LIVRE DELXltME

Si le groupe (G, A,,..., A^) satisfait au problème, on pourra, quels que soient S„, X et v, déterminer dans F des substitutions i», 2),„ Z."’, et dans G des substitutions S».,, S],, S' satisfaisant aux relations suivantes :

; (A.Av-,)* = 2», ’(A»A.)*=2,,„

J.) (A.I.)> = Si"'', AS.A = S'.ASr.

I (AiS,)> = Si.. (slX>i).

Kn effet, la substitution Ai Ax, permute circulaircmcnt trois lettres de' la suite a, x,,..., sans déplacer les autres; son cube laisse ces lettres immobiles: donc il appartient à F, De même, Ay A, permutant deux couples de lettres de cette suite sans déplacer les autres, son carré les laisse toutes immobiles, et par suite appartient à F, Le carré de Ayl„ appartient à F par la mémo raison. De même le carré de AxS„ ne déplaçant aucune des lettres appartiendra à G. Enfin, la substitution AS, A ne déplace que les

lettres ,r,, a, a Supposons qu’elle fasse succéder x, à a,. Le groupe G

contient au moins une substitution S', qui remplace P^r a. La substitution S', A le remplacera par x, ; et la substitution (S', A)“' AS„ A = Si, laissant X,,..., x^ immobiles, devra appartenir à G.

Réciproquement, si les conditions ci-dessus sont remplies, le groupe (G, A,,,.., A^) satisfera au problème. En cITet, chacune de ses substitutions peut être mise sous l’une des deux formes suivantes :