LIVRE PREMIER
uu non réMilii, huivunt que a sera congru à une puissance paire ou à une puissance impaire de^. Soient a==y“ et b=y^ deux nombres quelconques non divisibles par/) : leur produit sera résidu (|uadratique s’ils
•sont tous deux résidu.s ou non résidus, car a et ^ étant tous deux pairs ou tous deux impairs, «+jS sera pair, ,\u contraire, le produit d'un résidu par un non résidu sera un non résidu.
§ III. — TnÊoaiE uE Gxlois.
17. Considérons maintenant une congruence irréductible /(x)sso. dont le degré v soit > i. Elle n'admet, cnmine on l’a vu, aucune solution en nombres entiers: mais rien n’empècbe d'introduire dans le calcul un symbole imaginaire i, supposé tel que l’on ail /(/)==o, et de prendre en considération, outre les entiers réels, les entiers complexes rorinés avec cette imaginaire. Grâce à cette convention, on va voir (|ue la congruence /(x)==;o admettra précisément v racines imaginaires incongrues entre elles.
En premier lieu, soit F(i) une fonction entière de/'; divisnns-la par/{/), il viendra
<|.(») étant lie la l'orinc Si celle fonction n’est pas identi-
quement nulle, i|)fr), et par suite F(r ), ne pourra être congrue à ïéro; car si l’on axait h la Ibis i|/{/) = O et /(t) = oon aurait y(i)^ti, y{i) étant le plus grand commun diviseur de |(i) et de /{i). .Mais f[i) étant irréductible, 'y{i] devra se réduire à un entier constant, essentiellement difl'érent de zéro. On arriverait ainsi à une absurdité.
Donc : 1“ F(i ) ne peut être congrue à zéro que si elle est divisible par /(/); 2“ si elle n’est pas congnie à zéro, elle sera congrue à l'un des p'‘ — i nombres de la fomie ai '"' -+- éif obtenus en donnant à a, b,... tous les systèmes possibles de valeurs inférieures à /), sauf le système de valeurs a = o, /) = o,...; 3" enfin ces /)' — i nombres sont incongrus entre eu.r, car si deux d'entre eux A cl B étaient congrus entre eux, A — B serait congru à zéro sans s’annuler identiquement, ce qui est absurde, comme on vient de le voir.
Si donc on répartit les entiers complexes non congrus ii zéro en clas.ses, en groupant ensemble ceux qui Sont congrus entre eux, on aura /»’'—■ i classes, contenant cbacutie un des nombres ai’"' -v- bi''~*
DES œXGRUENCES.
El) outre, le produit de deux entiers complexes A et B ne peut tire congru à zéro que si l'un de ses facteurs l'est, (^r si le produit est conj’i’u il zéro, il est divisililc par /(i); ilonc f{i) divise l'un îles riicleiirs, lequel sera eoii^rii H zéro.
(iela posé, on étalilira sans difTicullé, en répétant les raisounemeiils des n“* 8, 10, H et 12 :
i“ Qu'tt/w congruence quelconque dt^ degré m admet au plus m racines, tant réelles que com/ile-res, incongrues entre elles:
a" Que tout entier réel ou complexe satisfait à la congruence xé"~' — i o; Que d étant un diviseur quelconque de p" — i , la congruence x^‘— i o a à racines incongrues entre elles, parmi lesquelles il en existe qui sont primitives.
18. /-a congruence f[x)^-o admet les v racines i, if if' Soit eu
effet
/( ( ) = «Il ■ -I- ni*-' 4- . . . =s II.
Elevons ce polynôme à la puissance // et. après avoir développé par la tôriniile du binôme, supprimons l&s termes divisibles par p-, il vient
[f[i)]f'^inéi'f' + nr'i'l— + . .. .
.Mais m, n,... étant des entiers réels, on a
nif^m, d’où mc'sini,...;
donc
[f(i)y~mi'f'-V- ni(— "r'+ ... =/(|c'),
et comme /(/)iso, on aura f{it')zzi o, quel que soit r.
Les V racines i, if dont nous venons de prouver l'exislence, sont
d'ailleurs incongrues eutrcelles, car si l'on avait par exemple i'' ^ if*, r étant > p et < v, tout entier complexe .satisferait à cette congruence; car on aurait
{ni’-' 4- 6i'-‘4-...)r'=a(i*-'>r'’4- ii‘*->lf'4- . . . ixV:mt*-!r' ft/l’-'Je' 4- . . .
= (ai— ' 4- 6i— • y.
(ietle congruence aurait donc p'"— i racines incongrues entre elles, quoique .sou degré // soit inférieur à/i'' — i, ce qui est impos.vible.
19. Soit q[i) une fonction entière quelconque de i; les diverses fonctions
