V, VA,V
V et V' étant des substitutions du groupe (G, A A,,,,). Car soit, par
exemple, A^A^JA^, A^ une de ses substitutions dans laquelle entre deux fois le facteur A^ : le carré de A|iSe réduisant à i, on pourra l’écrire ainsi :
Mais, d’après les conditions ci-dessus, on a
d’où
A A,, A , — ( A , A,, )* Ap™, — Ap^i,
A P A p^, A P — ( A P A p^i )* A P — I A P Ap — , — 2p A p,t A p A p — ^ ,
A P A p] A p, A p A p^i A p ~ — J A p— , 2, A p — , Ap A p.., “ \ A , V
en posant
Zp.p— A p j 2p A p — I — V et A , , \ ^,
Ola posé, toute substitution de la forme VAnV déplace cvidciiinicnt x,,: donc les substitutions du groupe qui ne déplacent pas sont <le la forinc V et appartiennent au groupe (G, A,,..., A^., ). On verra de même que celles de ces dernières substitutions qui ne déplacent pas j'n, appartiennent au groupe (G, A, A^,), etc. Enfin, celles des substitutions de
(G. A fl) qui ne déplacent aucune des lettres x, appartiendront
au groupe G. •
i6. Les résultats ci-dessus sont susceptibles de nombreuses applications : on en déduit entre autres le tliéorëme suivant :
Un gnuipe de subslitutions entre i -h fx leUres ( k étant > 'i ) ne peut être P -f I fois transit^, s'il ne contient aucune substitution déplaçant moins de k lettres et si p 2tt + , n étant l'exposant de. la plus haute puissance de 3 <pii dmsc le quotient de k par 8.
On trouvera aisément la démonstration, qui repose sur l'impossibilité de déterminer jt -I- 4 substitutions A,, A, A,„+, qui satisfassent aux rela-
tions (A> A,)*= I, et qui soient telles que l'on ne puisse obtenir par leur combinaison aucune substitution déplaçant moins de k lettres.
En faisant intervenir les substitutions A„ A,,..., on pourra obtenir jiour pi une limite plus rapprochée que la précédente. On obtient, en effet, les théorèmes suivants ;
1“ Un groupe de substitutions entre 6n -t- 1 lettres ne peut être trois fois transitif s'il ne contient aucune substitution qui déplace moins de Gn — 1 lettres;
a" .Soi/ n un nombre impair quelconque. Un groupe de substitutions entre k -h P lettres, et ne contenant aucune substitution qui déplace moins de k leUres. ne pourra être p -t- 1 fois transitif «' pi > n — 1 , toutes les fois que k — 1 sera un nombre pair et tel que le reste de sa division par 2 n soit n ;
3° Le groupe ci-dessus ne pourra exister, quel que soit X — 1 f poun u que l'on ait X>3), « pi>n(v-+-3) — i, v étant l’ex/iosant de la plus haute puissance de n qui divise te quotient de k — 1 par n’.
47. On peut vérifier par les mêmes principes l'existence d'un groupe cim} fois transitif entre douze lettres, qui s’obtient en adjoignant au groupe O dérivé des substitutions suivantes
{aa.a,a,)(a,a,a,a,) et {aa,a,a,'\(a.a,tt,a,)
UVBK DEl.XIfiME'
les ijUalix- .Kul):>litulioiis ...
A,- jr,n '
A. r.; (.r, r, )(«,«.)(», rt,;(n.rti;,
A,-- {x,j.)(«,fl,){n,n,)(o,«,),
A,- (x,x,)(«irt,)(o,«, )((/,«,).
('.(? groupe reman|u.'jl)lc a été décôuvcrt par M. Mathieu.
§ III. — (ÎHOIPES XOS PltlUITIFs. — F.tCTEIlHS DE .\ON*PKl M 11 IVITK.
i8. (,'n groupe transitif est dit non primitif, lorsque les lettres peuvent v être réparties en systèmes contenant le même nouitire de lettres, et tels que ilans toutes les substitutions du groupe les lettres de chaque système soient remplacées par les lettres d’un mémo système : de la sorte, toutes bis substitutions du groupe résulteront do déplacements d'ensemble entre les sysii“mes, considérés chacun comme tout d'une pièce, combinés avec des déplacements convenables opérés en même temps dans l’intérieur de chaque système entre les lettres qui le composent.
