d’ordre t) a ses substitutions

abéliennes propres et échangeables entre elles aux puissances près de 5, et sera évidemment contenu dans J, et par suite dans .Mais ne contient aucun groupe de ce genre dont l’ordre dépasse ap’. D’où la relation

a//’ = p'>(p’'— 1), ou -t.

D’ailleurs p’’ >4 (616); il est impair (659). et ne doit pas être supposé égal à 9 ni à 35 (70F). On aura donc p''= 7, 5 ou 3*.

823. Soit p’’=7. Supposons pour fixer les idées que second fais-

ceau de s’obtienne en combinant à la substitution 0 deux doubles suites ,A,|, ifti, ,Vj, lis,, u',, i&j,. L’ordre de G est égal a

Gp'“= Mais d’autre part il est égal à OwO'oc'.a, O, •<), ()', <a' étant

dcHnis comme au n” 752; donc l’un des nombres Oot. O'w', par e.xcniple 0'«, sera divisible par 3.

Cela posé. Ou est l’ordre d’On groupe K de substitutions échangeables entre elles, et contenu. dans un groupe résoluble et primitif de degré

r.ii UVHE Ol'ATHlfeME.

t?52) (on a ici sî a), cl O, (o sont les ordres des groupes partiels K,, K, respectivement formés par celles de ces sulistilutions qui sont linéaires sans termes constants, cl par celles qui accroissent les indices de siinj>lcs termes «onstants. Ur u divise a’S ordre du groupe formé par toutes les sulistilulioiis qui •accroissent les indices de termes constants. Donc O est divisible par 3, et K, contient une substitution S d'ordre 3.

Ramenons celte snbslitntion à sa forme canonique par un cliangemenl d’indices indépendants. *ioit .\, l’un des indices qu'elle altère; elle le multipliera jtar une racine plitnitive m de la congruence m’nï: i (mod. a ), laquelle dépend d’une congruence irréductible du second degré, a’ étant la première des puissances successives de a qui, étant diminuée de Tunité. donne un multiple de 3.

Les substitutions de K. étant échangeables à S, s'obliennetU en combinant ses puissances à des substitutions qui lai.ssent invarialjles .V, et son conjugué Y,, et dont le nombre est au plus égal à a’‘“’. Car s’il dépassait ce nombre, ces substitutions, jointes à celles qui accroissent X,, Y, de nombres constants sans altérer les autres indices, feraient un groupe de plus de a" substitutions écbangeabics entre elles, ce (|ui est absurde. Donc O'o sera au plus égal à 3.a“‘~’. D’autre part O'w' est au plus égal à a’", par

suite OwO'w'.a sera au plus égal à Gix’.a”’. Mais il est égal à on aura donc

Üw' = 7''’.

Cela posé, on voit, comme au n“ 758, i|ue ces égalités ne peuvent avoir

lieu qu'autant que les doubles suites B ; A',, B', appartiennent

à !(' : et l'on pourra considérer (j comme dérivé de la combinaison de 5,

H ; A‘|, B',,...;... avec un dernier couple .u, *.

I.a substitution g d'ordre G dont les pui.ssanees reproduisent F. appartenant il 4^, sera permutable à <)'; mais elle est échangeable à A,. Bj,...,

B',, Donc elle est permutable au faisceau (.t, *; formé par cellt“s des

substitutions de qui sont écbangeabics aux précédentes, lîlle transformera donc .t.. 1)!. en substitutions telles que [si, 1^,7, d étant

égaux à O ou à I, et sali.sfaisant h la relation a'} —fi'/ s=i (mod. a;J. (.'elte relation exige que l’un des nombres «, [i, 7. 5, soit égal à zéro. Ce ne peut être fi ni 7: car si l'on avait 7 = o, par exemple, d’où â = 1 , g* serait échangeable à .w et à u!>, et par suite sè réduirait à une puissance de 0, ces puissances étant les seules .substitutions abéliennes propres qui soient

DE LA RÉSOLUTION FAIl RADICAUX. 6i:t

(■('liaiigf:ilili's il lu fois à toutes les suiistiliilions île!?. On durait donc i , irsullat absurde, ^ étant d’ordre (>.

