S'S;...=:;S*'SÎ

Or la sub.stitution du premier membre de cette dernière relation ne déplace que les lettres du premier système, que celle du second membre laisse immobiles; donc elles ne pourront être identiques que si elles se réduisent toutes deux ii l'unité; donc a = o'; on aurait de même = (3', etc. Donc l'égalité ne peut subsister, à moins qu’on n'ait à ha

fois fx' = fl, a' = a, jS' = ]5

Cela posé, soit /»? la plus haute puissance de p contenue dans le produit f .3.3...^; on peut par hypothèse choisirT de telle sorte que son ordre soit égal à pf. F.’ordre de G sera alors égal à pf*^ = p^.

32. Soit maintenant 11 un groupe qui ne contienne aucune substitution il'ordre p, p étant premier, .\ncunc de ces substitutions n’aura son ordre divisible par p\ car si l'une d’elles était d’ordre p\, sa puissance ). serait d’ordre p et ferait partie de H, contre l’hypothèse. Au contraire, le groupe G, dont nous venons de montrer l’existence, ayant pour ordre pf, l’ordre de chacune de ses sub.stitutions divisera pf (39) et sera une puissance de p. Donc aucune des substitutions de H n’est semblable à aucune de celles de G; en outre G et H sont contenus dans le groupe 1 formé par toutes les substitu-

lions possibles, et dont l’ordre est {k étant le nombre.des lettres).

Donc le produit des ordres de G et de H divise (lemiiiel, corol-

laire). Donc l’ordre de H divise

• i donc il est premier à p'.

§ 11. — De la TransitivitiI.

Généralités.

i3. Un groupe est transitif lorsque, en opérant successivement toutes .ses sulistitulions^ on parvient à faire passer une des lettres à la place de l’une quelconque des autres; plus généralement, il sera n fois transitif si ses substitutions permettent d'amener simultanément n lettres données a, b, c,... aux places primitivement occupées par n autres lettres quelconques a', b',c'

Soient, dans ce cas, S une substitution du groupe qui fasse succéder a, b, c,... à a', b', c',...; T une autre substitution du groupe qui fasse succéder a, b, c,... à des lettres quelconques n", b", c",..., différentes ou non des précédentes : ce groupe contiendra la substitution TS*' qui amène les n lettres quelconques a', b', c',... aux places également quelconques qu’occupaient primitivement a", b", c

44. Théobème. — Soient a, b,c,... des lettres quelconques choisies à volonté parmi celles qui entrent dans les substitutions d’un groupe G. Soient .M le nombre des systèmes de places différents où les substitutions de G permettent d’amener les lettres a, 6, c, ... ; N T ordre du groupe partiel H formé fuir celles des substitutions de G qui laissent ces lettres immohdes. L'ordre de G sera égal à M.\.

Car, soient i, p, q,,., les .N substitutions de H; R une substitution de G qui amène les lettres à, b, c,... dans l’un quelconque de leurs .M systèmes de positions ; il y aura N substitutions distinctes K,/>R, fR,... qui les amèneront à cette situation, et pas davantage; car soit R, une substitution de G qui jouisse de cette propriété ; R~*R,, laissant a, b,c,,.. immobiles, se réduira 'a l’une des substitutions i, p, q,.... Donc R, appartient. ii la suite R, /iR, ÿR,....

Corollaire I. — L'ordre d'un groupe n fois transitif entre k lettres est divisible par k(k — i)... {A — a -t- i) (nombre des systèmes de positions que l’on peut donner è n lettres arbitrairement eboisies).

:Ki livre t)ErXlEilE.

Corollaire H. — Soient G un groupe intransitif entre ^IcUies; a, a,,... les lettres auxquelles scs substitutions permettent <ie faire succéder une lettre donnée a. Toutes les substitutions de G feront succéder ces lettres les unes aux autres; car si l’une d'elles S fait succéder <i,, par exemple, k une autre lettre /, cette substitution, combinée k la substitution T contenue dans G qui fait succéder a k a,, donnera la substitution ST qui fait succéder a k /; donc / fera partie de la suite a, a,, —

Les i lettres se partagent donc en systèmes a, a,,,.., b, b,,..,, c, c,,..., contenant respectivement a lettres, jS lettres, y lettres, etc., et tels que toute substitution de G permute entre elles les diverses lettres d'un même système. Les .substitutions de G seront donc toutes de la forme .VB'C',...,

