CHAPITRE PREMIER

DES SUBSTITUTIONS EN GÊNÉnAL

§ l". — Premiers principes de la théorie.

• Préliminaires.

2.3. On lionne le nom de substitution à l’opération par lai|uelle on intervertit un certain nombre de choses que l’on peut supposer repivsenlées par des lettres a, b

2i. Une substitution donnée S peut être définie de la manière suivante ;

Soient a une des lettres données prise arbitrairement, b celte qui la remplace lorsqu’on efTcctuc la substitution S; soit de même c la lettre qui remplace b,... jusqu’à une lettre k qui sera remplacée par a. Les lettres a, b, c,.,., k, qui se remplacent ainsi en cercle, forment un cycle. Si ce cycle contient toutes les lettres, la substitution sera dite circulaire. Sinon, une lettre étrangère à ce cycle donnera naissance à un nouveau cycle a', b',..., k'. Il pourra de même y en avoir un troisième, un quatrième, etc. Si une lettre n'est pas déplacée, elle forme à elle seule tout son cycle. Mettant les cycles en évidence, on pourra désigner la substitution S par la notation

S = («A... A)(a'6'...lS'){a'... A")....

23. Le nombre des substitutions distinctes est i.a.3... n, en y comprenant la substitution dite unité, qui laisse ebaque lettre à sa place.

26. Soient A et B deux substitutions : nous désignerons par AB la substitution résultante obtenue en effectuant d’abord la substitution .A, puis la

ii LIVHE (lELXIbMt.

siil)Mi(uliuii B. Le seius «les notations A’, A’,... se trouve ainsi ex|ilii|ité. A"' MTa la substitution qui, mulli|iliée par A, reproduit l'unité.

27. On dira qu’un système de substitutions forme un groupe (ou un faisreatt) si le produit de deux substitutions quelconques dit systèine appartient liii-méine au système.

Les diverses substitutions obtenues en opérant succe.ssivenient tant tpi'on voudra et dans un ordre quelconque certaines substitutions données A, B, (;,... forment évidemment un Rroupc : nous l’appellerons le groupe dèrieè de A. B, f. et nous le désignerons par le symltole (.\, B, C....).

28. L’ort/re d’un groupe e.st le nombre de ses substitutions : son degré est le nombre des lettres soumises à ses substitutions.

29. (Considérons en particulier le groupe A, A'",... des substitu-

tions dérivées d’une seule substitution \ = [ab... k)(a' b' ... k').... Soient respectivement l, les nombres des lettres de chacun des cycles de

[X leur plus petit multiple; l’ordre de ce groupe sera égal à fi. Kn effet, la substitution A" remplace cbaque lettre, telle que a. par celle qui la suit de r/i rangs dans son cycle. A>‘ sera donc la première substitution de la suite A. A’,... (|ui SC réduise à l’unité. Ü’ailleurs les substitutions A’ .A'* se-

ront toutes distinctes; car .si l’on avait A’ = A'', on aurait A’"*’ = t , ce qui est impossible, X et X' étant < ti.. Les puissances suivantes Ai**', A’“’,... reproduiront périodiquement la suite A... A<*.

.Nous dirons dans la suite pour abréger que p. est l'ordre de la $ubsiitution Mais, pour |>arler exactement, on devrait dire que c’est l’ordre du groupe dérivé de A.

BO. Si A est une subslilulion dont l'ordre D soi! un nombre romfiosé tel que dd, la substitution sera d'ordre d. El) effet, la suite ilc ses puissances ,V«, A*« se reproduira périodiquement au ilelâ de di.

On peut toujours prendre pour d un divi.se.ur premier de D, et l’on voit ainsi que d'une substitution quelconque donnée ,\ on déduit, en la répétant convenablement, une substitution d'ordre premier.

