U,, VS J

La substitution g est écbangeable à .A,, B,,...; .A',, B',,...;.... Donc sa corrélative y .sera échangeable aux substitutions

iiyfry. . . = I x„7„ . . x,.y„ /i-e ?3. • L

respectivement correspondantes à rtw substitutions; donc cette corrélative laisse invariables x,, y,,... et remplace les indices x,, y,, x,, y, par des fonctions de ces mêmes indices. D’ailleurs g e.st d’ordre 10 et g* = 6 est la première de ses puissances qui a|>partienne k Ç\ donc y est d’ordre 5. Remplaçons x,, y,, x„ j, par de nouveaux indices .X, Y, Z, li, qui ramènent y à sa forme canonique; on aura

, y = I X. V, Z, ü, a:,,. . . mX, m'V. m'Z, m‘li, Xj.. . .

m étant une racine primitive de la congruence m’ = 1 (mod. 2), laquelle dépend d’une congruence irréductible de degré 4.

Cela posé, soit ‘î la substitution (|ui remplace cba<|iic indice de la r -s- 1''’"' .série de I, par son conjugué de la série suivante, multiplié par la puissance f/ d’un facteur constant e, choisi de telle sorte que 'f soit abelienne propre.

i-liO LIVHK yi’ATHlÊME.

Celti; stibsliliition A*^ra l'■('haDg<■alll<‘ à A,, B,,...; A'j. B',,...;..., aux puissancps près de 5, el transformera g on'^*. Cette siibstiliitioii appartient évidemment à I, (elle a pour eorrélative l'unité dans rhaciin des groupes auxiliaires qui servent à ronstruire L ; étant abélienno propre, elle appartiendra à J, el a fortiori à et sa eorrélative II transformera 7 en 7’. On aura ilonc. Il =R’S. R étant la substitution qui permute rireulairemcnt les indiens X. Y, Z, U, et S une substitution abélieune (jiii les multiplie par des farteurs ronstants.

Cela posé, les substitutions dont R est la eorrélative multiplient les exposants d’écbange par des non résidus quadratiques de If ((i78-684) et celles dont S est l'a corrélative les multiplient par des résidus (676-677). Donc la substitution ‘f les multiplierait par un non résidu, re qui est absurde, car elle est abélienne propre.