DF. U RÉSOLUTION PAU KADICAUX. LIT

(juaiil 8culmncnt que le nombre des séries de eliaque svslème n'esi plus v, mais IV : et l’on verra : i“ que A„ ne peut eontenir de sulrsliliition (autre que Tunité) qui déplace les séries (|ue si l’on a v— i; a° qu’il ne peut en aucun cas contenir de substitution qui altère les indices d’un sysièuie sans en déplacer 1rs séries.

829. Soit maintenant T une substitution de A,, dilTérenle de runilé; sou

carré, ne déplaçant plus les séries d’auenn des syslèiues S se réduira à

l’unité. Soient d’ailleurs S, l’un des sy.slèmcs dont T déplace les séries: jr, ■v',... les indices de la première série de S,; y',... les fonctions des in-

dices de la seconde série que T leur fait succéder : T remplace réciproquement y, y'.... par T, x',...; et pour qu’une fonction des indices de S, reste inaltérée par celte substitution, il faut évidemment qu’elle soit de la fornn^ n(a:-t-y) -t- «'(x'-t- r') -l-.... Donc les fonctions qui jouissent de celle propriété SC ramènent à a fonctions distinctes.

Cela posé, la sub.stiluliun T e.st le produit de deux subslituliuus parliellcs, ilont l'une, T,', altère les imliecs de S,, l’aulrc f ujléranl lesanircs indices. Remplaçons les indices de S, par d’autres indices indépendants .\, V, X', Y',... choisis de manière à ramener T, à sa forme canoni<|ue

et soient z, z’,... les indices des autres .systèmes. La substitulion T prendra une forme telle que

Ia“s substitutions de /i, rcsullent de la combinaison de T avec des substitutions ([ui lais-sent invariables les indices de .S,. Car .soit U rnne d’elles; l’une des deux substitutions l), T"' U, ne déplaçant pas les séries de S,, n’altérera pas les indices de ce système. Il résulte de là qUe les substitutions de fl résultent de la combinaison de T avec des substitutions qui accroisscnl simplement X, Y, X', Y”,... de termes constani.s. Ces dernières snbsliiiitions, étant échangeables à T, se réduiront à la forme

I X. V, X'. Y' Z. Z'.... X - sr, \ . X'-^ /(î, î',...). / (I, î'... I,

et les coefficients a, a',... étant en nombre jx, l’ordre () de A sera an pins égal à a.afli, 12 étant l’ordre du groupe formé par celles de ses substitutions qui n'allèrcnt pas les indices de S,. Or ces dernières .substitutions, jointes à

■itH LIVKE OUATIIIEUK.

rellfï de II, ijui u'allerejil que les indices de S,, dmiiieiil uii gruupe de sul>siitutions êcliangealdcs cnlre elles, cl d'ordre a’*" il. (À‘l ordre ne puuvani êire supérieur k O, on aura ijt = i .

C.haeun des sysli'ines S,, Sj,... contiendra doue deux indices. On pourra reui|daccr dans cliacun d'eux les indices imaginaires par deux indices réels tels, que les exposants d'échange mutuels des substitutions correspondantes soient congrus k i ainsi que leurs caractères, et l'on peut admettre que ces nouveaux indices se confondent respectivement avec x,, j,; ar„ v,;... (0.58 .

830 . I .es substitutions de A, résultant, d'après ce qui précède. île la combinaison de T avec le gtoupe-A'„ formé par celles de ses substitutions qui n'altèrent pas les indices de S,, son ordre w sera égal k au', u' étant l'ordre de A'„. Soit Sj un système dont les substitutions de /i’^ permutent les séries; on aura de même ù' = au", u" étant l'ordre du groujie A', formé par les >ubstilulions de ho qui n'altèrent pas les indices de S, ni de S,. Continuant ainsi, on voit que u i*st au plus égal k a' = a*= a’”'*’*'. Or les substitutions de la forme §■'. -R '' C;' DÎ’... C,^> D', où i est égal k o ou k i, sont en nombre Donc parmi ces substitutions, il en est au moins a®"®'*’,

i. 1',... ayant une même corrélative; les substitutions i, 2^' 1'

qui sont de la même forme, auront pour corrélative l'unité; donc, par bypitibè.se, l'exposant i y sera nul (826).

