LIVRE DEUXIÈME

dont le déterminant étant, comme on sait, égal au produit des différences

des i|uanliléa distinctes 9,, sera différent de zéro.

On peut obtenir l’expression cherchée de d’une manière simple ainsi iju’il suit : ç,, 9^. sont les racines de l’équation du degré fi,

dont les coelTicients, symétriques en f,, sont évidemment inva-

riables par les substitutions de G. .L’équation

admet pour racines et a pour coellicicnts des fonctions ration-

nelles de fl et des cuellicicnts de /(Y).

Gela posé, ajoutons les équations linéaires ci-dessus, respectivement multipliées par It, X,,...: les multiplicateurs de s’annuleront, cl,

divisant ]>ar le coetficient de <j>,, il viendra

.1 - tX. -t-t'X, ■ -f- to-)

02. Les fonctions entières de k lettres sont donc susceptibles d’autant d’espèces de symétries distinctes qu’il y a de groupes dillérents de substitutions entre ces lettres. .Mais si, au lieu de considérer d'une manière générale toutes les fonctions entières, un ne voulait examiner que celles qui satisfont à queb|ucs conditions déterminées, par exemple celles qui sont il’un degré donné, le nombre des espèces de symétrie dont elles sont susceptibles pourrait se trouver réduit. Ce champ de recherches, signalé par M. Kirkman, est encore vierge. Nous nous bornerons donc sur ce sujet à quelques brèves indications.

Soient K = T -t- T, T,, une fonction entière quelconque de a,

X — nia''h'< T, = m, «if' <>»•... ses différents termes; S, S les substi-

tutions de son groupe : chacune de ces substitutions transforme les uns dans

DES SUBSTITUTIONS .sJ

les autres les termes T, T T^. Soient respectivement T, T,,-- - «eux

«Je ces termes que S, S transforment en T : chacune de ces substitutions

transformera les termes!, T les uns ilans les autres; car supposons que

l'une d’elles. S, transforme T, on U par exemple; S, transformant T, en T,

S"' S,, qui fait partie «lu groupe (S, S ), transformera U en ï : donc l.'

fait partie de la suite'f, T

Cela posé, si les substitutions S, S permutent transitivement entre eux

tous les termes T, T,,..., T^, on dira que la fonction est élémentuire ; ilans le cas contraire, elle sera évidemment la somme de plusieurs fonctions élémentaires F,, F,,..., qui seront chacune transformées en elle-même par les substitutions S, S,,.... Soient donc respectivement T,, Fj,... les groupes de ces fonctions : S, S,,... appartiendront à chacun d'eux. Réciproquement toute substitution commune à ces groupes laissera invariable F,, Fj et par suite leur somme F : elle appartiendra donc au groupe (S, S ).

Ainsi la détenninalion du groupe d'une fonction non élémentaire se ramène à celle des groupes des fonctions élémentaires qui la composent.

63. Soient T = mafb^... un terme quelconque d’une fonction élémen-

taire; T e= m'a'' b* ... un autre terme quelconque. Il doit dériver de T par une certaine substitution opérée sur les lettres a, b,,..-, il faut évidemment, pour cela, que les coelficients m et /«'soient égaux, et que les exposants® p, q',... soient, à l'ordre près, égaux à p, q,.... •

Supposons que parmi les exposants //, q,..., dont le nombre est égal à A. nombre des lettres a, //,..., il y en ait p égaux à a, v égaux à jS, etc.,

X, ^,... étant des entiers différents, dont l’un peut être nul. Remplai;ons dans la fonction F = T -i-T'... le cocHicient /« par un autre cocilicient quelconque rn,; remplaçons de même les exposants a, f3,..., partout où ils se présentent, par d’autres exposants entiers x,, fi,,... qui soient également dill'érents les uns des autres. Nous obtiendrons une nouvelle fonction F,, i|ui sera évidemment élémentaire et aura le même groupe que F.

Les fonctions en nombre infini, dérivées les unes «les autres par un semblable changement, peuvent être considérées comme constituant une seule famille, dépendant des nombre.s pi, y,....

