I.c groupe F' jouit éviilemiiienl de.s inèiiies propriétés

“2. Cela posé, soient F„ Tuno (|ueleoni|ue des i|uaiitilés F, F ; y„ eelli’

à l’ordre prés, aux suivantes F', F' : et si une siilislitution (]uelcon(jue c?

appartenant à F fait succéder F^ii F„, sa correspondante d' dans I" fera succéder 9, à J,. Ko effet, F ne contient qu'une substitution (|ui fasse succéder Fp II F„; mais y^’y, jouit de cette propriété, ainsi (|ue d : donc tf = yj'y,,. d’où ^ y],-' y|, .substitution qui fait succéder à Donc les deux groupes F et F’ dwieudraient identiques par le simple cbangenient de en F.

73. Soit pour fixer les idées j = F' = a v 4- a, y, -t- Les quantités ç,

? sont toutes des fonctions linéaires de v, v Kéeiproqiicnient, v, v,....

pourront être exprimés en fonction linéaire de ç, ç, lîn effet, G' étant

transitif contient une substitution qui remplace y par V|,, (|uel que soit

l’inilice ui : donc, parmi les fonctions ç, ç il en existe une au moins de

la forme t((, ij/ étant une fonction linéaire de.r Soit

9'* cette fonction : 9,..., 9*“,... seront liées li v y^’--- par des équations

linéaires, dont le déterminant n’est pas nul tant que a, a resten^ arbi-

traires; cardans le cas où a,, seraient Iri’spctils, ce déteriflinank sc réduit sensiblement à une pui.s,saiicc de «. Ces équations peuvent donc être résolues par rapport aux v.

Soit donc j.-= /Î9 -t- jS, 9, . Les substitutions de G' opérées entre .les V équivalent aux siibslitiitions de F' opérées entre les 9. Réciproquement, si l'on fait subir aux 9 les substitutions de F', il est clair ijue.v.J

seront permutés entre eux de la même manière qu’ils le seraient par les substitutions de G'.

Soient maintenant z, z les fonctions formées avec F, F,,..., comme v

,v le sont avec 9, 9,....; opérons sur les lettres x, x les substitutions

de G. ce qui revient à opérer entre les F, F celles du groupe F, idcnti<|iie

à F': il est i-lair que s, s,.... seront permutés entre eux de la même manii-nt|ue le sont par les substitutions de G'.

Notre proposition se trouve ainsi établir.

fio UVRK DEÜXIÊVK.

7i. La notion de l'isn'inoipliismc peut être souvent utile, à cause tie la similitude de propriétés ijue présentent entre eux les {groupes isomorphes. Ainsi, par exemple, on voit sans peine (|uc deux grmipes isomor|ilies l'un de l'autre sans mériédrie sont en même temps simples ou composés, et ont les mêmes facteurs de composition.

On pourra donc dans beaucoup de cas remplacer la considération directe d'un groupe par celle de (|Uelqn’un de ses isomorphes. Parmi ces isomorphes. il en existe toujours tin transitif et dont l’ordre égale le degré (69-71). On voit par là qu’une étude approfondie des groupes de celte sorte aurait une grande importance.

lies groupes transitifs dont l’ ordre égale le degré.

75. TilKonèviK. — /.es groupes transitifs dont l'ordre égale, le degré sont conjoints deux à deux, de telle sorte ijue. chacun d’eux soit formé par l'ensemble des substitutions échangeables à celles de son conjoint.

Soient en effet G l'un de ces groupes, .4 l’une des substitutions de G, {aa'... a""') l'un des cycles de .4. Parmi les substitutions de G, une seule. B,

fait succéder h a une autre lettre donnée ^'(71). Soient b' lé”~' les lettres

(|ue B fait respectivement succéder à a' Si b n'apparlieni pas à la

suite a, a' a""', aucune des lettres b' b°'~' ne lui a|)partieiidra. Or

si l'on avait li' = a^, G contiendrait deux substitutions distinctes, B et .4*’"”. qui remplacent par a*', résultat absurde (71).

S’il*cxàslc quelque autre lettre c qui ne fasse partie d’aucune des deux suites a, a',..., a"''; b, b',..., b'"~', G contiendra une seule subslilulion G (|ui remplace a par c; cl les lettres c.c',..., c"-', par lesquelles C remplace

a, a' a"‘~‘, .seront toutes distinctes des précédentes : cqr si l’on avait

c' = h* par exemple, G contiendrait deux substitutions distinctes, G et ^ .V^'B. (|ui remplacent a" par b't-, résultat absurde (71).