Soit doue pour fixer les idées ^ = o : a sera égal à i, sans quoi g‘ serait encore éclinngeabic à .v et à us.. (>ia posé, les transformées S'.v* et 5',i. de V et de m. par g doivent avoir même caractéristique que ,u et il faut pour cela que .v et iib aient pour caractéristique une puissance de K’ -t- i .

Or la double suite A,, B ; .V,, B’,, .1., qui sert à la forma-

tion de ff doit contenir un nombre impair de couples qui aient pour caractéristique une puissance de K’ -4- 1 (670j. Donc le nombre 9f des couples

de la double suite A,, B A',, B' qui jouissent de cette propriété

est nul ou pair. Mais alors, pour éviter de tomber daii.s un cas exclu (707), il faut admettre ()ue J contient une substitution qui multiplie les cxpos.mts d’écbange par un non lésidu de 7. Or ^|^ne contient aucune semblable substitution, 2 étant résidu de 7 (671 Donc c ne peut contenir J.

82i. Suit entiii // = 5. Les doubles suites A,, B ; ,V,, B',,...;... peu-

vent être remplacées dans la construction de I, par d’autres doubles suites C,, D,,..,; C, , 1)',,...;... telles, que chacun des groupes (Cj, D,,,..). (C,, D', soit permutable il toutes les substitutions de L (705); et l'on pourra déterminer dans J une subslitulioii A' qui soit écliangcablc

à (.il, D ; C,. D', et qui transforme la substitution g, dont les

puissances reproduisent F, en 5g. Cette substitution, jointe .à celles de G, donne un groupe H qui contient 0 et dont les substitutions sont abéliennes propres, et échangeables entre elles à 5 prés. Or supposons, pour fixer les idées, ipic !? résulte de la combinaison de 5 avec deux doubles .suites .u,,

ui>,,..., ,1.4, ut,-; .u',, vü' ittijr. L’ordre U de H sera égal à OwO'w'.a,

O, <a, O', fu' étant défiuis comme précédemment. On a O'ta'^ a’*',

d’où aft*. Mais li = api'’(7»'' — 1) = 2g’. Donc 0« = a’*, O'u' = a'^’; relations qui ne peuvent subsister que si « et ta' sont > 1 (728). Donc runo au moins des substitutions de U, autre que les puissances de S, appartiendra au faisceau (,u’, , tis' }.

Si g appartient à l’un des faisceaux (x,, ut>, ,...), (.C,, W, ,...), un peut admettre, par raison de symétrie, que ce n’est pas au second. Cela posé, les substitutions de II sont de la forme g’Ji,"C{‘ DÎ'...C/' D',**..., s variant de o

à 3, et /, y,, d, y,, de o à 1. .Soit T une (}e ces substitutions, autre

que les puissances de 6 et qui appartienne au faisceau (.v',, ift.', ,...).. I.es exposants y,, d y,', d,,... ne peuvent être tous nuis. En effet, s’ils l’é-

taient et que t le fût également, T se réduirait à une puissance de 5 — g’,

»»» UVRE OUATRltME.

ronirc l’Iiypolhëse, ou à une puissance de 6 multipliée -par g‘, et le faisceau

(■<•'1'* ) cnntiendrait g, contre rhypnllièse. Si l’on avait au contraire

1=1, d’où T = g‘A', nous avons vu (764-765) que J contient une substitution P qui transforme A' en r étant impair. Comme elle transforme d’ailleurs g en 5"^, m étant égal à o ou b 1, on aura

Or C, appartenant h J et « fortiori à , sera permutable à ebacun îles deux faisceaux II et (.t,',, Donc 'T‘‘.G~'Tp, cl par suite g, sera commun