64. Pour résoudre dans toute sa généralité le problème de M. Kiikmuu. il faudrait maintenant :

I “ Déterminer les diverses familles qui correspondent à chaque système donne de valeurs de p, y,...;

UVBE DELMKMK

;is

a“ fMt rminer les dieerses familles qui correspondent à un groupe de substitutions donne.

l.ii solution (le la première, qiK'stiun parait assez dillicilc, sauf dans le cas particulier où l’on a p=i, v = A — i. Elle devient alors exlrénieiiienl simple, car on a, en supposant ft ~ o, ce (|ui est permis,

T — ma' et F = «i { <«• -( A*

Soient a, b,... celles des lettres a, b d, e,... (|ui entrent dans l’ex-

pression de E; d, e,... les autres. Le groupe de K sera évidemment formé de rensemblc des substitutions (|ui permutent, d’une part, a, b,... entre elles, et, d'autre part, d, e,... entre elles, et il y aura autant de fitmilles qu’il y a de manières de répartir les lettres a, b,..., d, e,... en deux svslèmes.

L’n autre cas simple est celui où les nombres p, y,... sont tous égaux à l’unité. On a alors

T - ma'h* . . . ,

a. fi,... étant tous différents. Soient G un groupe quelconipie: T, T',... les divers termes transformés de T par ses substitutions. I.a fonction T -t- T'..., invariable par les substitutions de G, varie évidemment par toute autre subslitulion : donc elle a pour groupe G. Il existe donc dans ce éas autant de * familles qu’il y a de groupes possibles de substitutions.

On voit par là (|u’« chaque groupe G correspond au moins une famille de fonctions élémentaires. .Mais il peut en correspondre plusieurs. Ainsi supposons que le groupe (î contienne toutes les subsiiiutinns po.ssibles. Il correspondra à toutes les familles de fonctions symétri(|ue$; mais il existe évidemment une telle famille pour chaque système de valeurs de p, v,....

(>.'). .Si un groupe G, ne contenant f>as toutes les substitutions possibles, est n fois transitif, il n'eæistera de famille correspondant à la fois à cl à un système de nombres p, y,... que si chacun de ces nombres est inferieur à k — n.

.Supposons, en elfet, p^k - n. Si la famille cherchée pouvait exister, • soient F une de ses fonctions, T = ma’^b^... l’un des termes de F. On peut supposer (|ue les fz exposints égaux à a se réduisent à zéro, et [)ar suite supprimer du produit les lettres alTectées de ces exposants. Il vic.ndra alors T =: mb^..., le nombre des lettres restantes b,... étant égal a ^ — p, et par suite au plus égal à n. Le groupe G, étant n fois transitif, contient une substitution au moins qui remplace b,... par k — p lettres quelconques r

DES SIISTITÜTIONS. .V.

(Ættf suhstitulion transformera T en T'=mr^..., et la foiielion F=T t- T -e ... sera symétrique. Donc, au lieu <le correspondre au groupe G, elle eofrespondra au groupe plus général formé par toutes les substitutions possibles.

Application géométrique.

06. Des questions qui precedent dépend la solution de divers problèmes de Géométrie. Ku voici un exemple.

Imaginons des points a, h, c, d,... réunis par des droites telles que ah, ac, bd,.,, formant ensemble un système, continu ou non, ipie nous appellerons un assemblage de droites, ayant pour sommets les points a, b, c,

d Supposons, pour plus île généralité, que quelques-unes des droites

de rasscmblage puissent être considérées comme multiples. I.’a.ssemblagc pourra être représenté symboliquement par la forme quadratique mab -r- riac -H pbd ~h..., dont les termes représentent ses diverset droites, I espcctivemenl affectées de cocHicients m, n,p,... qui indiquent leurs degrés de multiplicité.

Deux assemblages et .\' seront dits pareils, si l’on peut établir entre leurs sommets une correspondance telle, qu’à cbaque droite ab de l’un des assemblages corresponde dans l’autre assemblage une droite a' b’, du même degré de multiplicité, et joignant ensemble les deux points a', b' qui correspondent respectivement à a et à 6. Dans ce cas, si mab + nae -( pbd est la forme représentative de .V, ma'b’ -h na'c' pb'd' -h ... sera évidemment la forme représentative de .V.