Gontinuanl ainsi, on voit que les lettres se répartissent toutes en systèmes a, a' a'""'; b, b',...j lé”-'; c, d c""';... contenant chacun m lettres.

Soient maintenant S une substitution de G; c’ la lettre que S fait succéder

à une autre lettre donnée b^ : S remplacera h''*', b''’*^ /<•*■' parc”'*^*,

En elTet, les deux substitutions S et remplaçant l’une et l’autre

b>' parc”, sont nécessairement identiques (71). Or B ' remplace b>'-'^ par que remplace par que C remplace par

DES SUBSTITUTIONS. ' lil

U-la posé, la substitution tr = ( W/6". ..) (cc'c".. .)... est cchan-

f>eable à toutes les siibstitutions de 0. Car <rS el Sç rcmplarenl foules deux par la même lettre c’*'. et la lettre b*^ est i(uelromiiie.

Si l’on prend successivement pour point de départ, à la place du cycle [aa'à'...), les divers cycles des diverses sulislilnlions de G, on formera un ensemble de substitutions 5, a',..., échangeables à celles de lî. Les .substitutions dérivées do celles-là forment un groupe P, dont cbaque substitution (sauf l’unité) déplace toutes les lettres. Car si l’une de ecs substitutions laissait a immobile, en déplaçant quelque autre lettre b, il est clair qu’elle ne pourrait être échangeable à celle des substitutions de G qui remplace ti par b. D’autre part, si k est une lettre <|uelcon(|ue, il existe parmi les substitutions G un cycle où a succède à k. Ce cycle se retrouve dans une des substitutions de P : ce groupe est donc transitif.

D’autre part, toute substitution échangeable à celles de G fera partie de P. C.ar soit I’ une semblable substitution, lai|uelle remplace, par exemple, a par a' : elle se confondra avec a. Car soit (J la substitution de G qui contient le cycle aa'à'..., et soit k la lettre par laquelle P remplace a' : PQ remplace a par QP la remplace par k : donc k = a". On verra de même que P remplace a" par a”, etc. : donc P contient le cycle na'a"....

Mais G renferme en outre une substitution R i|ui remplace a, a', a",... par b, b', b" Si P remplace b par ,r, RP remplacera a par x; PR le rem-

place par b' : donc b' — de même P remplacera b’ par b", etc. : donc elle contiendra le cycle bb'b’...-, île même pour le cycle cc'c"..., etc. : donc P se réduit à a.

§ VI. — Du CnOl'PE VLTKRNÉ.

76. Une substitution qui consiste à intervertir deux lettres se nomme transposition.

L’nc substitution circulaire entre p lettres a, b, c,... e.st évidemment le produit des p — i transpositions [ab), (oc),... Donc une substitution quelconque entre k lettres et contenant n cycles sera le produit de k — n trans/sositions siuxessives. ’

n- 'Théorème. — Soient S, T deux substitutions qui soient respectivement le produit de a et de p transpositions. Ix nombre des transpositions successives dont le produit donne ST sera pair ou impair, suivant que a -l- /3 sera lui-mfme pair ou impair.

lii ' UVRK HEIXIÈME.

l'iir siibstiliition (|iielc'oru|UC élaijJ un produit de traiisposilioiiü, il sullira évideiiimeni trélablir celte prupusitimi (piand T est uiit Iransposiliun, aiiipiel cas /S = I .

Or soit pour fixer les idées S = {ahcde){fg). Si T transpose deux lettres apparlcnsinl à un même cycle, telles que a et c, on aura

sulistilution qui contient un cycle de plus que S et ipii, par suite, sera le produit de a i transpositions. Si au contraire T transpose deux lettres a, f appartenant à des cycles différents, ST =; {ul/cdefg) ciwilient un cycle de moins que S, et sera le produit de a h- i transpositions. Dans l’un et l’autre cas, le numhrc des transpositions dont le produit donne ST sera congru à a -4- I (mod. a,.

78. latnoi.i. «IRE. — Soit H un groupe ifuelcunc/uc ; celles de ses substitutions qui résultent if un nombre pair de transiiosilions forment un groupe H. r.ar le produit de deux quelconques d'entre elles, résultant d’un numiire pair de transpositions et faisant partie de G, fera lui-inéuie partie de H.

Si 11 ne contient pas la totalité des substitutions </e G, i7 en contient h moitié; de plus, il est permutable aux substitutions de G. Car soient S,, Sj,... les substitutions de II, en nombre N; T une substitution de G résultant d’un nombre

impair de transpositions. Les a.N substitutions de la suite S,, S, TS,.

