I . — I , i,r , , k I , irT . , , é. — I
OÙ I, I l’wi -, sont des substitutions de 5 telles, que deux quelconques
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DKS SUBSTITUTIONS t;t
d'eiili'e elles ne salisf'assetil à aucune relation de la forme
ou = fj, A.,
mais choisies d'ailleurs d’une manière (|uelcunqnc. Si donc on convient de poser /„ — I et X„ = i , les substitutions de 1 pourront se mettre sous la forme générale /pX», où a. peut premlrc successivement les diverses valeurs
O, t a — I , et ]S les valeurs « vv'.. . — i . De même les substitutions
de H' pourront se mettre sous la forme h\ A' étaut des sub-
stitutions convenablement choisies, en nombre fi'; celles de H pourront se mettre sous la forme l'indice •/ variant de zéro à fi — i ; enfin
celles de 0 sous la forme gf , l'indice d variant de zéro à X — i .
(iela posé, les seules subsùtulions communes à 5 et à l sont les substitutions K . Kn effet, soit K' le groupe formé par ces substitutions communes : il esl permutable aux substitutions de G : car K' étant contenu dans 1 et dans 5, les transformées de scs substitutions par l’une quelconque des substitutions G, permutables à la fois à I et à 5. appartiendront-à lu fois à 1 et à 5, et par suite à K'. Or le groupe K' contient les substitutions K et n’en peut contenir d'autres, K étant par hypothèse un groupe aussi général que possible parmi ceux ([ui sont contenus dans I et permutables aux substitutions G.
D’autre part, en combinant ensemble les substitutions 5 et I, on doit reproduire toutes les substitutions de G. En elTet les substitutions de G , étant permutables aux groupes 5 et I, transformeront en lui-même le groupe I' dérivé de leur combinaison. Ce groupe est plus général que 'i : s’il ne contenait pas toutes les substitutions de G, on aurait ainsi un groupe partiel P plus général que 5 auquel les G seraient permutables, ce qui est supposé impossible.
.'>6. Ces deux points établis, supposons les substitutions £ mises sous la forme gr,h^h..i^k^: si â, 7 et 7' ont le même système de valeurs dans deux de ces substitutions, jS aura égrSement la mime valeur. Car soient ^'s, Xa. = S. et ^4, A.,, A'j *p, Aa, = S, ces deux substitutions : 5 con-
tient la substitution
substitution qui fait partie à la fois du groupe S et du groupe I dérivé de.s substitutions 1 et k, et qui par suite appartient nécessairement au groupe K.
il UVRR DEUXIÈME.
Soit 4,^ wtle sulKslitution; il vient
relation impossilile par hypothèse, si j3, diffère de jS».
D’autre part, toutes les substitutions de G seront de la forme 5 désignant une substitution dc,$. En effet les substitutions G se réduisent à relies qui dérivent de 1 et de ,5 (55). Soit X,, s, , par exemple, l’une
d'elles, s, et r, étant des substitutions de 5: Rib; peut se mettre sous la forme s\ étant la transformée de s, par Or
faisant partie du groupe I, peut se mettre sous la forme ipX,; X, fait partie lie {y; il en est de même de s\, transformée de s^ par la substitution permutable it 5: il en est de même de Xj, et de s, : donc la substitution considérée est de la forme i^s, s étant une substitution de i).
On conclut de là que 5 contient une substitution de la forme gih^h\ i^k,, quel que soit le système de valeurs que. l'on donne à d, y, et a.
En effet, le nombre des systèmes de valeurs des indices à, 7, y', a est
chacun d'eux correspond au plus une sub.slitulion de ü, car s’il en existait deux^ elles devraient diflérer par la valeur de l’indice fi, ce que nous avons démontré impossible. Si donc il y avait quelque système de valeurs de o', y, y', a auquel ne répondit aucune substitution, le nombre des substitutions de 5 serait inférieur à Xiiii'a, et par suite celui des substitutions de la fortne serait inférieur à \u.ix’avv'.... Ce résultat est absurde, car toutes les substitutions de G, en nombre N =).ptfi'vv'...a, se ramènent à cette forme.
