UX

Bis6a4-<1^ j

• ( mod. p),

K ^roncl. (<i, 6,. , . , a, j3,. . 4- Il I •

(|ui déterminent sans ambiguité «, puis ^ puis K, etc.

Les fonctions p(x) et |(x) pourront être appelées respectivement le quotient et le reste de F(x) par fix). Si '}i(x) est nul, on dira x|ue f{x] est un diviseur de F(x).

(i. Kemahque. — Ixs diverses fonctions qui s'obtiennent en multipliant une

même fonction F(x) par divers entiers constants e,e ont toutes les mêmes

diviseurs.

Soit, en effet, /(x) un diviseur quelconque de eF(x); on aura rF(x)=/(x)9(x).

Soit V une racine de la congruence cy = e,; on aura

e.F(x)ss/(x)./9(x)B/(j).®,{x),

en désignant par <f,{x) la fonction simplifiée congrue à/f(x}.

La fonction e¥[x) est évidemment divisible : i“ par l’entier e; a" par clleinéme. La fonction F(x) ayant les mêmes diviseurs, on voit ((u’elle sera nécessairement divisible : i" par un entier arbitraire e; a“ par un quelconque lie ses multiples eF(x). Si ces diviseurs sont les seuls que possède la fonction, nous dirons qu’elle est irréductible. Dans le cas contraire, on pourra la mettre sous la forme d’un produit de fonctions irréductibles.

7. Il est clair que si deux fonctions F(x) et f{x) ont un diviseur coin-

ti LI\TtE PREMIEIl

iiHni, il divisera le resie de leur division !}>(ar), et réciproqiicment. On pourra donc, comme dans l'algèbre ordinaire, chercher le plus grand commun diviseur de deux fonctions en opérant des divisions successives, et démontrer : i" que si une fonction irréductible /{æ) divise un produit de fonctions F(a?),

F,(ar) elle divise nécessairement l’un des facteurs; a“ que de quelque

manière que l’on s'y prenne pour décomposer une fonction en fiicteurs irréductibles, on obtiendra toujours les mêmes facteurs, à des cocflieients constants près.

K. Thù)rkme. — / 'ne congruence F(x) o de degré tn admet précisément autant de racines égales ou inégales, comprises entre o et p — i , que son premier membre, décomposé en facteurs irréductibles, contient de facteurs du premier degré.

Soit, en effet,

f{x), f{x),... étant des facteurs du premier degré, et^fx)^.. des- facteurs de degrés supérieurs. Pour que F(x) soit divisible par p, il faudra qu'un de ses facteurs le soit : l'une des congruences /(x)~o, /, (x) = o, . , 9(.r)=o... devra donc être satisfaite.

t)r la congruence /(,x) = o admet, comme on l'a vu, une seule racine a comprise entre o et — i; /,(x] en admet également uac seule a,, etc.

Les autres congruences telles que ç(x)==o n'en admettent aucune : car, s’il y en avait une, i, on aurait

ç(él^o; d'où 9(x 3S ofx) — ç( M(x — 6),

M étant la fonction simplifiée de la fonction entière

donc divisible parx — b, et ne serait pas irréductible, comme on le suppose.

0. Dans le cas le plus favorable, où tous les facteurs de F(x) sont du premier degré, leur nombre .sera précisément égal i» m. et l'on aura

k étant un coefficient constant.

Soit

F(x) = Ax"-t Bx““' -s Cx*-’-*- . . . .

r.omparani celte expression à la précédente, il viendra Kssh. — k{a -I a, S-. . .). k{aa, s-

DKS CüNlilIL'KMlKS ~

Les funetions symétriques tics racines de la congruence s’es|)rimeiil ilunc au iiiuyen des coefficients de la même manière que dans la théorie ortlinaire des équations.

Ces propriétés importantes cessent d'avoir lieu, si l'on considèri? les congruences dont le premier membre contient des facteurs irréductibles d'un degré supérieur au premier. Un inconvénient analogue s’était présenté dans la théorie ordinaire tics équations, lors(|ue celles-ci n’ont pas toutes leurs racines réelles; on y a remédié en introduisant tlans le calcul la notion des imaginaires, qui permet de rendre au.\ énoncés des tbénrèmes toute leur généralité. Par un procédé analogue, on peut obtenir ici le même avantage, ainsi que Galois l'a montré le premier. Mais, avant d’exposer sa méthode, il convient de nous arrêter un instant sur une congruence importante ilont toutes les racines sont réelles et inégales.