Il peut se faire qu’un as.scmblage soit pareil à lui-même sous divers points de vue, ce qui constituera pour lui une sorte de symétrie. Dans ce cas, se confondra avec et a', b', c', d',... seront, à l’ordre près, iilcn-

tiques à a, b, c, d De plus, les deux formes mab + a ac -h p bd ?... et

ma' b' e^na'c'-e pb’d' + . . ., représentatives du même assemblage, seront nécessairement identiques. Donc la substitution qui transforme a, b, c, d,... eu a', b', c, d',... n'altère pas la forme mab + nac .h- pbd -t-.... Uéiiproquement, soit S une substitution opérée entre les lettres a, b, c, d,... qui n’altère pas cette forme, et supposons iju’ellc remplace a, b, c, d,... par a',

b', c', d' Si l’on fait coricspondre à la suite des sommets a, b, c, d,...

celle des sommets a', b', c', d' l’assemblage restera pareil à lui-méme.

•Vous obtenons donc le résultat suivant :

l,e problème de ta symétrie des assemblages de droites est identique à celui

UVKE DEIÎMEMK.

Ml

c/c ta symétrie des formes quadralitiues ne contenant que les recUtngles tles variables.

Nous reviendrons dans une autre occasion sur ce proldénie, considéré au point de vue géométri(|uc.

Le prolilcuie de la symétrie des polyèdres, dont nous nous sommes occupé ailleurs, peut aussi sc ramener, quoicjuc moins simplement, à une forme analyti<|uc.

Isomorphisme.

67. Un (troupe U est dit isomorphe à uu autre groupe G, si l'on peut élalilir entre leurs substitutions une correspondance telle : i" que eliaque substitution de G corresponde h une seule substitution de U, cl cbaque substitution de r à une ou plusieurs substitutions de G: a° que le produit de deux substitutions quelconques de G corresponde au produit de leurs correspondantes respectives.

L’isomorpbisme sera dit mériédriqiie, si plusieurs substitutions de G correspondent à une même substitution de U, holoédriqiie dans le cas contraire.

Supposons, pour fixer les idées, que G contienne m substitutions^

g„ correspondantes à une même substitution 7 du groupe U. Soient 7' une autre substitution quelconque de U, g' une substitution de G qui lui corresponde : gi' g' correspondra à 7“' 7', cl par suite chacune des m substitutions g', gtg, 'g' g„gï'g' correspondra à 7'. Cbaque substi-

tution de Payant ainsi m correspondantes dans G, l'ordre de P sera m fois moindre que celui de G.

Le groupe P contient la substitution 1 . Soient h,,..., h„ les substitutions correspondantes de G : elles forment un groupe auquel toutes les substitutions de G sont permutables. Car soient g l'uiie de ces dernières, 7 sa correspondante : g~'h,g a pour correspondante 7“' 17=1; elle appartient donc à la suite h,... h„.

Si m > I, le groupe (/i,,..., k„) ne peut sc réduire à la seule substitution I ; il sera d'ailleurs moindre que G, si l'on suppose que P ne se réduise pas à la seule substitution 1; donc G sera composé. D'où cette conclusion ; IjCs groupes composés ont seuls des isomorphes mériédriques (non exclusivement formés de la substitution 1).

68. l’ROBLèjii:. — Déterminer les groupes isomorphes à un groupe donné Çm.

Le problème se réduit à déterminer ceux de ces groupes qui sont transi-

iiKs suB.sTm:ri().vs. î.7

lifs. Kii elTet, soit 1' un groupe non tran.silif isomorphe à G : rcparlissons les IcUres de T en classes, en gronpanl ensemble celles que les subslilntions lie r permutent entre elles. Soient a, a,,..., h, h,,...,... les diverses classes ainsi oiilenues : chaque substitution de F est cvidemiuenl de la lurmc

A étant une certaine substitution cITcctuéc entre les lettres a, a, H une

substitution effectuée entre les lettres i, b,,..., etc. Soietit donc AH...,

A, B, les diverses substitutions de F: les diverses sub.stitutiuns .A,

.A,,... forment évidemment un groupe isomorphe à F. et par suite isomorphe il G; de même pour les substitutions It, B

Récipro(|uement, soient (.A, A,....), {B, B,,...),... des groii|ies transitifs i|uelcont|ues isomorphes à G: a, a b. b, les lettres qu’ils contiennent respectivement; g, g,,... les diverses substitutions de G; ,A, B

A,, B,, les substitutions qui leur correspondent respectivement dans

les groupes considérés, l.cs substitutions AB..., .A, B forment un

groupe non transitif entre les lettres a, a b, b, Iciiucl sera

évidemment .isomorphe à G.