lies substitutions seront de la forme en posant pour abréger

v>, = -vJ’ a!,?', ■C'a = .1 ;■ St-Î' Soient donc Si’y», v',- ■<:'', ces

.-nbstitutions. Chacune des substilutions partielles V,. ly',,. ......

sera dérieie de g, C,, D,,..., C, , D', Ko effet, ces substitutions partielles,

éiaiil échangeables entre elles k 5 près, forment avec 6 un groupe résoluble K. De plus, ce groupe est permutable aux substitutions de J. En elTel, soit V) l'une quelconque de ces dernières substitutions : clic est permutable,

d'une part au faisceau {.t,, i«. ) (car elle appartient k .(^),’d'autre part

au faisceau {g, C,, D,,..., C, , D',,...). Elle transforme donc les unes dans

les autres les substitutions 9^ y)', communes k ces deux

faisceaux. Soit par exemple

I l est échangeable k 5; d'ailleurs, soit S, le système auquel sa première corrélative L' fait succéder le système S, ; o transformera évidemment les substitutions dérivées de.v,., is.,. en substitutions dérivées de .c„ iis,. Supposons

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DF. LA RfU^ILimON PAR RAÜICaLX. ti4!l

PD particulier que U fasse sucréiler S, ii S, : la relation (al) dounera

D— . . . V'-' vr'... V'.

relation dont le premier inenibre est dérivé de -t,, sb,. et le second menilin*

de .A,, s!>,, .1,,, «ib, Ils ne peuvent donc être égaux que s’ils se réduisent

tous deux à une puissance de On aura donc une égalité telle que

V',‘ ' A'~' A''. A’ =• 5'. «l’où A’-' A*. VI - 5' é'',.

Donc la transformée de l’une quelconque V, des substitutions de K par vi appartient à K.

î^‘ groupe :k dérivé de la combinaison de K aver- J sera résoluble (')27,. Son premier faisceau j contient F. En clïet, F a scs substitutions écbangcabics entre elles, et il est permutable aux substitutions de J. Il l’est de plus à celles de K. Soit en effet ti une substitution de F; elle ne déplace aucun des systèmes S,, S,,...: de plus, elle est échangeable à SfX'.V'j.... On en déduit, par le raisonnement t|ui précède.

XJ7're‘\:', V) = V'.... v>-\V--vi— i'.

Donc Vi est échangeable à V' aux puissances près do 0. De même V:,....

Cela posé, soit A un groupe résoluble et général parmi ceux dont tes substitutions sont abélicnnes, qui contiennent .•K cl dont le piemier faisceau contient f. Il sera de première ou de seconde catégorie, et coutienilra J; <lonc il'Se réduit à 1,(760-813): et ne, ayant ses substitutions abélicnnes

propres, sera contenu dansi. Donc J contient xi,, X), X'',, Xi’,... ...... Ces

substitutions font partie de son second faisceau. En effet, nous avons vu qu’elles sont échangeables aux puissances près de 0 aux subÿilulions de F.

On verrait de môme qu’elles le sont à C,, D C, , D', Quant à (7,.

D'i ,...= *’ elles leur sont échangeables. Donex',, par exemple, est

delà forme g'.R"C,'' DÎ'.,. D',**.... D’ailleurs /=o, par hypothèse ^826 .

831. L’un au moins des exposants •/,, J 7,, d', ,... diffère de ïéro

dans l’une X*, des substitutions (autres que les puissances de 6) communes aux faisceaux (.V.,, y»i. ) cl (^, C,, D,,..., C,, D, ,...); car ces substitutions sont en nombre supérieur à celui a’ des substitutions de la

forme g‘. Soit par exemple 7, <o. On voit, comme aux n"’ 733 ou 824, que parmi les substitutions de J qui sont échangeables à g, C,, D',,..., il en .existe une au moins U qui ne soit pas échangeable è C(’D,‘'.... La substitu-

<^.0 LIVRE OLAlRlfeME.

lion U apparliendra à la fois aux deux faisceaux (.L,, el

(C,, D, et scs (ransfunnccs par les subsliiuliuiis de J appartieiidrunl

|'•^aleIHenl à (.1.,, «! ), et d’autre part elles reproduiront tout le faisceau

D, Donc les substitutions de ce faisceau sont contenues dans le

(;ruupe M’ = (5, x">,, v', , V’', ); et ec groupe contiendra au moins

une substitution D, qui ne soit pas ecbangeable à t?,. Celles des substitutions de ce groupe qui sont échangeables à loutes les autres se réduisent donc à lies puissances de g, et seront des puissances d’une seule d’entre elles.