§ II. — Des COXGRIIENCES BIMÔMES. — ÜES KÉSIOUS OE PO tssc VCKS.

• Des congruences hi nomes ,

10. Théorème ok Fermât. Tout nombre entier A non divisible par te nombre premier P est racine de la congruence x''"' ~ i (imul./>j.

En effet, les entiers non divisibles par p peuvent être répartis en p — i classes, en groupant en.semble dans une même clas.se tous ceux qui sont congrus entre eux suivant le module p. Cela posé, formons la suite i, \, V,

--V’ Les premiers termes de cette suite pourront appartenir à des classes

différentes; mais comme leur nombre est illimité, on liiiira nécessairement par en trouver un qui soit congru à quelqu’un dc.s précédents. Soit .\" le premier ternie qui jouisse de cette propriété; il sera congru i , car s’il l’était à A”, on aurait

.V"( A’~" — i) = A” — = O ( mml. p ),

et comme .V” est premier à p, — i =o (mod./>). Donc serait congru à i. ne serait donc pas. comme on le suppose, le premier terme qui fût congru à l’un des précédents.

Soit donc i, d’où Les entiers i, \ V*“', étant

incongrus entre eux, appartiennent à n classes difl'érentes; puis on retrouvera périodiquement les mêmes classes un formant les puissances suivantes

s ‘ LIVRE PREMIER.

L<- nombre n est un diviseur de /> — i, nombre total des classes. Cela est évident si /j — i = n. Si /> — i est > n, soit B un entier appartenant à une (dasse dilll'érentc de celles que nous venons de déterminer: les entiers B, BA,..., B.A""' appartiennent à n nouvelles classes, distinctes des précédentes et distinctes les unes des autres; car si l'on avait, par exemple, BA = .V’, on aurait

(B — A) A no; d’üù (B— A) = o,

et B appartiendrait à la même classe que A. contre l’Iiyputbése; et si l'on avait B.VsB.A', on aurait A'^.A', r et s étant moindres que n, ce qui est impo.ssible.

Donc P — I est au moins égal à an. S’il est plus grand, suit C un entier appartenant à une classe (|uelconque autre que celles que l'on \ient de trouver: les entiers C, C.V,..., C.A"“' appartiendront à n classes nouvelles ilistinctes des précédentes, et/) — i sera au moins égal à 3n. On peut poursuivre ainsi jusqu’à ce qu'on ait épuisé le nombre des clas.ses.

Soit donc /)— i =n</: la congruence élevée à la puissance, rf,

donnera A'"' bs i , ce qu’il fallait démontrer.

Remarxfue. — Le théorème de Fermât a été généralist’: par Gauss ainsi qu’il suit :

Tout nombre ,A premier à un nombre quelconque m satisfait à la congruence

(inod.m ,

ç){m) étant le nombre des entiers premiers à m et inférieurs à lut.

Car les nombres premiers à m peuvent être répartis en ^(mj classe.< en groupant ensemble ceux qui sont congrus suivant le module m. Cela posé, la démonstration se fera absolument comme tout à l’heure, en remplaçant p et /) — 1 par m et f (mj.

Faisons en particulier m — p'‘,p étant premier, on aura

q[m]—pl‘ — />•-',

et A satisfera à la congruence

xr'~r'~' ® I ( inod./»* .

1 1 . CoBOLLAiHE. — Soit à un diviseur quelconque de p — \ \ la congruence X* — I =f O a d racines distinctes comprises entre o et p — i .

Dl-S COSGBITRNCES,

Car la congruencft x^' — 1 o a, comme on vient de le voir, p — i racines disliiicles comprises entre ces limites, à savoir i, o /> — i. Son v

premier membre est le produit de ar'* — i par un facteur M de degré /r — I — d et ne peut être divisible par p que si l’on a x* — i . o ou M - o. La première de ces congiuences a tout au plus J racines distinctes; la seconde en a tout an plus p — \ — d; elles en ont ensemble p — i; donc elles ont prcciséinent d et /^— i — d racines distinctes.

Soient .V une racine qiielcon(|ne de la congruence x* — i -=o, la première des puissances successives de A qui soit congrue à l’unité: celles des puissances de A qui sont congrues à l’unité seront, d’après ce que nous

avons vu (10)* les suivantes A", .A*" Mais A* est congru à i; donc n

est un diviseur de d.

