LIVRE DEUXIÈME

l'.uiniilunes, ((iioiquc son ordre fùl moindre que relui de l<, ce (jii'oii suppose impossible.

(iela posé, les mVi siilislitulions de la forme seroni loiiles dis-

lincles et eoiitcnues dans I.

On démontre de même que si I eoniienl d’autres sulisliliilions, il en eoiitienl au moins m'n, de.

I V. — StMKTHIE UFS FOSCTIOKS RATIONNt LLES.

lÀaison entre tes groupes et les fonctions.

(iü. Soient F, une fonelion rationnelle quelconque de / lettres a, h,c,...\ f l. F,, Fÿ les 1.2..../ fonctions obtenues en y opérant entre ces lettres les

1 . 2.. ./ substitutions i, a, ^,... : elles seront, en général, algébriquement distinctes les unes des autres. .Mais si, par suite du rboix particulier de la fonction, la suite F,, F,, F^,... avait M termes I',, F,,... identiques à F,, elle contiendrait évidemment M termes Fj,, F,^,... identiques à F^. I.e

nombre des valeurs distinctes de la fonction F serait donc égal à ■■ ■

Les M substitutions i, a,... qui n’allèrent pas la fonelion F, forment éviilcmmenl un groujie, qu’on pourra appeler \c groupe de ta fonction ; et l'on pourra dire que la fonction est transitive ou non, suivant que son groupe sera transitif ou non. Kéripi^quemenl, un groupe quelconque II étant donné, on pourra déterminer une fonction incariabte />ar les substitutions de re groupe et cariablc par toute autre substitution. Car, soient ç, une fonction quideunque variable par toute substitution (telle (pte la suivante : a t- ■àJ> -I- 3r + . . .];

9.. ç,, ... les diverses valeurs qu’elle prend par les substitutions du groupe I. 2,... : le produit ç, yj... jouira de la propriété voulue; car les substitutions I, a,... permutent ses facteurs entre eux sans changer le produit, et toute autre sub.stilulion |3. remplaçant f, par un nouveau facteur cbangera le produit (’J.

(i I . Lis diverses fonctions rationnelles qui ont même groupe s' e.rpriment toutes rationnellement en fonction d'une seule d'entre elles et de fonctions symétriques en a, b, c

(' j l.ai ci-<tps<us. (Inc ii noiro Cauchy, a crili(|iièc {lar .M. Kiiifuan ( oj

fiimps oml liMtn wttuni funrthms^ p. 8d; 5lanche*kT. iW»i); maifi i) o<«l ai>c tlo voir liüfi:» jIc ce péometre n«* -t>ol fonfitV< *\w ^ur un malontemlii.