8.32, Cela po.sé, supposons que les substitutions par exemple,

UC se réduisent pas toutes à l'unité, p étant un entier constant arbitraire. Klles sont de la forme Si elles ne sont pas loutes identiques à lÿp,

leur combinaison reproduira le faisceau (.1^, ifcf), lequel se trouvera par suite contenu dans 8 . Dans le cas contraire, \‘>p sera éeliangeable à toutes les substitutions de M et se réduira il une puissance de g. Soit maintenant r un entier autre que p. Si \\ diffère de l’unité, X'p el \\, n’étant pas les puissances d’une même substitution, ne peuvent être échangeables à la fois aux substitutions de 4 . Donc l'une nu moins des substitutions v;>', ,... dilTere de V',; et par suite 4' contiendra i ,, ai,,. Donc les substitutions de 4' résultent dans tous les cas d’un certain nombre de couples ,i„ A,,... de la double suite -v., , »ï,,; -L„ vv,;..., seuls, ou joints à une puissance de g, telle que V'p. Cela posé, 4' contiendra toutes les substitutions des deux doubles suites C,, D, C, , D' Supposons en effet qu’il contint seulement celles de la double suite C,, D Le groupe 4' s'obtient d’une part

en combinant une puissance de ^avec les substitutions C,, D ; d’autre

part en combinant celte même puissance de g avec certains couples .tv*,, «■••y*».-..; -V;. 4^. Donc les substitutions dérivées de ces couples reproduisent,

aux puissances près de g, cbacunc des substitutions C, , D Soient

g''^';t ^*'D,,... les substitutions qui résultent ainsi de la combinaison de VV+» aVs, et qui réciproijuemcnl, combinées entre elles, re-

produiront ces dernières substitutions.

Soit ‘P' le faisceau dérivé des substitutions g, C, , D’, ,..., Jl'Cîf' Df'...: ses substitutions, en nombre a”"'*’, sont échangeables entre elles, et aux

substitutions ,Vy+,, ia>y+j -ij. as.,. Leurs premières corrélatives seront

ilonc échangeables entre elles, et laisseront invariables les indices xy.,,,

Vy+j X,, jj. L’ordrp du groupe qu’elles forment est au plus égal è a®'"’’'

(830j. Donc V a 2"'*' substitutions au moins contenues dans le faisceau (.1,, A,,..., .v.y.n , iRy*,). Ccs substitutions sont toutes de la forme.

1)E LA HtSOLLTlOS PAU HADICACX. ti:il

1)',^' ... D',®'..., ou comnic t=o, [uir liypu-

tliéM', (le la loniie I)', *■.... Dans l'une au moins d’enlre elles, un

(les exposants y,, 5,,... .sera ‘'I le faisceau (a.,, \fi. e,-*,)

eonliemlra toute la doulde suite C, , D', contrairement à l'iiypolhi'se.

S33. Cela. posé, on voit, eoiiMiic au numéro préc('“(lcnt : i“ que tous les

couples .t,,, L,, «S-, sauf le premier, sont dérivés de sulistitulions

de.s formes c,, D,,..., gi"' C, , g''’ I)',,...; a" ([ue le groupe ‘t’" d’ordre

3*, dérivé de g et de A' = .’il'C7‘ Df'...C,’' D', a a* sulisiitutiuns communes avec le faisceau (a,, «!,,]. Ces substitutions se réduiront aux puissances de g\ réciproquement g et ses puissances, au nombre de (juatre, appartiendront à T.