à ces deux faisceaux, contre l’Iiypotbése. ' ■ , ■ ,

Soit donc y,, par exemple, ^o. Le groupe J étant évidemment permutable aux substitutions de I., l’une au moins IJ tie scs substitutions sera écliangeable à (', , D',,...; C,, D", sans être échangeable, aux puissances près de 0, ù Cj’ (la démonstration est toute semblable à celle du n° 733, on doit seulement changer les lettres M, A, B en J, (’,, D). D’ailleurs U est permutable à II et ’a (5, .1.’,, iS.’, la substitution T”'. II~' TU = ï|, laquelle se réduit à la forme D{... sera donc commune à CCS deux faisceaux. Soit maintenant V une autre substitution <le J, qui ne soit pas échangeable à 0,0)... aux puissances près de 5. Comme elle transforme ^ en g' ou ^g, la substitution T7'V"‘T,V appartiendra au

faisceau (C,. D ). Cette substitution, et scs transformées par celles de J,

lesquelles reproduisent tout le faisceau, seront communes aux deux fai.s-

ceaux II cl(-v.',, ni' ); et l’on pourra supposer la double suite -U,, ni’,,...

choisie de telle sorte que ses c premiers couples soient C,, D,,

Poursuivant le raisonnement comme au n" 758, on voit que le faisceau (.1', , irt.', ,...) peut être considéré comme dérivé de la combinaison de 0 avec une ou plusieurs îles doubles suites de G.

825. Supposons, pour fixer les idées, que G contienne trois doubles suites, dont la dernière ap]iartieune seule au faisceau (.i', , ni', Le nombre u étant >1, l’une au moins des substitutions g"’ A''Ci' Dj'... D',*^‘... du

faisceau <è dérivé de g. A', C,, D C, , D’,,... (autre que les puissances

de 6) aura pour première corrélative l’unité; et comme elle est échangeable

à C|, D',,... = .U,, ni’,,..,, elle appartiendra au faisceau (-t.,, ni j.

Nous allons maintenant prouver <|ue cAacune des substitutions g, a', C,; D|,...,t;’, , Mi appartient au faisceau (a-,, ifti,,...). 1

I® Supposons d'abord ipie le groupe M formé par les substitutiuos com-

DE LA RÉSOLCnON PAR RADICAUX. rttJi

■mines aux faisceaux 9 et (.v,, tii. ] conlienne une substlluliun T, où l'ex-

|insnnt i ne s'annule pas. Soit, pour fixer les idées, T =^'iR'Q‘. On voit, i.umine au n“ 82i, que parmi les substitutions de 1 qui sont échangeables à g, C, , I)',,..., il en est une au moins, U. qui n’est pas échangeable à Q' aux r pii’.s. La substitution T' = ï"'. U“' TU, apparieiianl à la fois à 'P et à (.A.,, SL,,...), appartiendra ù Y, et se réduira à une forme telle que g’’'U; I),*.... Soit de même V une substitution de J qui ne soit pas échangeable à T’ aux K près. Le groupé <l> contiendra la substitution T V = T",

et ses transformées par les substitutions de J, lesquelles reproduiront tout le faisceau (G,, D, ,...). Ge groupe, contenant T et G,, contiendra g' . D'ailleurs J contient une substitution 6 échangeable à ^et qui transforme' R' eu T étant impair (765): et <P contiendra (g’.R,')-'

Il contient d'ailleurs = GY* Dp'G, ü, : donc il contiendra g\ donc il contiendra g~‘ . g' a' ■= .