.V,... étant des déplacements effectués entre les lettres a, a,,.... B, D','... des dé[)lacements effectués entre les lettres b, b,,..., etc. I.e déplacement opéré entre les lettreso, a,,... par le produit des deux substitutions .\BC...., .VB'C... sera ,\.V; donc les substitutions partielles A, A',..., considérées

isolement, forment un groupe, transitif par rapport aux a lettres a, a

Le nombre M des po.sitions distinctes que prennent ces lettres par lessiil>stiiutions G est égal k l’ordre de ce groupe, lequel est un diviseur de i .a... a. L'ordre de G sera égal k MX, N étant l’ordre du groupe H formé par celles lies substitutions de G qui ne déplacent pas a, a

Ce groupe H ne permutant que {k — a) lettres, son ordre sera un diviseur

du produit i.a...(X — a;. S'il n’est pas transitif, soient a', a' les lettres

en nombre «' qu’il permute avec une lettre quelconque a' : on verra de même que son ordre est égal k Sl'N', ,M' étant l’ordre d’uu groupe transitif entre les a' lettres a', a’,,... (lequel divise i .a...a') et X' l’ordre du groupe H' formé par celles des substitutions de 11 qui ne déplacent aucune des lettres

(’smtinuant ainsi, on voit que l'orr/ret/eG scraéÿa/àMM'M’..., .M,M', .M' ,... f'/anl respecûvement les ordres de certains groupes transitifs entre «, a', a",... lettres, et la somme a -h a' + c'tant égale à k. H dieîsera donc le pro-

duit I .a... a . I .a... a' . i .2.., a"....

Méthode pour la recheiche des groupes plusieurs fois transitifs.

Aô. Soit G un groupe de substitutions entre k lettres a, a,, a,,..., lequel soit au moins une fois transitif. On peut se proposer de ebereber k construire un groupe I. au moins p -h i fuis transitif entre il -f- p lettres a.a,, a-j Jr,.

DES SUBSTITlTiaVS. :il

X, x^ et te), que le groupe partiel formé par celles de ses substitutions

qui ne déplacent que les k lettres a, a„ a, soit précisément G.

Si le groupe cherché existe, il contiendra au moins une substitution A, qui laisse immobiles x et qui remplace a par x, ; une autre substitu-

tion A, qui remplace x, par x, sans déplacer x,,..., x^, etc.; enfin une substitution A|i qui remplace x^, par x^. On pourra donc se donner à/»wiccs substitutions, et l'on cherchera ensuite si, en les combinant entre elles et avec les substitutions G, on n’obtient aucune substitution autre que celles

de G et qui laisse en repos x x^. Si l’on réussit dans cet essai, le groupe

(G, A,, A A^) satisfera au problème; car ses substitutions permettent

d’amener x^ à une place quelconque; puis, en opérant les substitutions {G, A,,..., A^.,), on pourra amener x,,,, Si une autre place quelconque, etc. Donc le groupe est bien [x -f- 1 fois transitif. Au contraire, si l’on ne réussit

pas de quelque manière que l’on choisisse A,, A, A,,, on pourra afiirmer

l’impossibilité du problème.

Ce procédé de tâtonnement, tel que nous venons de l’indiquer, serait évidemment impraticable; mais il peut être avantageusement modifié. Kn effet, soit H le groupe partiel formé par celles des substitutions de I, qui ne déplacent que les k \ lettres a, a,, a, x,. Il est âu moins deux fois tran-

sitif: donc son ordre est divisible par le nombre k'k + i); donc il est divisible par a. Donc le groupe contient une substitution B d’ordre a (-iO). Soient a,, a, deux lettres que B permute entre elles ; II contient une substitution S (|ui remplace a, et a, par x, et a; il contiendra par suite la substitution S“'BS. laquelle est d’ordre a et permute ensemble x, et a. On pourra la prendre pour A,.

Le groupe I, formé par celles des substitutions de L qui ne déplacent que a, a,, a, x,, x,, étant au moins trois fuis transitif, contient une substi-

tution T qui remplace a, x,,x, par x,, x,, a. Il contient la substitution T~'A,T, laquelle est semblable à A, d’ordre a, et permute ensemble x, et •X, .sans déplac.er a. On peut prendre cette substitution pour A,.

Continuant ainsi, on voit qu’on peut admettre, sans nuire h la généralité

de la recherche : i° que toutes les substitutions A,, A, .A,, sont d’ordre a

et semblables entre elles; a" que chacune d’elles permute entre elles deux des lettres a, x,, x, x^ sans déplacer les autres.

(icia posé, soient F le groupe formé par celles des substitutions de G qui ne déplacent pas a; une quelconque de ses substitutions; S, une quelconque de celles de G; X, v deux indices quelcom|iics moindres que fx-t- 1 et qui different de plus d’une unité.

Digi:;/:"1 by C- ’OgK