Ce point établi, le groupe {.v,, Di.,,...) ré.sulte de la combinaison de,

C,,, D C'|, D' avecune nouvelle substitution écbangcable'à C,, I)

a,, D' et qui transforme en Og. Cette substitution est égale à S'.ii',

s étant une substitution abélienne propre, échangeable à g, C,, D (T,,

D‘, ,..., et par suite se réduisant à une puissance de g, telle (|Ue g^. Donc f contiendra contre rhypoibè.se (826) la substitution g^A'.

8,3i. Faisons maintenant correspondre aux substitutions g, A', C,, D,

C|, D',,... dont le faisceau (a,, »b,,...) est dérivé, les suivantes :

puis à cbaque substitution de t;, qui transforme g, si',... en (i*g“'A‘'‘- .., donnons pour corrélative la suivante : •

1,'ensemble de ees corrélatives formera un groupe, que nous désignerons

En particulier, les substitutions de L étant permutables au faisceau

(C|, D, C, , D' ) et échangeables à g, leurs corrélatives .se rédiiironl

à la forme

Elles forment d'ailleurs un groupe I., contenu dans tl». Si dans rexpres.sion

liSi LIVRE OLATRIKME.

>li:s sulistituliuns (le Lg on effaçait le prcniier couple «l’indiees x„, on • obliendrail un iiuiivuaii groupe L'„, d’ordre 2'’**, le(|uel sc eonlbiidrait évidemment avec le groupe complexe (|ui résulte du la fusion en un seul des deux groupes auxiliaires primaires /, /' qui servent à la conslrurlion de I., et currospondent respectivement aux deux doubles suites C|, D ; b',,

Soit J'„ le groupe qui est à L'„ ce (|ue J est à I. dans la lin de répom^é du ibéorème C (715). Ce groupe est contenu dans le groupe analogue au groupe I du n“ 765. (xlles des substitutions de J qui correspondent à celles de J'„, seront donc ccbangeables à A', aux puissances près de ’ = S (765). Clics ont donc pour corrélatives dans 4^, des substitutions pour lesquelles r„ = O, cl ([iii formeroni un groupe, que nous appellerons Jg.

835. Cela- posé, admettons pour plus de généralité, que 1^, soit décoiupos;iblo. Si l'on changeait d'indices de manière à ramener à sa Ibrme type, les n'Ouveaux indices se partageraient en sysièmes (coujdes de systèmes) tels, que les fonctions linéaires des indices de l’un (|uclconque d’entre eux fussent remplacées par les fonctions linéaires des indices de 1‘un d’eux dans ' cbacune des substilutions de et a fortiori dans cbacunc de celles de J,.

Nous allons maintenant établir que l'un du systi'mcs .s, s',... de fomtions

linéaires dont il s'agit est formé des indices x,,. v,, seuls, ou joints ô .r,,y

Xk à X,*, , x,*„-, y,„. ou à tous ces indices à ta fois.

Uemplaçons les indices x,, y, x„ y, par d’autres indices indépen-

dants, choisis de manière à ramener / à sa forme type. Ces nouveaux indices se répartissent en général entre X syslèmes*tcou pies de systèmes)

2) |, contenant chacun a y séries, contenant chacune /i indices, ).p.v étant

égal à O. On |^éut de même remplacer les indices x,.,,, y,n,... par d’autres indices choisis de manière à ramener /' ’a sa forme type, et qui se répartissent entre sysièmes (couples de systèmes), üj, contenant

chacun av' séries, contenant chacune fi' indices. Ces préliminaires posés, ou voit, comme aux n"’76!)-771, que l’un au moins des systimics s, «',... contient une function ç qui s’exprime à l’aide des indices Xo.y», cl des indices d’un seul système tel que 2,, .'irbilraircmcnt choisi parmi ceux dé la suite I*

Soit ? = -4- y, (Bj étant une fonction des indices de et y une fonc-

tion de x„, y,. Transformons f par celles des substitutions de J„ qui ne déplacent pa.s le système 2„. On obtiendra fi(2''— i) ou fi(a''-f-i) transfonnées 'differentes (76!)), suivant que l .sera do première ou de seconde

