Soit Le premier faisceau de 1. est formé des puissances
d'une substitution g d'ordre 8. Soient B,,...; A',, B' ;... les doubles
suites qui, jointes à g, forment son second faisceau (i. Posons C, =: g‘‘^'\,, I), D', B', . On voit, comme au
n” 703. que les exposants p,, p\, y,,...:... pourront être choisis de
telle sorte, que les substitutions de I. soient toutes permutables aux faisceaux (C,, D, (C,, ü',,...) Soit en outre ‘f la substitution qui reni--
plare les indices de la /•-+- série par ceux tie la suivante, multipliés par la puis.sance jf de la racine e. de la cougriieuce i :mod.7). La sub-
.stitution •Jf' = <£Cj''D{''. .. C,^' D’, , qui transforme ^ en g', sera échangeable à C,, D : C,, D' ;...; de plus elle est abélieune |)ropre; donc
elle appartient à L, et par suite à J.
Le faisceau (‘Jf', g'*, C,, D, C, , D', ,...) a son ordre égal à 8pi'*, et ses
substitutions .sont échangeables entre elles aux puissances près de la substitution $ qui multiplie tous les indices par — i . Et si l'on raisonne coiiime aux n'“ 824-841 (en changeant g, a', e en g^, •f', ^), on verra que ce faisceau se confond avec {,’, el que si = <1 (mod. 2), on aboutira a une absurdité en suppo.sant que contienne J.
Suit au contraire ocsi. Le groupe J renfermant, par définition, une substitution qui multiplie les exposants d’écbange par un non ré.sidu de 7, ne peut être contenu dans qui n’en renferme point.
848. Si = 3, on appliquera encore li-s raisonnements des ir* 824-841, en remplaçant ;(l' par <f .
DE U RÈSOUTION PAH HADRlArX. 1*1
849. Soit enfin p'^ = 5. On élahlirn, cumnie au n“ 823, que ff esl Curmé (k-s (Inuble.s suUcs A,, B,,...;... jointes k un dernier couple il!..
delà posé, L, et par suite J, contient la substitution <f qui remplace cliaqiie indice de la r-4- i*'"” série par son conjugué, multiplié par e’' , e étant une racine de la congruence c* = — i (mod.5). Cette substitution <f, appartenant à .(^et étant échangeable à A,, B,,...;... transformera -t., si. en substitutions de la forme S'.i.’ss.f', fi'.!.''*®, s, t, et, jS, y, S étant des entiers égaux k O ou à t et satisfaisant k la relation «5 — (3y = i (mod. a). D’ailleurs <i’*, se réduisant k ô, est éebangejble k ,t. et k cl.. Il faut pour cela qu’on ait <7 = 5.
Supposons que l’on n’ait pas k la fois a = <f— i, ^ = y = o. Les indices indépendants étant supposés choisis de manière k ramener .t, «!,: .i,.
B !... k leur forme type, il sera facile de déterminer les substitutions
échangeables -à A,, B,,...;... qui transforment ,l, i»!. en S'A*!».'*, 9'.l.its!,® (elles .sont le produit d’une seule d’entre elles, que nous savons construire, par les substitutions qui multiplient tous les indices par un même facteur); et l’on voit qu'elles multiplient toutes les exposants d’échange par des non ré.sidus de 5 : donc aucune d’elles n’est abelienne propre, comme <t' devrait l’étre.
■Soit enfin « = d= i, ^ = y=o : <jf sera dérivée de t, «t. Or la substitution g, dont les puis.sances reproduisent le premier faisceau de L, est
échangeable k .A,, B,,...; D’autre part, elle est contenue dans elle est
donc permutable au faisceau (-t, us: A,, B ;...). Elle sera donc permu-
tableau faisceau („c, «.). Donc 'f' g~'<tg = g* appartiendra k ce faisceau; résultat absurde, car oette substitution est d’ordre 3, tandis que celles du faisceau ( t-, i<I>) ont pour ordre un diviseur de 4-
Donc ici encore il est absurde de supposer que contienne J.
850. QiJATBièMK CAS. — L indécomposable de troisième catégorie.
Soient comme précédemment .1.,, et. ; -t’,, ;... les double.^ suites
qui forment le second faisceau de .A,, B,,...; .A’,, B', celles qui forment le second faisceau de L. On verra comme au n“758 que chacun deS
fai.sceaiix (.u,, us ), (.1.’,, ut.’,,. ..),... est formé par les substitutions d’un
ou plusieurs îles faisceaux‘(A,, B,,...), (.A’,, B',..*.)
Supposons, par exemple, que (.V.,, ut, ) soit formé par les substitutions
du faisceau (A,, B,,...). Soient le groupe auxiliaire correspondant k (-1.,, lU.,,..,) dans la construction de L, le groupe auxiliaire correspondant k (.A,, B,,...) dans la construction de L; A le groupe formé par celles
Wi* UVBE QUATRIÈME.
des sul>!(tilulions de L, dont les corrélatives appartiennent à J. Il est clair que si r contient J, contient A.. Or soit J, le groupe qui est à L„ ce qiloJ est à L : A contiendra J„. En elTei. chaque substitutiop de J„ est la corrélative d'une suhstilution S de L, qui multiplie les exposants d'échange par un résidu quadratique, tel que Multipliants par la substitution qui multiplie tous, les indices par r~', on. obtiendra une nou\ellc substitution appartenant à J et ayant la même corrélative que S.
la; ihéorcme C étant vrai, par hypothèse, pour les groupes I,,, J,, le groupe sera pareil à I,,. Donc et I. sont construits à l’aide de groupes auxiliaires pareils. Donc ils sont eux-niémes pareils.
Le théorème est donc établi dans tous les cas. '
NOTES