TS„... sont évidemment distinctes. D’autre |iart, une substitution quelconque de G, telle que L', fait [lartie de cette suite. Car si G résulte d’un nombre pair de transpositions, elle fera partie de la suite S,, S,,...: et si elle résulte d’un nombre impair de transpositions, T-' U , i|ui résulte d’un nombre pair de transpositions, en fera partie : l' fera donc partie de la suite TS.,TS,

Kulin G est permutable à II : car, soient respectivement a, j5, y les nombres de transpositions desquelles résultent U, S,, r~'S, L, on aura (77)

■/ = — a-*-3-i-a (inod. 3).

Donc, étant pair, y le sera également. Donc G appartient à H. De

même pour G"'S, U

70. Si l’on prend pour G le groupe formé par toutes les substilùlions possibles, on aura les résultats suivants :

/,« substitutions qui résultent il' un nombre pair de transpositions forment

ÜKS SUBSTITUTIONS Cil

un gnuipe, contenant la moitié des substitutions possibles et pennutoble à toute substitution.

Ce groupe se nunimc le groupe alterné; les fonctions qu’il laisse iuvariahlcs soni dites alternées. La [dus simple d'entre elles est le produit des différences des lellres a, b, c

Tout groupe qui contient le groupe alterné se confond avec lui ou renferme toutes les substitutions possibles. Car, s’il est plus général que le groupe alterné, son ordre i-st un multiple de l’ordre N' de ce dernier groupe : il ne peut donc être inférieur à aX.

80. Toute sulKStitution circulaire entre trois letlre.s liiil partie du groupe alterné, par définition. Réciproquement, toute substitution du groupe alterné est un produit de substitutions circulaires entre trois lettres. Car la suhstitulion S, = {abcd) (ef), par exemple, s’obtient en exécutant la substitution circulaire {abc), puis la substitution {ad]{cf), lai|uclle est elle-même le produit de.s deux substitutions circulaires (o</e) et {eaf).

SI. .Si le nombre k des lettres est supérieur à ,'|, tout groupe auepiel toute substitution est permutable contient le groupe alterné. Car soient F un grou|ie auquel toute substitution soit permutable: S une de ses substitutions : chacune des substitutions semblables <i S, étant la transfurmée de S par une certaine substitution, appartiendra à K. X'ous allons en conclure (pic F contient le groupe alterné.

En effet, supposons en premier lieu que, parmi les cycles de S, il en existe un contenant plus de deux lettres. Soit, par exemple, S = {abc...d) (e/...).... Soient a, /3, â trois lettres quelconques; 7, s, ç,... les autres ; les substitutions S, = {aPf...d) {cŸ-..},,. et S, = {fia’/. ..d)(if seinblables à S, faisant partie de F, SjSr' en fera également partie: mais celte substitution se réduit à la substitution circulaire {afidj entre les trois lettres arbitraires 5t, j2, (?. Donc T contient t^tes les substitutions circulaires entre trois lettres et toute substitution dérivée de celles-là : donc il contient le groupe alterne.

Si tous les cycles de S, {ab), {cd), {e/),... contiennent au plus deux lettres, soient a, j3, 7, tf quatre lettres arbitraires; e, y,... les autres: F contiendra les deux substitutions S, = (a|3) (7^) (ci?)..., Sj = («7) {/3dj (eç)..., et par suite 2 = S, S, = {ad){^’/). Si ^ > t\, soit Ç une lettre arbitraire autre que «, 7, ù : F contiendra la substitution S,, = (a^) {fi-/}, semblable à 1,

et par suite la substitution = dans laquelle a, d, Ç sont trois lettres

(il LIVRE DEUXIÈME.

(Ultcruntcs qucli’Onqucs; car le choix de Ç n'est pas limité par la condition d’être diflérenl des lettres arhilraires jS et 7. Donc, dans ce cas encore, F contiendra le groupe alterné.

Hcman/tte. — Si t = 4. la proposition ci-dessus se trouve en défaut; car on vérifie aisément que le groupe d'ordre .'j dérivé de la substitution S = (ab) [cd] et de ses transformées est permutable à toute substitution.

Théorèmes divers.

82. Théorème. — 5< un groupe G, n fois transitif, ne contient pas le groupe alterne, chacune de ses substitutions (sauf l'unité) déplacera plus de n lettres.