Bl . Soit en géuél'al D = p" q^ rt ..., p, q, r.... étant des facteurs premiers Ü. JL il

dilTérents. Les substitutions Af‘=.\,, .A’’=;.V,, A'’’= A,,... .sont respectivement d'ordre /»*, q^, r’’..., et font toutes partie du groupe dérivé de A. Béciproquement, .A dérive de ces sul>stitutions combinées entre elles, car

les entiers .5,... n’avanl aucun diviseur coinimin autre que l'iinilé,

. yj" q> ri ' *

on peut délerniiner des entiers /, m, n,... satisfaisant à la relation

d'où l’on déduit

32. Soient A et R deux substitutions. Formons la substitution nous l'appellerons la transformée de A par B.

Théobkme. — Les cycles de la transformée B“'.\B sont res/iectwemeni composés du même nombre de lettres que ceux de A, et chacun d'eux s'obtiendra en remplaçant chacune des lettres du cycle correspondant de A par la lettre que B lui fait succéder.

En effet, soient a, b,c,... les lettres de l'un des cycles de .A ; b',c’,... les

lettres que B leur fait succéder; B"' remplace a' par a, que .A remplace par b, <|Ue B remplace par b' •. donc B"'.AB remplace a' par b’. Elle remplace de même b' par c',.... L’un tic ses cycles est donc formé des lettres a', b',

33. Deux substitutions sont dites semblables lorsqu'elles ont le ménie nombre de cycles, contenant respectivement le même nombre de lettres.

D'après le numéro précédent» toute substitution A est semblalde à l'une ijuelçonque de scs transformées, telle que B ’.VB. Réciproquement, si deu.r substitutions A et A, sont semblables, on pourra déterminer une substitution r/ui transforme .A en A,. Car soient par exemple

A~(abc, de ){fg), A , = ( bdc ) ( o/) (cg )

deux substitutions semblables; la substitution B qui remplace respeciiveinent a, b, c, d, e,f, g par b, d, c, a,f, e, g transformera .A en .A,.

La substitution B ne .sera pas la seule qui produise cette transformation, car en écrivant chaque cycle de .A,, on peut mettre une lettre quelconque à la première place; on peut en outre permuter entre eux les cycles qui ont le même nombre de lettres, et écrire par exemple .A, = (t/cê») (c^) (a/^„ forme sous laquelle ses cycles coirespondront encore avec ceux de A, de telle sorte que l'on ait C”'.AE = .A,. C étant la substitution qui remplace a, h, c, d, e,/, g par d, c, h, e, g, a, f.

Supposons en général (]ue chacune des substitutions .V, A, contienne

il ■ LIVBK DEl xikme

ti cycles de n leUi'cs, f/, cycles de «, lettres Il est tiair qu'on |tourrj faire

corrc.s|tondre. les cycles de A, à ceux de A de i i

manières différentes, ce qui fournira autant de substitutions B, C..., transformant A eu A,.

Si l'on suppose i|uc A, soit identique à A. ou aura les substitutions i|ui transforment A en elle-mcnie. I,c produit de deux quelconques d'entre elles jouit évidemment de la même propriété : elles forment donc un groupe dont l'ordre est celui que nous venons de déterminer. '

'M. Si deux substitutions D et A sont telles, (|uc l'on ait l)~'AÜ = A, d'oii .\D = n.\, les deux substitutions \ et I) seront dites erha/iffeahlct.

33. fM transformée du ptuduil de deux substitutions est le produit de leurs transformées, car

.M -ABM =

Donc, si A. B,... sont des substitutions formant un grou/re, leurs transformées par une substitution quelconque M formeront un groupe, qu'on pourra appeler le groupe transformé de (,\, B. ..) par .M. Si ce groupe transformé se confond avec le groupe (,\, B...), on dira que M est permutable à {.\, B...).

Il est clair que les substitutions permutables à un grotqre donné forment elles-mêmes un groupe.

3(i. m deux substitutions et B sont échangeables entre elles, leurs transformées le sont encore, car on aura

M -AM M-'BM = M-.\BM = M-'BAM = M-ItM M-AM.