Les groupes dans lesquels les lettres ne sont pas susceptibles d'étre ré|>arties en semblables systèmes seront appelés par opposition groupes primitifs.
49. TiiÉonÈME. — Soit G un groupe non primitif, dans lequel les lettres puissent être réparties de deuje manières différentes en systèmes tels, que chaque substitution de G remplace les lettres d’un système par celles d'un même système; soient S, S,,... et T, T les deux séries de systèmes ainsi ob-
tenues.
Partageons les lettres de chacun des systèmes S, S,,... en systèmes moindres, en laissant ensemble celles qui appartiennent à un même système dans la sériel, T,,.... Groupons au contraire les systèmes T en systèmes plus généraux, en réunissant ensemble ceux qui ont quelque lettre commune avec un même système de la série S, S,
Chacune des deux mmvcltes répartitions en systèmes ainsi obtenues jouira encore de cette propriété que chaque substitution de G remplace les lettres d'un même système par celles d'un même système.
Eu cITct, soient S cl T deux systèmes choisis dans les séries S, S et
T, T de manière à présenter des lettres coin uni nés a, a, .Soient b une
DES SLItSTITUTWNS. ;«S
îiuire Icllrt* qufli'onque; S, et T, les deux systèmes auxquels elle appartient respeetivement dans les deux répartitions S, S et T, T : Ci étant tran-
sitif renferme une substitution 2 qui remplace a par h\ elle remplacera les autres lettres du système S par des lettres du système S, ; celles de T par des
lettres de T,: donc les lettres a, a communes à S et à T, seront rem-
pla<ées par des lettres b, b communes à S, et à T,.
D’autre part, soient a une lettre de S; b une autre lettre <|Uclconque appartenant à S, : la substitution 2, qui remplace a par b, remplactYa les diverses lettres de S, telles que a, a',..., par les diverses lettres de S,, telles
que b, b' ; elle fait donc succéder aux systèmes T, T' auxquels a, a',...
appartiennent respectivement, les systèmes T,, T auxipiels A, ap-
partiennent.
'Remarques. — Si toutes les lettres de T appartenaient è S, les deux nouvelles répartitions en systèmes coïncideraient évidemment avec les deux qui sont déjà données; et l’on voit par là que cliacun des systèmes T, f,,... serait contenu en entier dans quelqu'un des systèmes S, S
Si S et T n’avaient qu'une lettre commune, chacun des systèmes, dans la première des nouvelles répartitions ci-dessus, serait formé d’une seule lettre.
Knfin, si les systèmes T, T'*..., auxquels appartiennent respectivement les lettres de S, épuisaient la suite T, T,,..., le nouveau système rt'sultani de la réunion de leurs lettres raniiendrait toutes les lettres et serait unique.
,50. Soient maintenant G un groupe non primitif; Ë l’ensemble de ses lettres : parmi les diverses répartitions en systèmes dont ses lettres sont susceptibles (telles, que chaque substitution de G remplace les lettres d’un même système par celles d’un même système) on pourra évidemment en déterminer un certain nombre
S, S',...; T, T',...; L». U, ; X. X’,... choisies de telle sorte ;
I" Qu'il neaciste aucune, réfiarlition nouvelle en systèmes tels, que l'ii/i de ces nouveaux systèmes contienne toutes les lettres de S ;
a® Que S contienne toutes les lettres de T ; mais qu'il n'existe aucune nouvelle répartition en systèmes telle, que l’un de ces nouveaux systèmes ail toutes ses lettres contenues dans S et contienne toutes celles rfe T ;
■J" Que T contienne Ë : mais qu'il n'existe aucune nouvelle répartition en
»! LIVRE DF.LXIÈME.
systèmes telle, que l'un des nouveaux systèmes soit contenu dans T et contienne U;
Istc., jusqu'à la dernière rèftariition X, X'...., dans laquelle clttique système ne contiendra plus qu'une lettre.