En effet, supposons que G renferme une substitution S qui ne déplace pas plus de n lettres; il renfermera une substitution T remplaçant ces n lettres par n autres lettres quelconques; il renfermera donc T"' ST, laquelle est l'une i|ueleonque des substitutions semblables à S. Il contient donc le groupe alterné (81).

De ce tbéorêiiic, dû a M. Mathieu, on déduit la proposition plus générale que voici :

83. Théorème. — iÿ un groupe G. n fois transitif, ne contient pas le groupe alterne, chacune de. ses substitutions (sauf l’unité) déplacera plus de m — .4 lettres.

Soit, en effet, S = (aûc...) {def...) (^...) une substitution' de G, laquelle

déplace 7 lettres, 7 étant par hypothèse < 2/1 — 3. Soient a, b, c

d, e, f, les n premières lettres de S, ç une lettre <|uelconquc que S ne déplace pas. Le groupe G, étant n fois transitif, contient une substitution T qui ne déplace pas a, b, c,..., d, e et qui remplace f par ç. Soient 7,... les lettres par lesquelles elle remplace g,... : G Wntiendra la substitution T"'ST - <abc...)(de<f et celle-ci T~'ST.S, qui ne su réduit pas à

l’unité, car elle déplace ç, et qui ne déplace que les lettres e, y,..., 7

/,..., g,..., dont le nombre 27 — an -»- 3 = 7' est inférieur à 7.

De cette subi^titution on en déduirait une autre contenant 7" lettres. 7" étant < 7', etc., et l’on finirait par obtenir une substitution ne déplaçant que n lettres au plus. Donc G contiendra le groupe alterné (82).

CoROLt. VIRE I . — /. ordre d un groupe G de degré k, n fois transitif et ne

DES SUnSTITmONS

fontcnant pas !c f’roupe alterné, divise étant le plus (’rand des

nombres n ou an —

En effet, soit H le groupe formé par toutes les substitutions possibles entre m lettres; G et H n’ayant aucune substitution semblable, le produit de leurs ordres divisé i,a...X- (40). Mais l’ordre de 11 est égal h i .a.. ..ni. c. q. f. i>.

I^OB<it,i.viRE 11. — t'n ffroupe G de degré k, et ne contenant pas le grou/ie

alterné, ne peut être plus de q fois transitif, q étant le plus petit des deu.i

, k + k k nombres — -, — * — ■

Car, s’il est n fois transitif, son ordre est (ii) un multiple de

.Mais il divise

• Donc

i.a...X- doit être divisible par

ee qui est absurde, si m — n, d’où n )> — ou > suivant qu’on aura ni = n ou m = an —

La proposition ci-dessus est intéressante, en ce qu’elle. établit une séparation bien trancliée entre le groupe alterné et les autres groupes, le premier étant k — i fois transitif, tandis que les autres le sont beaucoup moins de fois.

La limite q, que nous venons d’établir pour le degré de transitivité de CCS derniers groupes, est d’ailleurs beaucoup trop élevée dés que k devient un peu grand. Nous en indiquerons de plus rapprochées au § VIII.

84. Thfohksie. — Un groiqie G, permutable aux substitutions d'un groupe n fois transitif H, est au moins n — i fois transitif.

Soit, on effet, S = (aie...) [def. l’une îles substitutions de G. Soient, ■

pour fixer les idées, a, b, c d, e, f les n premières lettres qui entrent

dans son expression : H, étant n fois transitif, contient une substitution T qui laisse immobiles a, b, c,..., d, e, et remplace / par une autre lettre arbitraire p-, G contient la substitution T“'ST = [abc... )[dep.. et la suivante S"'T"* ST = U, laquelle laisse immobiles les « — a lettres a, b, c,..., e et remplace / par p. Soit IJ = [fp. ..)... : Il renferme une substitution V

IIU LIVRE DEUXIEME,

qui remplace les n lettres a, h, t, f, p par n lettres arbitraires

«. (3. f, n; G contiendra V“'UV, qui laisse immobiles n — 2 lettres

arbitraires a. (i, y,..., « et remplace ç par une autre lettre arbitraire n.

Il est maintenant évident que G est transitif; car il contient une substitution qui remplace ç par la lettre n, laquelle est absolument quelconque: car elle n'est nullement déterminée par la condition de difl'ércr des lettres arbitraires «, p, y,..., t. De même, le groupe formé par celles des substitutions de G qui iic déplacent pas « sera transitif; car il contient une subslilution qui ne déplace pas a, et remplace 9 par n, n étant une lettre quelconque autre que a. Done G est au moins deux fois transitif, etc. Doue, enlin, G est au moins n — 1 fois transitif.