69. Cherchons donc les groupes isomorphes à G et transitifs. Nous allons voir que leur détermination se ramène à celle des divers groupes contenus dans G.

Soient en effet x,x les lettres (|ue G permute entre elles; 11= (/i b„)

un groupe i|uelronqite contenu dans G. Les substitutions de G peuvent toutes être mises sous la forme g gfi’---’ gm étant des substitutions con-

venablement choisies, dont la première se réduit à l'unité et dont le nombre m est égal au rapport des ordres de G et de 11 (39).

Soient maintenant F, une fonction rationnelle quelconque de x, x

invariable par les substitutions H; F, ce qu'elle devient par la substitution s.

Les m fonctions F, Fj^seront transformées les unes dans les autres par

toute substitution de G. Kn effet, la substitution g^' transforme F,^, par exemple, en D'ailleurs g^b^'g^, appartenant à G, peut être mi.se

sous la forme h^' g<jr, et /i, n’altère pas la fonction F, : donc F,j^ sera tran.sforméc en = F^^„.

F.ha(|ue substitution de G, effectitée dans les fonctions F, équivaut

ainsi à une certaine substitution elïectuéc entre res fonctions. Ces dernières substitutions forment évidemment un groupe F, isomorphe à G. Ce nouveau groupe sera transitif, les substitutions g g^ permettant de transformer F, en l’une (|uelconi|ue des fonctions F F,__.

UVHK DEl XIKME.

70. Nous niions nionlr<T rroiproqupinpnt que loul groupe transilif, isumorplie à O, csl identique à l'un île ceux ijiie nous venons de former.

Soient en effet 0’ un seinbhihie groupe, entre les lettres j. .a' ; Il le

groupe formé par relies des substitutions île (’i qui eorrespondent dans G' k la substitution i; F une funetion de x, x invariable par les substitutions Il et variable par toute autre substitution; F, F les diverses trans-

formées de F |iar les substitutions G. D’apres le numéro préeédent, les sub-

slitutionsG, opérées dans F, F équivaudront à des substitutions opérées

entre ces fonctions; soit F le groupe transitif, isomorpbe k G. formé par ces dernières subrtitutions. Il sera évidemment isomorpbe k G", sans mériédric.

Posons d'autre part F' = a v a, v, -t-..., a, a,,... étant des constautes indéterminées. Soient F'. F',.... les transformées toutes distinctes de cette fonctiop parles substitutions G' ; les substitutions G’, opérées dans F', F',,... é(|uivaudront à des substitutions opérées entre ces fonctions; ces dernières substitutions forment un groupe I", transitif, et isoinorplie .sans inériédrie k G', et par suite k F.

(xla posé, nous allons établir i|ue les groupes F et F' sont identiques, .sauf la dénomination des quantités F, F et F', F' qu’ils permutent res-

pectivement.

71. Ivn preiniei' lieu, chacun de ces deux j^roupes jouit de la /iroprielé irmarqiialde que son ordre est égal à son degré. Fb) effet, le nombre ni des

quantités F, F est égal k l’onlre do G divisé par celui de H (09), et par

suite égal k l'ordre de G’ (07). Donc le degré de F est égal k l'ordre de G'; d’ailleurs son ordre est é'gal k l’ordre de G', ces deux groupes étant isoniorpbcs sans inériédrie. On voit de même (|uc le degré et l'ordre de F' sont tous les deux égaux k l’ordre de G'.

On cunelut de Ik chaque, substitution de F (sauf l’unité) déplace toutes les quantités F, F,,.... Car F étant transilif, .son ordre est égal au produit de son degré m par le nombre de celles de ses substitutions qui laissent immobile une de ses lettres, telle que F; mais cet ordre se réduit k m ; donc F ne contient qu’une substitution qui laisse F immobile, k savoir : l’unité.

/.e groupe F ne contient qu'une substitution qui renqdace F par une autre lettre donnée F,.(àir s’il en contenait deux, en les combinant ensemble, on en déduirait une troisième, différente de l’unité et qui laisserait F immobile.

Enfin, chaque substitution de F a ses cycles formés d'un même nombre de

DBS SI BSTITITIONS. Mt

lellrts. Car si dfux de scs cvelcs eonicnaicnl ri-spCclivemmt k et X 'iellrcs, k' élani < k. sa piilssiince k‘ laisserait 4les letires iintiiubilcs, sans sc réduire à l’unité.