Supposons maintenant que les indices de Sx-o combinés

cn.semble, reproduisent en entier un ou plusieurs des systèmes de fonctions », »' Soient »,, les autres systèmes de fonctions, 9 = b -t-

une des fonctions de t» étant une fonction des indiccs de ü).,,

etij/une fonction des autres indices. Si b ne se réduisait pas à zéro, elle contiendrait par exemple dans son expression les indices de 1„, appartenant • pour lixer les idées au système ». Parmi celles des substitutions de J, qui n’altèrent que les indices de il en est une au moins qui altère b en la ' transformant en une autre fonction cr'. La différence u’—tz, étant entièrement formée avec les indiccs de appartiendra à ». D'autre part, la

transformée de 9, o' -4- appartiendra à un système »,, et sera la- somme des deux fonctions 9 et b' — b, qui appartiennent respectivement à », et à s, résultat absurde, », »,, »,, n'étant pas identiques. Donc b = o.

Cela posé, l’un au moins des systèmes »,, »,,,.. contiendra une fonction 9 de la forme bj -t- /, b> étant une fonction des indices de et / une l'onclioii de Xo, y„. Transformons 9 par celles des substitutions de J. qui n’allèrent pas les indices de »; on obtiendra a”' ± 1) transformées différentes. Ces fonctions, dépendant de 1 -4- aVju'v' fonctions distinctes seulement, ne pourront être distinctes, à moins qu’on n’ait i, et v' = 1

ou a. Donc deux d’entre elles appartiendront à un même système de la

suite »,, » On obtient le même résultat en supposant i, v'= 1

ou a. Car chacun de ces systèmes contenant au moins deux fonctions distinctes, leur nombre sera au plus égal à la moitié v'-4- 1 du nombre des indices avec lesquels ces fonctions sont formées. Il sera donc inférieur à a''-4- 1 ,

DE LV RÉSOLUTION PAR RAÜlUALX. «iS

nombre Hcs Iransforniées de ç. Ce point établi, on l'.onlinuerp le raisonnement comme précédemment.

838. Reprenons maintenant le cas où l’on aurait ).ji = i et v = i ou a. Il faut supposer en outre X'^'=i et v' = i ou a. car tout est symétrique ilans nos raisonnements par rapport à X, ix, v, et X', fi', v'. En outre, on ne peut avoir y = v'; car les, deux groupes /, /' seraient semblables, et l'on tomberait ainsi sur un cas exclu. On peut donc supposer v=a, v' = i. Cela posé, la l'onclion 9 = Ha ^ **'*''“ 0=5 transformées différentes:

quant aux nombre des .systèmes s, .s',..., il ne peut dépasser v -t- v' -I- 1 = 4, moitié du nombre total des indices. Donc deux transformées appartiendront nécessairement h un même système, et l’on pourra continuer le raisonnement commi' tout à l'heure.

83'J. .Notre propo.sition étant ainsi établie, supposons, pour lixer les ^ idées, que le système !t qui contient les indices contienne en outre

.r,, v,,..., mais ne contienne pas Soient C et y les

groupes respectivement formés par celles des substitutions de et de J„ qui n’altèrent que les imiiees de s; I' devra contenir y. ^ •

Supposons d’abord Xv >• 1 . On verra comme au n“ 7711 que cliacjue substitution de <l>, premier faisceau de T, remplace les indices <le chaque système de / par des fonctions de ces seuls indices, et les in<lices -r,, v, par des functinns a, a-, -t- e, y,, -i- (/oV, de ces seuls indices.

810. La démonstration ne .serait plus applicable au cas où, X et' v se réduisant tous deux à l’unité, -s ne contiendrait que quatre indices x„,y„, f,, y,. Mais soit dans ce cas

ix:., y, tt,x, -y c,r, i a,x. •>- c,r,, b,x.-t il, y, \-b.x, c </,y, I

x„ y, n,x, ■+■ c',j, -y a\x, ~h c, r„ b',x, -r- if.y, -1- b',x, -e </',y, |

une substitution de il>. J, contient la substitution ■ .

• A = 1 .r„ y„ x„ y, x„ y„ A.r„ A'.Vi |,

où h est une racine primitive de la congruence 1 ^'niod. a). Celte substitution, appartenant à sera permutable à 4>; donc A*' i>A appartiendra à <t>, et- par suite sera échangeable à S, ce qui fournira les iti conditions

n.iii LIVRE OI'ATIUÈME.

.silivani)'» (a[ircs suppression de fadeurs eouslanis)

« , — Cl A',^- II, n, -+ c, 6, — II, II] SL- II, c, — c, d',’^ a, c, t- c, d, — c, d\ o,

d,d',-~ h,c\---^d,d, .!• b,c', ~ d, d\s^ d,l>\ — h,n',^, d, b, -i- h, n, — h,a\--o, n, r, —c\d\^a\it, I- c\h, — a\ d, s^d,a, -i- c\h, — <•', A', n',c, + c,d, — a', c',se.o,

d\ b\ — b\d,~ «/',</, 4 h',c, — d',d\^d',d, 4- h\c, — A', a, ~ rf’.A, -t- A', a, — d\ b',in o.

lût «litre, S csl abélicnne propre, et d’ordre' premier à a. H est aisé de véritier que ce système de conditions ne peut être satisfait que si b,, r,, d,. à„, A'„, c„', r/'„ sont tous nuis. On simplifiera cette vérification en remarquant que l'on peut profiter de l'arbitraire (|ui reste dans le choix des deux indices x,, y, pour faire en sorte que l’on ait a priori = o.

8 11 . Dune chaque substitution S de 4> transformera les substitutions l]^,,

correspondantes à x, et h/, en lï'.C^;, transforniées qui devront

avoir le même caractëi'e que les substitutions t'.^. Or la substitution g ayant pour carré 9, sa correspondante (’.j., a pour caractère i. D'ailleurs le cas où rpn a at i=~o(mod. a) est exclu (705;. Soit donc :k=^ i . Les deux sub- Slitgtions et g.^' ont pour carré l’nnitê; les substitutions correspondantes t;,,. Gj.,Cy, ont donc zéro pour caractère. Donc pour que (’,;;G*;ait le même caractère que Cj., il faudra qu'on ail t,A,r— o, d'oùrf„~i mod.a), le

déterminant «, (/„ — é,c„, qui divise le déterminant de S, ne pouvant s’annuler. Donc les substitutions de 4> I, lisseront invariable l’indice i ,. Donc I' ne pourra être primaire; car ses substitutions remplaceront évidemment les indices tels que y,, que les substitutions de <I> n'altèrent pas, par des fonctions de ces seuls indices. .