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. lïB

calégoric. Oporant onsuUc sur ccs iransfonnées les substitutions «le «|ui

perniiitcnt 1rs systèmes 2 2x-it o" obtiendra un total do )fji(a''±:i)

transformées difTérenlcs, dont cliacune appartiendra à l’un des systèmes do fonctions eberebés. Or ces fonctions dépendent de / et des aX/xv indires «le 2,,..., 2i,, dont le nombre est inférieur au leur (à moins qu’on n’ait ). = ;x = I et V = I ou a, cas d’exception sur lequel nous reviendrons tout à l'béure) : donc clics ne peuvent être distinctes. Donc deux au moins d’entre elles appartiennent à un meme système S; ce système contiemlra leur différence, laquelle ne contient plus que les iniliees «le 2,.

836. {'.cia posé, on verra comme aux n“* 739-740 «[uc les indices de cba-

cun des systèmes 2 2i, apparticndrx)nt à l’un des systèmes s,

Supposons, pour fixer les idées, qu’ils appartiennent tous à l'un des deux systèmes s, Il pourra sc faire qu’étant combinés ensemble, ils fournissent la totalité des fonctions de ces .systèmes. .Vdmettons l’Iiypotlièse contraire, et supposons que S contienne une fonction de la forme n -t- if, n étant une fonction des indices de 2o,..., et une fonction des autres indices. Supposons que c ne se réduise pas k zéro, mais contienne les indices d’un système 2,. Soit s, le système qui contient ces indices (lequel sera égal à s ou à s') : J, contient une substitution (|ui ne déplace pas 2„, et qui cbange nr en une fonction dilTcreiite n'. Soit 8" le système qu’elle fait succéder k 8. La fonction sr'-i- ij«. qui appartient au système .s", serait la somme «les deux fonctions ts + ts' — c, appartenant k S et ,s, : résultat ab.sunle, si le.s trois .systèmes 8, »,, 8" ne se confondent pas en un seul.

Donc tous tes indices que contient la fonction a appartiennent k 8. Donc lui appartient. .Vdmettons que i}« contienne quel(|ii’un des indices des systèmes 2},..., 2).„v,. Celles des sub.stitntions «le J, i|ui n’altèrent pas cette fonction ne déplacent pas le système 8; mais elles permutent entre eux tous

les systèmes 2« 2)i,. Donc tous cc.s systèmes appartiennent k 8. De

plus les substitutions de J», rompinçant «'es systèmes les uns par les autres, laisseront le système 8 immobile. Les fonctions «(«, qu’elles font sui;céder k «{« appartiennent donc k S; 8 contiemlra donc lcs«lifférences «j» — et leurs transformées par les substitutions «le Jo. lesquelles reproduisent par ' leur combinaison tous les indices de 2),..., 2>,..x''-i,

Donc si 8 contient une fonction où figurent ces iniliees, il les contiemlra tous. Enfin il peut contenir une fonction 9 où figurent les indices Il

contiendra dans ce cas la fonction formée par ceux des termes de 9 qui contiennent ces deux indices. Mais il contient un nombre pair de fonctions

lüi LIVRE OL'ATHItME.

(lisiiiicles : (loue il conliciidra une autre fonclion de a„. 3',,. el |wr siiile ces deux indices eux-mênies. , ' ■ ‘

Si R eonlient j'», y„ notre proposition est ftablie. Dans le cas eonlraire, il conlicmira tous les indiecs de 2,,..., Il existe un autre svstèmc,

Ri, contenant une fonction 9 .dans laquelle figurent les indices x,, y,. Soit 9 = 5T -4- ÿf. y étant une fonction de ces doux indiccs, et n une fonction des indiccs de s. Si b dilférail de zéro, J, contiendrait une substitution qui l’altère; soit b' -t- y la transformée de 9 par eetlc substitution, »j le systcine auquel elle appartient. La fonction b' -H y serait la somme des deux fonctions 9 cl b’ — B, qui appartiennent respectivement à ; résultat absurile, les trois systèmes », »,, ne se réduisant pas à un seul. Donc 9 ne peut contenir que x„, y„: el comme », contient au moins deux fonctions distinctes 9, 9', il contiendra x„, y„.