57. Soient maintenant X’o'?.= (^'o)* ^'1'?. “ (^1)’ • •• • (^V)<
celles des substitutions de pour lesquelles o, y = o, a = o; soient de même Ao »V,= (X,),..., = (A^),... celles de ces substitutions pour
lesquelles cl = o, /= o, a = o; enfin /?o«V.= (go). • • • . éfe '«= (^Tî). • • ■ celles de ces substitutions pour lesquelles y—o, f = o, a = o.
Toutes (es substitutions de la forme (g^) (h^) (A'^) X, appartiennent A identment au groupe 5 ; réciproquement toute substitution de 5 sera de celte forme ; car ü ne contient que èaa'a substitutions, et les ).jxp.'a substitutions que donne cette forme en y faisant varier â, y, y', a sont toutes distinctes. En elTct, soit (gif) (A,.) (A’yjX..= (gî,) (A,,) (A’^) X.. : remplaçant (gi,),... par leurs valeurs, il vient
g», M. = J*, M, , d’où gt, M, M; ‘ gi, ,
DES SUBSTITITIONS
Ma et M, étant îles substitutions ilu groupe II dérivé des substitutions h, h', I, k. Cette égalité ne peut avoir lieu par bypotlièse que si = <?, . L'égalité admise se réduira ainsi à (A^, )(//,■) A.,, et l'on
verra de méinc que 7, = 7,, puis que 7'^ = 7',, et enfin que «„= a,.
On verra de la même manière que G, II, II' tonl respectivement formés des substitutions des formes suivantes :
car les substitutions i^(A',.} A,, par cxeiriple, font évidemment partie de H', sont toutes dislinetes entre elles, et leur nombre est égal à celui des substitutions de H'.
Les substitutions désignées primitivement par g. A, A' ayant actuellement disparu du calcul, nous supprimerons, pour plus de simplicité, les parentlièses qui distinguaient jusqu'ici les substitutions (§•{), (A^), (A'^).
On voit maintenant aisément que l'on a entre deux substitutions tfuelconques, ipA, = S et g'j A^ A'. A,- = T, prises respectivement dans les deux gmupes I et une relation de la forme ST = TSA,».
En elFet la substitution S"‘T'‘ST fait partie du groupe I, car elle est le produit de deux substitutions, dont l'une S~* Tait partie de ce groupe, et dont l'autre en fait partie également, étant la transformée d'une substitution de I par une substitution permutable à I. D'autre part, S~*T~‘ST peut être considérée comme le produit de deux substitutions ; l'une T appartenant au groupe 5; l'autre S”"' T"' S, transformée d'une substitution de 5 par une substitution qui lui est permutable. Donc S~'T''ST appartient, simultanément à I et à i), et par suite à K. Donc S“'T-'ST = A,», d'où ST = TSAy.
58. Des développements qui précèdent nous allons actuellement conclure la démonstration de notre proposition.
Soient G, S, J, J', K I la suite des groupes respectivement formés des
substitutions des formes
ils ont pour ordres N,
if gi A, Iiy a» , ^ A J A.' A a , A| A^ A«, A.^A,, A,,. N N N N
'. ri’ n/ . . V»' . . . Xuu'
Nous allons établir : 1“ que la suite des facteurs ist, à l’ordre
près, la même que la suite des facteurs p., p'..., v, v' ce qui revient à
prouver que les facteurs v, v',... se réduisent à un seul; autrement dit, qii'i'/
li; UVRK DEl'XIËME
n’v a dans la suite G, II, II', I,..., K,..., i aucun gn>u/>e I' intermédiaire entre I e/ K; 'i" que chacun des grouiies G, S, J, J', K,..., i est /lerrnutahle à toutes les substitutions du précèdent ; 3“ qu'il est aussi général que possible parmi ceux qui jouissent de cette propriété.
i“ liii premier lieu, d est absurde d'admettre que la suite G, II, II', I
K,..., I contienne un groupe I' intermédiaire entre I et K. En elFel, les substitutions I lui seraient permutables par définition; les substitutions de la forme A, /i' le seraient également. Gar soit. l'ijA, une quelconque des substitutions de r : sa transformée par g’s A, A' peut ( 57) se mettre sous la forme
ifl<.ihl<t)~'{gib. A',)"' i,t.gi II; lé — <) A.A..,
et fera partie de I', (|ui contient, aveu toutes les substitutions <le K. I.cs substitutions G, qui dérivent toutes de la combinaison de 1 avec les substitutions gt;h.^H, , seraient donc permutables à I'. K ne serait donc pas aussi général <[uc possible parmi les groupes contenus dans I et permutables aus siihstitutions'G, résultat contraire à la loi de construction de la suite G, 11, I, K,..., I, et partant inadmissible.
