LIVRE PREMIER

Or .soit g^' = 1 1- kpf, k ctanl non divisible par />; on aura en général

> = (i )■ Ap'/'= I -K Aip"*',

k) étant un entier premier à p. Donc la plus petite des valeurs de X, telle qu’on ait

sera v — i; elle sera v — i si /= i, et ^ sera ratine primitive : elle sera moindre dans le cas contraire.

1" Posons donc g = a -h np et cherchons à dclcrminer n de telle sorte que g>^' — I ne .soit pas divisible par p’. On a

^'e-' — I î= «e-' — t + (p — i)nr ’ np iiiod.p’,.,

expression non divisible par p^ si n est choisi de telle sorte qu'on ait

!• + (/J — I}«r-’ n 5 O (moil./i)>

relation qui peut toujours être satisfaite, (p — i)o'*’ étant premier à p.

Il est clair que cette inégalité sera satisfaite pour p — i valeurs de n inférieures à p; en ajoutant à chacune d'elles un multiple quelcon(|ue de p inférieur à p^~' , on aura {p — i) p'-* Valeurs distinctes de n qui donneront pour g autant de valeurs, toutes inférieures à p', et dont chacune sera une racine primitive.

1 ï. Soit maintenant m = a*. Si v = a, la congruence arr'P’ = I (mo(I.a’)

aura la racine primitive 3. Si v > a; elle n’aura pas de racine primitive, car tout nombre a premier à a peut s’écrire ainsi

k étant un entier impair, et l'on aura en général

étant un entier impair. La moindre valeur de X pour laquelle sera divisible par a’ sera donc v “ a — i, nombre inférieur à v — i: donc a ne sera pas racine primitive de la congruence proposée. Mais si l'on pose i = o-

DES CONGRUENCES

la valeur cherchée de ). sera v — a; sera donc la première puissance de a qui satisfasse à la congruence proposée. Parmi les diverses puissances a, a’, a'"' toutes incongrues entre elles, il n’en existe évidemment

qu’une seule qui soit différente de i(mod.3’'), dont le carré soit congru à i (mod. 2*). et qui par suite soit de la forme ± 1 -1- a’"’ i. X- étant impair. Or cette forme contient plusieurs nombres. Soit b l’un d’entre eux autre que b‘‘ sera congru a 1 (mod. a”), et les .deux suites

fl fl* fl*. . . fl’’”’, ba ba' bu’. . . ba''~’,

dont tous les termes sont évidemment impairs et incongrus suivant le module a”, reproduiront (aux multiples près de a’) la suite complète des nomhrcs impairs et inférieurs à a*.

iJes residiu de puissances.

15. La considératioQ des racines primitives permet de résoudre très-simplement les congruences binômes. Soit en effet n(mod./j) une semblable congruence, et soit y une racine primitive de la congruence .r'’"'— I “O. Un nombre entier quelconque, satisfaisant nécessairement à cette dernière congruence, sera congru à quelqu’une des puissances de/ : soit donc xss v' et « = y®. La congruence æ' — a — o deviendr.i

— /*£=o; mais pour que deux puissances de / soient congrues entre elles, il faut et il sullit que leurs exposants diffèrent de multiples de /> — 1 . La question sera donc ramenée à résoudre la congruence du premier degré

C2 = a mod./» — I),

problème traité au 11° 2.

Le problème ne comporte, comme on l’a vu, aucune solution si a n’est pas divisible par le plus grand commun diviseur J de r et de — 1 . Si « est

divisible par â, il en comporte une infinité, de la forme -t- > parmi

lesquelles il en existe évidemment ef qui sont inférieures n p — i.

16. Soit en particulier r = 2, p étant impair. On dit généralement que a est résidu quadratique de p ou non résidu quadratique, suivant ipic la congruence x’ — a s3 O ( mod.;>) sera possible ou non. On voit que a sera rési<lu