Tiikobkml. — Soient

t/euj: suites (le réparlilions qneironqites satisfaisant aux conditions indirpiees au n° 50 ;

Soienlk, r. ^ — ,••• les nomlnes de lettres respeetifs de V.,S>,'\, L,....X;

/. tu. tut ^ ■'

- -, ceux de x. l'),... : les facteurs l. m, n seront, à l'ordre près,

i II» tiiiii '

les mêmes que les facteurs )„ fi, v

Kn effet nous tenons de voir (|u'on peul Irouver une suite «le répHrlitiuns en sjsti'ines contenant les facteurs X. fi, y,... et dans laquelle ligure lu répar-

tiiiou s, s' On en déduira ensuite une nouvelle suite de répartitions où

figureront les répartitions s, s', . . . et E, B' les facteurs étant toujours

égaux, à l'ordre près, h X, fi, v, etc.

La proposition ci-dessus montre que l’on peut classer les groupes non

primitifs d'après le nombre CI la valeur des facteurs X, fi, y que l'on

pourra appeler les facteurs de non-primitivité du groupe con.sidéré. Le nombre de ces facteurs, également constant, sera le degré de non-primitivité.

ai. Soit maintenant il un groupe transitif quelconque conlenu dans G ; cbacune de ses substitutions remplacera évidemment les lettres de cbacun des sjsti:mes S, S',. . par celles d’un même système; de même pour les autres

répartitions en systèmes T,T', . . U, U' Mais il pourra se faire qu'on

puisse déterminer une nouvelle répartition des lettres en systèmes 2, 2',... tels : i“quc ebaque substitution de H remplace les lettres de cbacun des systèmes 2, 2',... parcelles d’qn meme système; a" que 2 contienne l’un des sy.slèmes K, S, T, L' X, par exemple U, et soit contenu dans le précédent, T.

S contenant t lettres et T en contenant : , 2 en contiendra alors -.-rn,

m étant un diviseur défi.

Thkobé.me. — Les choses étant ainsi posées, si H est permutable à toutes les • substitutions de G, et si l'on choisit la répartition 2. 2',..., de telle sorte que rn

soit minimum, fi sera nécessairement une puissance e.racle de. m.

Car désignons par . G.i.i, systèmes de la

suite T, T',... dont la réunion forme 2; soit un autre système de

üEs si:bstiti)tions. :«)

cetle suite, non contenu dans^; G contient, par Lypotlièsc, une sulisiiiuliun qui ne remplace pas les lettres de cliacim des systèmes S., par celles d’un même système. Cette sub.stitution remplacera £, 2',... pur il’autres systèmes de lettres E, E',... tels, que les lelires de chacun d’eux .soient remplacées par les lettres d'un même .système dans chacune des substitutions do groupe transformé de H par g, lequel groupe n’est autre que H.

Chacun des systèmes 2, 2',... ayant toutes scs lettres contenues dans un .seul des .systèmes S, S',... que,? permute les uns dans les autres, les nouveaux .systèmes F, 6',... jouiront de la même propriété. D’autre part, chacun des systèmes 2, 2',... étant formé par la réunion des lettres de m systèmes pris parmi ceux de la suite T, T',... que g remplace les uns par les autres, chacun des nouveaux .systèmes F, S',... jouiixi de la même propriété. Désignons parE,celui de ces nouveaux systèmesqui contient les lettres de/,.,.,. ; les

m — I autres systèmes qu’il contient, et que l’on peut désigner par G.»

G.*, I. seront essentiellement dilTérents de ceux que contient 2.

Car si contenait les mêmes systi-raes que 2, tous les systèmes F, F',... coïncideraient évidemment avec les systèmes 2, 2',..., ce qui n’a pas lieu; et si F, avait ni systèmes seulemcnCcommuns avec 2,' m' étant plus grand que I et plus petit que m, on pourrait { VJ) opérer dans H une répartition en systèmes dans laquelle l’un des nouveaux systèmes serait formé seulement par les m' systèmes communs à 2 et à ce qui est contraire à l’hypothèse d’après laquelle m est choisi minimum.

Les systèmes E,,..., F,,..., F„ seront donc essentiellement différents et contiendront in‘ systèmes de la suite T, T', .... et, d'autre part, ils sont tous contenus dans le système S, qui contient àlafais t,,,^ ,..., t, . Car ce système,

contenant une partie des lettres de chacun d’eux, les contiendra toutes.

f)n peut d’ailleurs.(49 j opérer dans le groupe H une nouvelle répartition en systèmes M, 9' dans laquelle l’un des systèmes 6 soit formé de la

réunion des systèmes G G„. Si a = m*, cette répartition se confondra

avec la répartition S, S',....

Soit au contraire G contiendra une substitution A qui ne rem-

place pas les lettres de chacun des systèmes 0, 0',... par les lettres d’un même système; soient c, o’,... et t, t',... les systèmes de lettres par lesquels elle remplace rc.spcctivement 2, 2',... et G, F',...; chacuuc des substitutions du groupe transformé de H par A, lequel est identique à H, remplacera les lettres de chacun des systèmes s-, o', ... par celles d’un même système : do même pour les systèmes r, t',..c. D’autre part, chacun de ces systèmes 5-, a',... et T, t',... aura toutes ses lettres contenues dons l’un des systèmes