a" En second lieu, considérons l'un quelconque des groupes de la nouvelle suite, J' par exemple : il est permutable aux substitutions du précédent, J. En effet, ces substitutions résultent de la eombinaison des substitutions J', éviilemment permutables k leur propre groupe, avec les substitutions A^. t'es dernières substitutions, faisant partie du groupe H, sont permutables au groupe H' formé par les substitutions <j, A' A,. On aura donc, quels (|tie soient y, jS, y' et a, une relation de la forme
ou
A. ' If b'., A. A, = />, A'. A,, , le' A . Ar’ Aj, A, Aj — f>, lij A,, ,
on. en remarquant qu’on a une relation de la forme ijiA., = A,f^A,, (57), i> A., Ar' Ar A, Aj = A(. A., ,
relation qui ne peut subsister (|uc si = ^, , et d’où l’on déduit ensuite A"' Al. A. A. r- A”' Ar A., ,
ce qui montre que la transformée de A', A, pr A, appartient au groupe J .
[)KS SljBSTlTLTlONS.
Mais les subsliluliuiis de J’ soiU toutes de la forme K i, : iliim: A, est perintitaMc II ce groupe.
3“ En dernier lieu, il n’existe aucun groupe plus générai que J', contenu tlans J et permutable à ses substitutions; car s’il y en avait un, J", soient
S, S S„,... ses substitutions, T une t|uelconquc des substitutions de J :
on aurait, quel que soit m, une relation de la forme T”‘S„Ï = S,. Considérons le jçroupe F, formé par la combinaison de J" avec les substitutions <<, : ses substitutions sont de la forme i^S„; car soit par exemple i^, S„, j«i, S„, l’une d’elles, on aura (57)
ce qui réduit la substitution proposée à i^, A,, mais «j, i(i,, étant
une substitution de I, peut se mettre sous la forme i^k\\ A, est contenu dans J' et par suite dans J", de même qiieS„, , A»,, S„^, ce (|ui réduit la substitution donnée à la forme i^S„.
Ix groiifu- F est plus général que le groupe IF; car les substitutions de ce dernier groupe sont de la Ibrmei'^A' A,. Or soit S une substitution de J* qui ne soit pas contenue dans J', et qui par suite ne soit pas de la forme H : elle est de la forme A'. A,, et sera (57) essentiellement différente de toutes celles de la forme ijA' Aa; elle ne pourra donc appartenir à II' : mais elle appartient à F : donc F est plus général que 11'.
D’autre part, F est contenu dans II et ne contient qu'une partie de ses substitutions. En elTct, II contient les substitutions i<i et les substitutions ilu groupe J, dont les substitutions S,„ font partie. Soit maintenant T une substitution de J qui ne soit pas contenue dans J" : elle ne sera pas de la forme S,„. D'autre part elle sera de la forme A» Ajif», et par suite ne pourra pas davantage être de la forme ipS„ : elle ne fera donc pas partie de J".
Enfin F est permutable ti toutes les substitutions de II. Car soit ij, T l'une de ces dernières substitutions, T étant une substitution de J; soit, d’autre part, ijS,, une quelconque des substitutions de F. S„ et T"' appartenant à S, et ij,, ^ O" “'f® (57) des relations de la forme
La transformée (/jj, T se réduira donc à la forme
/, T- A-., S. /..T = i^ iV, .T“* A., T . T- ' S. T . T- A. f.
Or cette substitution appartient au groupe F : car ce groupe contient et iy, il contient de même la substitution T“'S„T, laquelle, se réduisant à S„,
W [.IVRE UEEXltME
fnil partie de J"; il contient enfin le groupe K. auquel T est permutable : donc il contient T"'^,T et T""' A,, T.