Soit ). le nomlire des systèines S, S',.... <|iie nous désignerons inninlcnaiil par S,,..., S) : chacun d’eux est formé de la réunion des lettres d’un certain nonihre de systèmes de la suilcT.T',... ( i9). Désignons en général par
T^. ceux des systèmes T, T',... qui sont contenus dans : chacun
d’eux, tel que T^.,, sera formé de la réunion des Icllres d’un certain nombre de sysièmes pris ilans la suite U',..., et que l’on peut désigner par
(’.cla posé, s'il existe quelque autre répartition des lettres en systèmes -S, -S',..-, tels, que chaque substitution de ü remplace les lettres d'un système par celles d'un même système, on pourra déterminer une nouvelle suite de répartitions jouissant des mêmes propriétés que la suite S, S',...; T, T',... ; U, L”....; .... et parmi lesquelles se trouve la nouvelle répartition S, s',....
En effet, soit x celui des systèmes x, s',... qui contient la lettre qui forme à elle seule le système X : cette lettre lui stTa commune avec chacun des
systèmes successifs E, S, T, U X. E contient évidemment toutes les
lettres de»; X n’en contient plus qu’une. Soit donc, pour fixer les idées,
S 1e premier système de la suite E, S, T, U X qui cesse de contenir
toutes les lettres de x. D’autre part, x contient toutes les lettres de X (qui se rédiiisent-à une seule) et une partie seulement de celles de E : soit, pour fixer les idées, U le premier système de la suite E, S, T, U,..., X dont x contienne toutes les lettres.
•s résultera de la réunion d’un certain nombre de systèmes de la suite
lli.i Soit C le système résultant de la réunion de ceux do
ces .systèmes qui sont communs à x et à S : il existera (-19) une nouvelle répartition en systèmes C, G',... dans laquelle l’un des sysièmes soit précisément G.
Ola posé, la suite des répartitions
X, X , . . . î G, G , ... ; l.', E , ... 1 ... 1 X, \ , . . . jouira des propriétés voulues.
Soient eu cH'cl ceux des systèmes de la suite U, E', . . .
qui sont contenus dans G : les indices (3, (5',... seront tous différents.
- En elfet, supposons que G contint les deux sysièmes et il
DES SUaSTn ETIONS 37
conllfiit en outre, p.or construction, le système IJ — Iji.i.i. Sotciil a uiic lettre ile ce dernier système, b une lettre du système G contient une
substitution g qui remplace b par a : cette substitution remplacera par-U,.,., , et par un autre système dont les lettres feront partie
de P que g ne déplace pas; mais 6 et n appartenant respectivement aux systèmes T,,^ et T,.,, g- remplace ces deux systèmes l’un par l’autre: donc lix.r.i est contenu dans T,,,; donc x= i.,y= i : donc G contiendra, outre
le système U,,,.,, un autre système au moins de la suite U U,,,.,:
il ne peut pas les contenir tous, car il eonlicndrait T,,,=T, et à fortiori T serait contenu dans s, contrairement à notre hypothèse. Mais, d’autre part, s’il ii’cii contient que quelques-uns, U,, i, U,., on peut opérer une nouvelle répartition en systèmes dans laquelle l’un des nouveaux systèmes soit formé de la réunion de ces systèmes l!,,,. U,,,,» communs à G et à T : ce nouveau système contiemlrait II et serait contenu dans T, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Les indices |S, étant tous différents et compris entre i et g., le nombre des systèmes sera au plus égal à ix. Nous allons prouver,
d'autre part, qu’iV ne peut être moindre que p.
Kn effet on sait qu’il existe une autre répartition en systèmes dans laquelle l’un des nouveaux systèmes sera formé des systèmes T, de la suite T, ,, qui ont des lettres communes avec G. Si ne reprodui-
saient pas la suite complète des nombres i, 3,..., p, ce nouveau système, qui contient T, serait contenu dans S sans se confondre avec lui, ce qui est supposé impossible.
Kntin il ne peut exister aucune répartition en systèmes tels, que l'un des nouveaux systèmes, O, contienne U et soit contenu dans G ; car le nombre des systèmes il est formé, serait inférieur à p, ce dont on vient
de voir l'impossibilitc. ^
ün voit de la même manière : i° que Iv.ÿ'.f'»--- étant ceux des
systèmes que contient », on ne pourra avoir à la fois a = a', ^
a" que le nombre des systèmes ... est égal à X,u.; 3® qu’il n'existe au-
cune nouvelle répartition dans laquelle un des systèmes contienne G et soit contenu dans 8, etc.
:w LIVRE OEl'XIEME.