Gela posé, on peut admettre que la double suite .v,, ait été choisie

de telle sorte que ses premiers couples soient formés par les substitutions .ft', gA' 1 G,, D,,...; et l'on verra, comme au n“ 758, que le faisceau

(,V,, ci. ) contient les substitutions (',, I)’,,... qui, jointes aux préeé,-

■lentes, termineront la double suite. ,

826. a° Supposons au contraire que l’on ait t = o dans toutes les substitutions de H'. Nous allons voir que cette hypothè.se est inadmissible. Faisons correspondre aux substitutions A,, iR. -.1.5, cL, les suivantes

rt, = |a.. »- X, -I- I, y,,. . ; 1, A, = ]x„ ,r a-„ y, -t- 1,. . . J, . . .j

et soit H, le groupe auxiliaire relatif à la double suite A,, SL, cl qui

sert à la construction de ses substitutions seront hypoabéliennes, et de la forme suivante

I >•„ . . . n', X, -P c\ y, 4- ... , II', X, -(- if , y, 4- | ,

et jointes au groupe 11, dérivé des substitutions a,, 6,,..., elles formeront un groupe H résoluble et primitif.

Le groupe A, formé par les premières corrélatives des substitutions du <1>, joint au groupe A, formé par celles des substitutions du faisceau (a,, A,,..:) qui correspondent aux substitutions communes à 4> et à (a,, in>,,...) formera un groupe A d’ordre contenu dans H, et dont les substitutions sont échangeables entre elles. . . '

ii«i • UVRE gUATBltME.

Ramenons le ^ruu|ic Ilg à la forme type par un .choix convenable tl'inilices; el supposons que les nouveaux indices se ri^partissenl en X systèmes (un couples de systèmes) S,, S,,... contenant chacun av séries, contenant chacune fi indices. • .

827. groupe /i« ne cunlienl aucune substitution, qui déplace les systèmes (couples de systèmes). Supposons en elfet que ces substitutions permutent

entre eux les m systèmes (ou couples) S S„. L’ordre O de /» sera égal

à mu, U étant l’ordre du groupe h' formé par celtes des substilutious île h qui ne déplacent pas ces systèmes, et dont chacune sera de la funiie V,...V„\V, Vp étant une substitution qui n’altcre que les indices de S^, et W une substitution qui n’allèrc que les indices des systèmes autres que S

Soient k le groupe dérivé des premières substitutions partielles V,, V‘, ,...: U, son ordre. Ces substitutions, jointes à celles tie II, qui laissent invariables les indices de S,, fornrent un groupe de substitutions échangeables

entre elles. Mais le uoiiibre de ces substitutions ne peut dépasser a’' : donc 'O, est au plus égal à On a d’ailleurs évidemment = oi, étant

l’ordre du groupe J formé pur celles des substitutions de h qui laissent invai'jables les indices de S,. Ces dernières substitutions, étant échangeables à celles de qui permutent ensemble S,,..., S„, laisseront invariables les indices de tous CCS systèmes, et se réduiront à la forme \V. lin les joignant à celles des substitutions de II, (]ui u'altèrent que les indices de S,,..., S„, on ■nura un groupe de substitutions échangeables entre elles, dont l’ordre 'iij.a”"!*’' ne peut dépasser a”; done !u, < O = mfi),tuj^ma“'"*'"’'' '‘''

sera ■ ' a% contrairement à l’hypothèse.

828. Le groupe IL ne peut être de première catégorie. En effet, on aurait a' >.4. d’où v>2 (616j, et l’on verrait, par le raisonnement qui précède, i|ue A, ne contient aucune substitution qui permute les systèmes d’un même eouple. S’il contenait des substitutions permutant les séries d’un même systi'me, il existerait (722) un groupe de sulwtitutions éehangeabjes entre

elles, contenu dans H, et tlont l’ordre 2'“* ; O (3 étant un diviseur de v)

serait >0 = a’S résultat absurde. Enfin s’il contenait une substitution altérant les indices d’un système sans déplacer les séries, il existerait (723-727) un groupe de substitutions échangeables entre elles, contenu dans H, et dont l’ordre serait >0, résultat absurde.

Si 11, est de seconde catégorie, on pourra raisonner de même, en remar-