Si donc il existait un groupe tel que J", il existerait un groupe I' plus général que II', contenu dans II et permutable aux substitutions II, ce (|ui est contraire à la loi de construction de la suite G, II, H', I, K i.
Les deux suites de groupes G, 5* J> J' ' et G, 5, S'. 3 i jouiront
donc toutes deux de la propriété que chacun des groupes qui les forment est aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans le précé- <lenl et permutables à ses substitutions. Il en sera ù fortiori de même des
suites partielles 5, J, i' i et 5, 3 i, où les facteurs qui expriment
les rapports des ordres des groupes successifs sont, d’une part, X, /jl,..., et, d’autre part, m, m',....
Le théorème étant supposé vrai pour le groupe S, rn, rn',... d’une part,
et )., fi d’autre part, se confondront à l’ordre près avec les facteurs de
romposition de £: ils sont donc identiques, à l’ordre près. Comme on avait
déjà /=v ( l’ordre de 5 étant égal à la fois à y et à le théorème se trouve démontré.
Le théorème (|ue nous venons d’établir montre qu’on peut légitimement cla.sser les groupes composés d’après le nombre et la valeur de leurs facteurs de composition.
TiiKonèMr.. — Soient G, H,..., I, K i une suite de /groupes dont
rharun soit aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans le précédent et permutables ù toutes les substitutions de (j; M un groupe quelconque de celte suite; I, K deux autres groupes successifs quelconques. Supposons qu'on puisse déterminer un groupe intercalaire L, contenu dans I et contenant K, auquel les substitutions 11 soient permutables, et si cette détermination peut se faire de plusieurs manières, ehoisissons-le de manière que son ordre soit minimum. .Soient, dans ce cas, n,mn,p.n les ordres respectifs </e K, L, I : fi sera une puissance exacte de m.
Soient en effet X„,...,>lr„, les substitutions de K; /„ X,...., /, X-^,..., X,,
celles de L : étant des substitutions qui ne satisfas.«ent à aucune
relation de la forme /, = /y X^. Soit g une substitution de G non permutable k L: elle est permutable k K : elle transformera donc L en un groupe L' formé de substitutions de la forme [„ X„ f. X^,...: („ f, étant les transformées respectives de /» /,
Les substitutions du groupe transformé de H par g, seront per-
DES SÜBSnTUTIOXS. I!l
niuUljles à L' (36); maisÿ''H^ se réduit à H : donc les substitutions de II sont permutables à L', ainsi qu’à L; elles le sont donc au groupe formé par les substitutions communes à L et à L'. Or les K font partie de ces substitutions communes, et il n’en existe pas d’autres, sans quoi l’ordre de L ne serait pas minimum, comme nous l’avons supposé.
lün particulier, les substitutions 4,... faisant partie de I et de II,
leurs transformées /'„ V, .... en feront également partie : elles sont donc
permutables à L. Les substitutions du groupe A, obtenu en les combinant à ce groupe, seront de la forme (37). (ie groupe est contenu dans I.
et permutable aux substitutions de H. car il résulte de la combinaison des substitutions des deux groupes L, L', tous deux permutables aux substitutions de H.
D’ailleurs les m^n substitutions obtenues par la variation des indices a', a, ^ sont toutes distinctes; car si l’on avait
on en déduirait
La substitution serait donc commune aux deux groupes L et L', et
par suite appartiendrait à K; un aurait donc
4' = 4/v. d’où = =
k, transformée de X-p- par g ', appartenant à K. Une telle relation ne peut exister que si a'= . On aura alors
/. Aj = 4, /i>, , d'où a = *1 , j3 =
Donc I contient au moins m’n substitutions. S'il en contient davantage, G contiendra une substitution g' non permutable à A. Soient les
transformées de /„ /' par g' : le groupe A', transformé de A par g, aura ses substitutions de la forme X'. k^, et sera contenu dans I et permutable aux substitutions de H. Il est différent de A : donc il ne peut contenir à la fois toutes les substitutions de L et de L', ilont la combinaison constitue A. Supposons, par exemple, qu'il ne contienne qu’une partie des substilu^iKis de L ; les substitutions K sont communes à L et ii A', et il n’existera pas d’autres substitutions communes; car les substitutions (1, étant permutables à L et à A', seraient permutables au groupe formé par res substitutions
