II
U\T»F. PREMIKU
ç(i), çfi'’) «(i"'’’”') seront dites conjuguées les unes des autres. Leur
somme, étant symétrique par rapport aux raeines de la congruence k coellicients réels /(i)- no, sera un entier réel exprimalde au moyen de ces coelficienls.
.SV un entier complexe ç(/) satisfait à une congruence quelconque F(x)=o, ses conjugués y satisfont, car 1a relation F[?{»)| “ o ne peut avoir lieu que si le polynôme F[ç(x)] est divisible par/(x), auquel cas toutes les racine.s de y(x) = O l’annuleront, d’où F [ç ~ o, etc.
20. Soit maintenant F(x)=' O une congruence quelconque. Décomposons
son premier mcinlire en facteurs irréductiblcs/'(x), /, (x).... ayant respectivement pour degrés p. ij. Soit v = gd le plus petit multiple de pt,
fjL,,.... S’il existe une congruence irréductible de degré v, soit i une de ses racines choisie arbitrairement. congruence F(x): — o, dont le degré est IX [X,,..., aura précisément tx + fx,... racines égales ou inégales, et qui toutes seront des fonctions entières de i.
En elTet, pour que l'on ait F(x)s n, il huit et il suliit que x satisfasse à
l’une des congruences /(x)=s o, y, (x]s^ o Considérons spécialement
l’une d’elles, la première par exemple : soit j une de .ses racines, on aura, comme on l'a et par suite
donc j satisfait k la congruence ■r'’’:-— x, ou, ce qui revient au même, k, celle-ci x'’’”' — I so, dont toutes les racines sont des fonctions entières de i.
21. Il reste k s’assurer (fue. quel que soit le nombre v, il existe au moins une congruence irréductible de degré v. (iette vérilication est facile. Considc rons en effet la congruence
\ = x'" — XB O.
et décomposons son premier membre en facteurs irréductibles s'xj, 5!,(x),.... Ces facteurs seront tous inégaux, car si x'’’ — xavail un facteur double, il diviserait sa dérivée, laquelle se réduit k — i i niod.pj), ce i|ui est absurde. Soient f(x) l’un de ces facteurs, ). son ilegré, / une des raeines
de la congruence ç(x)=o; scs autres racines seront le, le' le’ ,.|
l’on aura
/'' = /. le’*'-: te . ’
DES CONGRUENCES
Oux (li-s lcriiies de l;i suile indéfinie /, qui (sont coiij5rti.s k /
scdtiil doue les suivunCs : l, t'‘ , f" Mai.s />'' = /; donc X divise v.
("Cela |>osô’, adiiicllons d’aboi'd que v soit égal à 9 étant premier.
Si /. < V, il divisera y®"*; on aura par suite —l. Donc le poljnônie ■r'^ — J- =1= ,\ sera divisible par f (æ); il le sera de même par tous ceux des fiicteur.s de a'’’ — x dont le degré est moindre que v. Ct-s facteurs étant inégaux, il sera divisible par leur produit. Le ]K>Iynùmc dont le degré tl
est égal à ne contiendra donc plus que ceux des facteurs irré-
ductibles de V dont le degré est précisément égal à v. Donc il existe toujours de semblables facteurs, et leur nombre est égal à
a" Soit plus généralement v = q* q, r,... étant premiers. Soient respectivement j, j,,.. des racines appartenant à des congruences irréductibles de degrés q^, jj,,.-. sera racine d’une congruence irréductible
de degré v. Kn effet, v étant divisible par r^,... on aura
j'<- h «l’où •
Le degré X de la congruence irréductible dont est la racine est donc un diviseur de v. Mais s’il était moindre que v, il diviserait un des nombres ->
i,.... Supposons qu’il divise y on aurait
; 'loù
ce qui est impossible, ~ n'étant pas un multiple de q'‘.
22. Remarque. — Les résultats obtenus ci-dessus pour les eougluences k coeiricienls réels s’étendent aisément k celles dont les coefficients sont des entiers complexes (le module p restant réel et premier), .\insi, soit v le degré de la congruence irréductible à laquelle satisfait rimaginaire i que l'on a introduite. La congruence a*= 1 (mod. p], où d = 9*r^... est un diviseur
lie /»'— I, aura q'^r^... ( ' ~ ~ "j’ • • racines primitives, de la forme
«r -T- A/’"’ 4- . ... De même encore, la résolution d’une congruence binôme k coefficients complexes se ramène k celle d’une congruence du pre-