Si l'on a précisément n — d, on dira que A est une racine primitive de la

congruence x* — i <>. Dans ce cas, les d (piantités ,V, A’ A* .seront

toutes incongrues entre elles, et les restes qu’on obtient en les divisant par/< seront les d racines de la congruetiee donnée; car soient .A” l'iine d’elles, p le reste correspomiant, on aura p'' A”* i ,

li. Tticoaé.ME. — /m congruence x* — i =<> (mod,/»), où d est un diviseur de p — I , a toujours des racines primitives.

i“ Supposons d’abord d = ç*, <f étant premiér. Les racines non primitives de la congruence donnée satisfont à la suivante

Xt*”' B O,

et sont en nombre 9“’*; les autres, en nombre (/* ^1 — seront primitive.-'.

2" Soit maintenant d= , q, r,... étant premiers. Soient res-

/tectuement .\, 11,... des racines quelconques des congiuences x’* — 1 =0, x'* — 1 = 0,. .. /x produit .AB... sera une racine de la congruence proposée, dont réciproquement toutes h S racines seront de cette forme ; et f on obtiendra ses racines primitives en prenant successivement pour .\, B,... les divetses racines primitives des congruences correspondantes.

Kn elTet, des relations 1, ir’i— on déduit évidemment

(All...i»*''-=i;

donc .\B... est une racine de la proposée. Ü’ailleurs les produits de la Ibniie .\B... sont en nombre y’r?... et tous incongrus; car si l’on avait

10 UVBE PREMIER.

•VB . . . = .V B'. . . sans avoir B s B', . ; . , soil par exemple

■\ 5 A' (mo<i./>), on aurait

(loù — s(B'p-...)''- = i,

ce qui est absurde; car A.\'~* satisfaisant ii la congruence

les expo.sanls de celles de ses puissances qui sont congrues à l'unité sont des multiples du moindre d’entre eux, lequel étant > i (puisque A^A') et divisant q"' sera divisible par qi or r^... n’est pas divisible par q. Donc les q'r^... produits AB... sont tous incongrus et égaux aux diverses racines lie la congruence proposée.

Enfin si A, B,... sont des racines primitives des congruences correspondantes, AB... .sera une racine primitive de la proposée; car, s'il en était autrement, elle satisferait à l'une des congruences

t, jr' = I , . . . ,

ce qui ne peut avoir lieu, car on a

AB . . . î = .A*-' '’••• B«- . .ii Af—

expression <|ui ne peut être congrue à i, 9* 'r**... n’étant |ias divisible l*a'’9’-

.Au contraire, si A n’était pas une racine primitive, il est manifeste que

(AB...j^ SC réduirait à 1 (mod./a).

Les congruences

ayant respectivement racines primitives, la pro-

posée en aura

.Ainsi toute congruence de la forme

I (mod./>).

DES œNGRfENCES

et eo pirticolicr ia suivante

xr-'i^i (niod./>),

a nécessairement des racines |iriinitives.

13. Il est intéressant de savoir si la congruence analogue xK»>= I (tnod. m),

relative aux modules eom|iosés, a également des racines primitives. O sujet a. été complètement traité par M. Serret dans son Algéi/re sufirrieure. Section III, Cliapitre II). Nous emprunterons à cet important ouvrage les résultats relatil's au cas le |ilus simple, où m est une puissance d’un nombre premier.

Soit

in — p‘i d'où O /ni = /)•— p-',

/J étant un nombre premier impair.

i" Acr racùies /irimiliVes des deux cvngriiences

(mod./<) et xf'Esi 'niod.pl

so/i/ co/igiues e/iire edes suù ani le module p.

Car si g u’est pas congrue ii une racine primitive de bt dernière des congruences ci-dessus, et ([u’on ait par exemple

g" Œ I ( nu«l. P t = 1 4- rp.

n étant <p — i, on aura

g'e’~‘ = 1 1 -t- rp jC’”' œ I ( iiiod. P' „

np‘ ' étant — /''"'t et g ne sera pas racine primitive de la premièir congruence.

a” Soient maintenant a une racine primitive de la seconde congruence, g uu nombre congru ;i a (mod.p); g sera ou ne sera pas racine primilne de la première congruence, suivant que g’’~' — i ne sera pas ou sera divisddr par p’.

Car soit g‘ la première puissance de g qui soit congrue à i (mod.p''), clic léserait i (mod.p); donc / est un mulli|de de p — i . On .sait d'ailleurs qu'il divise p’ — p‘~'\ il sera donc égal à p* (p — i ). ). étant un certain entier.