On voit de morne (jue si une substitution est permutable à un groupe, sa transformée sera permutable au groupe transformé, t|Uelle ()ue soit la substitution transformante M.

37. Lorsqu'une substitution M est permutable à un groupe (i, les substitutions dérivées de G et de ,\l pourront toutes se mettre à volonté sous chacune des lieux formes g„yi' ou M''g„<,g„, étant convenablement choisies parmi

les substitutions g',, g du groupe G. Car, par hypothèse, quel (|ue soit n,

sera égale à une substitution de G. telle que g„'; d'où g,.M — M/;v. Si donc on considère une substitution quelconque dérivée des substitutions de G et de M. telle que on pourra, par une série d'inter-

versions successives, faire passer les M en arrière et la ramenée ainsi à la

DES SEBSTlTUnONS. i.%

forme ou les faire passer en avant pour oljtciwr la forme

38. Si toutes les substitutions d’un groupe H sont comprises parmi celles d’un autre groupe G, nous dirons que le groupe II est contenu dans le groupe G.

Un groupe sera dit aussi général que possible, ou simplement général, parmi ceux qui satisfont à certaines conditions données, s’il n’est contenu dans aucun autre groupe satisfaisant aux mêmes conditions. '

Théorèmes de Lagrange et de Cauchy.

39. Théorème. — Si U groupe H est contenu dans le groupe G, son ordre n est un diviseur de N, ordre de G.

En effetj soient i. S,, S,,..., S,i, les substitutions de II; 1 une substitution de G qui ne fasse pas partie de II; G contiendra, outre les substitutions I , S,,..., S„,, les suivantes : 2, 2 S,,..., 2S„,, évidemment différentes entre elles, et qui sont en outre différentes des précédentes; car si l’on avait une égalité telle que 2S, — Sj, 2 = 8,87' ferait partie de G, contre l’hypothèse. Donc G contient au moins les an substitutions ci-dessus écrites. S’il en contient d’autres, soit 2, l'une d’elles : G contiendra 2,, 2,8,,..., 2, S,i, substitutions différentes entre elles et en outre différentes des précédentes; car si l’on avait une relation telle que 2, S, = 28,, on aurait 2, = 2Sp, S|j = S,Sf ’ étant une des substitutions de H; 2, serait donc une des an substitutions déjà écrites, ce qui est contraire à notre bypotbë.se. Donc l’ordre de G est au moins égal à 3n. On voit de même que s’il est > 3n, il sera au moins égal à 4”, etc.

Il résulte de cette démonstration que les substitutions de G peuvent être disposées en un tableau tel que le suivant :

Si,, ,

On verrait absolument de même qu’elles peuvent être disposées en tableau de la manière suivante :

If f , * é f v'a-t t

aii LIVBE DEUXIÈME.

CoBOU-AiRF. I. — L'ordre d'un groupe quelœnque de subslitulions entre k lettres etl un dieiseur de 1 .23.../:.

Car te prnupe donne csl évidcimnenl conlenu dans celui formé par toutes les' substitutions possibles, lei|uel a pour ordre i.a.3...i'.

CoROLLAinE II. — Tout groupe qui contient une substitution d'ordre p a son ordre divisible par p.

(iir il contient le groupe d’ordre p formé par les puissances de la subslitiilinn considérée.

40. Théorème. — Réciproquement , si p est un nombre premier, tout grou/ie dont l’ordre est divisible par p contiendra une substitution d’onlre p.

Ce beau ibéorème est dû à Cauchy, qui le démontre à peu près comme il suit :

Lkmme I. — Soient G = (g",, et H ={h,, k,,..:. h.,,...) deux

groupes quelconques de substitutions contenus dans un troisième groupe I; .M, N, P les ordres respectifs de ces trois groupes, /.c nombre des substitutions U du groupe I qui ne satisfont à aucune relation telle que = l /i,. est nul ou multiple de ,MN.

