LIVRE DEl XltME
S, S',.... Enfin ils sectilU l■t•s|)eclivelllcnl fornni.s drs lellrcs (les m s\sli'ines lie la suite T, T',... que A fait succéder à ceux qui entrent dans la composition de 2, r G, G'
^Soient donc 2 l’un quelcoiu|ue des systèmes de la suite 2. 2',...: f,,..., G„ ceux des systèmes de la suite G, 6',... qui ont un système de la
suite T, T',... commun avec 2; a et t ceux des systèmes des suites
a, a',... et t, t',... que A fait succéder à 2 et h G,,..., G„. Chacun des systèmes t T, par exemple, aura en commun avec <7 un système de la
suite T, T',... (celui que A fait succéder à celui qiii était commun à G, et à 2).
En choisissant convenablement 2, on peut faire en sorte que l'un au moins des sysièincsff, r,,..., t„ contienne des lettres appartenant à divers systèmes
de la suite 6, 0' Car si, quel que fût 2, tonies les lettres que contient c
appartenaient à 0', t contiendraient chacun ati moins une lettre
de 0' : et si toutes les lettres qu'ils contiennent appartenaient au même système de la suite 0, 0' elles appartiendraient toutes à 0 . D’ailleurs lé
système résultant de la combinaison de t,,..., contient, comme 0', m’ systèmes de la suite T, T',... : il cohlicnl donc autant de lettres que 0'.
Donc la réunion des systèmes t reproduirait 0', de même que la
réunion de G ,G„ reproduit 0; et la substitution A remplacerait les lettres
de 0 par celles de 0'. Le système 2 étant d’ailleurs quelconque, 0 serait un système quelconque de la suite 0, 0',... : donc A remplacerait les lettres de chacun de ces systèmes par celles d’un même système, ce (pii est contraire à notre supposition.
Admettons donc que ;, par exemple, contienne des lettres appartenant à divers systèmes de la suite 0, 0',.... Soient /, les m systèmes de la suite T, T',... qui forment a par leur réunion; ils appartiendront tous à des systèmes différents de la suite H, 0' Car si m' d’entre eux étaient com-
muns à (7 et à 0, m'étant plus (;rand que i et plus petit que m, on pourrait ( A9) opérer dans H une nouv'elle répartition en systèmes dans laquelle l’un des nouveaux systèmes fût formé seulement par la réunion de ces m' systèmes communs, ce qui est contraire à l'hypothèse d’après laquelle m est choisi minimum.
Soient donc 0 0„ ceux des systèmes de la suite 0, 0',... auxquels
appartiennent respectivement /, /' ils contiendront entre eux tous m’ systèmes distincts de la suite T, T' etc.; d’autre part, ils sont tous contenus
dans celui des systèmes S, S',... qui contient t\ car ce système, contenant une partie des lettres de <r, les contiendra toutes; il contiendra donc l, t’
DES SLBST1TUTI0N5. Il
qui lotit respectivement partie de 0, 0',...; il contiendra donc 6, 0',.... Donc fA est au moins égal à m'. On voit de même que si on aura
tA = /n‘,etc.
Ô3. TiiéoBÈME. — Vn groupe ij permutable à un groupe non transitif \\ ru; peut être primitif.
Soient en effet a, a les lettres que H permute avec rune d'elles a\
b, b les lettres que H permute avec une autre lettre b, etc. Chaque suli-
stitutiun g- du système G remplace les lettres a, a par un autre système
«le lettres jouissant delà propriété d’être permutées ensemble par les substitutions du groupe transformé de 11 par g, lequel se confond avec H. O système de lettres sera donc l’un des suivants : a, a ; b, b,,...;....
D’ailleurs si les systèmes a, a, b, b n’ont pas tous le même
nombre de lettres, il est clair (|ue^ne pourra les permuter ensemble, et le groupe G sera lui-même intransitif.
Corollaire. — Soient G un groupe quelconque; g, h, /,... ses substitutions; g l’une quelconque d’entre elles. Ces substitutions transforment évidemment les unes dans les autres les substitutions g, h^'g/i, i~*gi : elles sont donc permutables au groupe {g,h~'gh, i~'gi...,): Si donc ce groupe n’est pas transitif, G ne sera pas primitif.
S IV. — Groupes composes. — FACTEi'.ns de compositio.v.
54. Nous dirons qu’un groupe G est simple, s’il ne contient aucun autre groupe auquel ses substitutions soient permutables, composé dans le cas contraire.
Soit G un groupe composé quelconque : on pourra déterminer une suite de groupes
telle : i° que chacun des groupes de la suite soit contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions; a® qu'il ne soit contenu dans aucun groupe plus général jouissant de cette double propriété; 3® que le dernier groupe de la suite soit formé de la seule substitution i .
C;ir soient 11 un groupe aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans G et permutables à ses substitutions; I un groupe aussi général que possible contenu dans H et permutable aux substitutions de G;
li I.IVRE DEUXIÈME.
K un groupe aussi general que pnssilile, conicnu dans I cl perimilalde aux sulistilulions de G, etc. Soient, d’autre part. H’ un groupe aussi général que pussihlc parmi cous qui contiennent I, sont contenus dans II cl permutables aux substitutions de H; 11" un groupe aussi général (pie possible parmi ceux qui contiennent I, sont contenus dans II' et permutables à ses substitutions, etc. La suite G, 11, H', H',..., I, 1',..., K i, forniée des termes
G, II, I, K I, des termes intercalaires H', H" des termes analogues
I',... qu’on pourrait insérer entre I et K, etc., jouira cvideminent des propriétés voulues.
Soient respectivement N, — > = — •,,•••. ; — ,• . t — , •,»••• les
• J. /ft /.uü /.ftfi. ..a
ordres de CCS groupes successifs : les facteurs)., a, ji.',..., v, v',,.. pourront
être appelés les facteun tir composition du groupe G; leur nombre sera son
tir gré de composition.
55. TnÉonK.MH. — Si, par un procede qurlcontpte, on détermine une suite de groupes G. i), 5',..., a, I jouissant tles propriétés indiquées au numéro pré-
rédent, et dont tes ordres respectifs soient N, jt facteurs /, m,...
seront, à l'ordre prés, identiques aux facteurs de corrqtosition ), 'i, p',.,., v,
Nous établirons que cette proposition est vraie pour le groupe G si elle est vraie pour le groupe 5: <lc même elle sera vraie pour S si elle l’est pour y, etc., jusqu’à ce qu’on arrive à l’avanl-dcrnier groupe de la suite G, ,‘i, qui sera simple, et pour lequel la proposition sera évidente.
Considérons les groupes de la suite G, 11, I, K,..., 1. Soit, pour fixer les idées, K le premier des groupes de cette suite qui soit contenu dans ,‘i (le ilernicr, formé de la seule substitution 1, l’est nécessairement); soient I, k,, les diverses substitutions de K, et supposons, pour fixer
les iilées, que la suite G, II, I',..., K,..., 1 ne contienne entre G et I
aucun autre terme que ceux que nous y écrivons. Le groupe I contenant K, .ses-'subslitutions, en nombre avv'..,, pourront (39) se mettre sous la forme ilu tableau suivant :
I, kl, A«ii,
II, lié., lié.-,.
