I.’absurdité de ce résultat démontre notre théorème
812. Kn dernier lieu, soil// = ’V. Soient ,L,, * la double suite
simple ou complexe dont <7 est dérivé,
n, - I jr„ . jr, 4-i, y., A. = lj:„y *„.K, -t-
les substitutions correspondantes, dont le faisceau est permutable au groupe auxiliaire -.A , formé par les corrélatives des substitutions de Soient d'autre part g la substitution d'ordre 8o dont les puis.sances reproduisent F, premier faisceau de L; A,, B,...., .A„ B,; A',, b,,...;,., les doubles suites qui, jointes à g, forment son .second faisceau U. Les substitutions de G seront de la forme A’/ B'/'...; et si l’une de ces «tibsli-
DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. «57
tutions, da7i$ laquelle l'un exposunis y, , S,,... par exemple ne soit pas nul, appartient à üi’, nn verra, par un raisonnement que nous avons déjà reproduit plusieurs t'ois, que les siibsliliilions du faisceau (A',, B',,...) appartiendront toutes à fî.
Supposons, pour lixer les idées, que A,, H, A„ B, n’apparliennent
pas à Ç. mais que les substitutions des autres doubles suites A',, B',,...;... appartiennent à ce faisceau. On pourra admettre que la double suite .u,, S!) ail été formé» de telle sorte, que st,*,.... se confondent respectivement avec .V,, B',,...;
Cela po.sé, les substitutions A,, B étant échangeables à A',,
B', et ayant pour ordre une puissance de a, les substitutions de A qui sont leurs corrélatives .seront échangeables à a,*,, 6,*, Étant d’ail-
leurs abéliennes, elles se réduiront b la forme
I X,,.,, yv+j y,*, f .r,, y*i, . . . , X, ( Xt, y*, , . . . , x,+3, yv^i ) I*
Enlin elles ont pour ordre une puissance de a. Donc il existe une substitution i = a'‘b['... dérivée de a,, b,,..., a,*,, 6,*,, qui leur soit échangeable à toutes (I86j.
La substitution iT= .1*' tiij'... sera évidemment échangeable à chacune
des substitutions g*. A,, B aux puissances près de 5; et l’on aura
T = T, Ai'’B|'..., T, étant échangeable à A,, B et transformant g' en
ou en Og' =g“.
Cela posé, L. et par suite J, contient la substitution ‘f (|ui remplacc'cbaqiie indice de I, par son correspondant de la série suivante, laquelle est abé-
lienne propre et échangeable à A,, B et transforme g en g'. Si T,
transforme g* en on aura T, T, étant abélienne propre et
échangeable à g^, .A,, B et, par suite, se réduisant à une puissance de^.
Cela posé, T apparlcnanl à ff, auquel les substitutions.de et en particulier g, sont permutables, il en sera de même de g~'Tg = g~'. résultat absurde, car g^' est d'ordre lo, tandis (|ue les substitutions de ç ont pour ordres de^ diviseurs de ,'|.
Donc T, est échangeable à g', et par suite se réduit à une puissance de g, telle que g^. On aura donc T = BÎ'...; mais T appartenant à f?, cette
<Ï>H r.lVRE OÜATRiftME
[claiion ne peut avoir lieu, par liypolhèse, que si y, = J, = ... = o, d’ot T = D’ailleurs T a pour oi*di'e un (liviseur de et ne se réduit pas à uni puissanee de donc T = ^'*“ ou g'"', et <?, contenant les deux sub
stitutions T et ÛT, contiendra
On peut évidemment supposer que la double suite A.,, st...... ait én
choisie de telle sorte que la première de ses substitutions, ,i.,, ne soit autn queg’““. I.es substitutions^*, .V,, B lui étant écliangcables, leurs corrélatives seront de la forme •
WIes ont d’ailleurs pour ordres des pui.s.sanecs de a. A fortiori, les substitutions qu’on en déduirait en supprimant les fonctions/', {j, ■ï'io»». V,o<.».
dont elles accrois.sent x, jouiront de cette propriété. Donc parmi lessubsti tutions dérivées de b,,..., il en existe une au moins u échangeable à ces dernières substitutions. Les corrélatives de g*. B,,...
seront évideniinent échangeables à u aux puissances près de a,. Soit C la
substitution formée avec comme u l’est avec h ; g'. A,, B,,..
seront échangeables à U, aux puissances près de x,=g^°. D’ailleurr. L'~'g^‘ L' = U“' A, U = .X, . doivent avoir même caractéris-
tiques que A,,...: ce qui exige que e, e',... soient pairs. Donc U csi échangeable à g*, ,\,, B aux puissances près de g'’ — $.
Lé point établi, on verra que U, connue tout à l’heure T, doit se rediiiri
à une puissance de g'" : résultat absurde, car U, dérivée de is. ne peu
être une pui.ssance de g'° = -v,.
8i3. Troisikme cas. — L indèiom/iosab/r dr secondr catégorie.
Soient a-/' le nombre des séries de L, f le nouihre d’imlices de ehactim d'elles. On iditiendra comme a'ü u° 822 la relation
• I ) ou 8-y’’“ I ,
laquelle n’est possible, étant impair et fi',—/ des puissances dé a, qu'en posant 3’, 3, ~y‘, '» ou 7. Nous allons examiniT successivement ces
cjis d'exception, • ■
DE LA nfïi(II.DnON PAR RADH AnX.
844. Soit d'abord p'' = V. Ou raisonnera comme au ii“ 823. Ici l’ordre de G est divisible par/)!. Donr K, cifnliendra une subslilulion S d’ordre 4'*
Ramenons la it la forme canuni(|iir. Soit X, l’un des intliees qu’elle allfere. Elle le multiplie par un facteur m, racine primïlive de la congruence #n*'^ I (mod.a), lequel dépendra d’une congruence irréductible de degié 20; car 20 est la moindre valeur de q telle que l’on ait 2* — 1 = 0 (mod. 40* Gela posé, K résullç de la combinaison de S avec des substitutions d'ordre 2, qui lui sont écbangeables, et qui, par suite, n'altéreront ni X, ni ses conjugués. On en conclut, comme au n" 823, que l’ordre de G ne peut dépasser 4i fi’. 2“”, ce qui est absurde, car il est égal à
845. Si />'’= 5’, on trouverait de même que l’ordre de G ne peut dépasser i3p.’.2~'’, résultat absurde.
846. Soit p'^ — 3''. Raisonnant encore comme au n° 823, on voit que les
doubles suites A,, B,,...; .A',, H',,...;..,, (|ui servent à former G, sont contenues dans S'. La double suite simple ou com|)lexe .L,, dont ce der-
nier groupe est ilérivé, peut donc être considérée oomnie formée des .substitutions .A,, B ; .A',, B',,...;... jointes à deux autres couples .t,, vl., et