Car suit U l'une des substitutions cherchées : chacune des MN substitutions de la forme g„ l.’A. jouira de la même propriété; car si l’on avait

g,g.Mh.=r.g„\jb.h„

on en déduirait

relation impo.ssibic par hypothèse, gZ' g^gm et b„h,h~' appartenant res- . pectivemenl aux groupes G et H. D’ailleurs ces M.\ substitutions sont toutes distinctes; car si l’on avait

on en déduirait

/î7'/r-c - GA. a;',

relation impossible.

I.e nombre des substitutions cherebées (s’il en existe) est donc au moins MN. S’il est >M.N, .soit V l'une de ces substitutions qui ne soit pas de la forme g'„UA„. I.es MN substitutions de la forme VA„ jouissent toutes de la propriété voulue; elles dillèrent évidemment les unes des au-

DES SlBSTITimONS. i7

irps;' enfin elles dilTî-rcnt des précédentes; car si l’on avait, par exemple,

on en déduirait

V serait donc, contrairement h l’iiypetlièse, une des substitutions de la forme L'A,.

I.e nombre des substitutions chcrcliées sera donc au moins égal à aMN. S’il est plus considérable, on voit de la même manière qu’il est au moins égal à 1MN, etc.

CoRor.LAiBE. — Si parmi les substitutions de H il n'en existe aucune qui soit semblable à quelqu’une des substitutions de G, MN dùisera P.

En effet, quel que soit U, il sera impossible d’avoir une relation de la forme ^^L = LA,; car si une telle relaliun avait lien, A, = serait

semblable à cuutrairement à l’bypotbèsc. Le nombre des substitutions U qui ne satisfont à aucune relation semblable sera donc égal a P, nombre total des substitutions de 1; d’autre part, on a vu qu’il est divisible par .M.V

41 . Lemme 11. — Soient p un nombre premier; pf la plus haute puissance de P qui divise le produit i .a.3... A ; on pourra construire un groupe de substitutions d'ordre p> entre k lettres.

Si A <;), on a/= O, /)/= I, et le groupe formé de la seule substitution i satisfera à la question.

Nous allons montrer d’autre part que si la proposition est vraie pour tout nombre inférieur à p’’, elle le sera pour tout nombre inférieur ît p’’*'.

En elïet, tout entier A non inférieur à p'' et inférieur à p**' peut être mis sous la forme h = qp -v- r, q étant </>'' et r</». Cela posé, parmi les A lettres données, considérons-en spécialement qp et réparlissons-Ics en q systèmes a. A, c,..., a,. A,, c, contenant chacun /> lettres.

Soient S la substitution qui permute circulairement a, b, c,... sans déplacer les autres lettres; S, celle qui permute circulairement a,. A,, c,,.... Soit d’autre part T = (/,, r,,..., t,,,...) un groupe quelconque de substitutions qui permutent entre eux les q systèmes a. A, c,..., a,. A,, c,,... en renqdaçant les unes par les autres les lettres correspondantes. Les substitutions du groupe G dér'ivé de S, S,,... et de T seront toutes do la forme générale r^S“ S}.... Car soit, par exemple, S^/^S* l’une de ces substitutions : ellé

iS LIVRE DErXltME.

est idemiqucini-nt égale à Or si l’on suppose, pour fixer les

idées, que remplace le système a, />, c,... par le système a,, h,, c,,..., sera égal à Sj (32) : la substitution donnée sera donc égale à /^S;S’, nu, comme S, est échangeable à S, à /nS’S}.

1,’ordre de G sera égal à M/i*, M étant l'ordre de T : en effet, dans l’expression générale de scs subslitutioi^ /|iS’Sî..., on pourra prendre pour une quelconque des M substitutions de T, puis assigner à chacun des exposants a. J3,... toutes les valeurs possibles inférieures à />, et toutes les substitutions obtenues seront distinctes; car si l’on avait, par exemple.