UVRE PREMIER

/>! «1.... par a,. Posons

— mx + m,x,-^ , . . ,

•f', êuinl une nouvelle indéterminée; il vient

p'x + n,x', -+- a', X, = ft,

é(|uation analogue à la précédente, mais avec des coetficienls plus petits. Si /»', a'j,... ne sont pas tous nuis, on répétera ce procédé; et il est clair ijii'on parviendra enfin à une é(|uation

(*) <lz = h,

<>ü tous les cocnicients soient nuis, sauf un seul, d. ü'ailleurs, il est évident r|ue p, a,, a„... ont le même plus grand commun diviseur que p', a,, a,,...; de même à chacune des réductions suivantes : donc d sera ce plus grand commun diviseur. S'il ne divise pas 6, l'équation (a) sera impossible :

mais s’il le divise, on aura î = d l'on aura x, x exprimés en

fonction linéaire de s et des n indéterminées alTcctécs de coelTicienls nuis dans l'équation (a), lesquelles restent arbitraires.

Remarque. — La congruence aa^ = 6 (mod. p) est toujours résoluble, d'après ce qui précède, si a est premier à p. Soient x, x' deux de ses racines : rt(x — x') sera divisible par p\ donc x = x' + kp, k étant entier. Parmi les nombres de cette progression, il en est évidemment un, et un seul, qui

soit </> et non négatif. .Nous le désignerons par le symbole ^ (inod. p). Congruences de degrés supérieurs.

3. Les congruences les plus intéressantes sont celles dont le module est un nombre premier. Nous les considérerons exclusivement dans ce i|iii va suivre, à moins que nous n'avertissions expressément du contraire.

i. Soit

F(x)= Ax” + Bx“-' .

une fonction entière de xà coefficients entiers. Soient a, b,,., les restes respectifs de la division de B,... par p\ il est clair qu'on aura identiquement

Ax" -h Bx"-' + . . . =nx* -t- -e . . . (mod. p).

La fonction simplifiée b.r”'~'-‘r... aura par définition tous ses cocKi-

cients positifs et inférieurs à p.

DES COXGRIIESCES. ,’i