x>Roi.L*iRE. — Le groupe alterné est simple, si k
En effet, il est k — i fois transitif. S’il contenait un groupe (i non alterné auquel ses substitutions fussent permutables, ce groupe serait k — 1 fois transitif; mais il ne peut l'étrc plus de q fois (8.1), ce qui implique contradiction si k >
Si 4. on a vu (81) que le groupe dérivé des transformées de {ab)[c<l) est permutable à toutes les substitutions possibles; il le sera à fortiori à celles du groupe alterné.
86. Vn groujte K qui ne contient pas le groupe alterné contient au plus le tiers des substitutions /Htssibles. Car .soient S. S,,... .ses substitutions en nombre N, T une substitution circulaire entre trois lettres, qu'il ne contienne pas [s’il les contenait toutes, il contiendrait le groupe alterné (80)J. Les 1,\ suie-
stitutions S, S TS. ÏS T’S, T'S sont toutes distinctes; car, si
l’on avait, par exemple, T“S = S, , on eu déduirait T = (T’)’ = (S, S~')*, et T appartiendrait h K, contre l’bvpotbè.se.
87. TnÊoBtME. — Si une fonction F de k lettres a, b, c,..., I, m,... est transitive; si, de plus, considérée comme fonction des k' lettres a, b, c,..., elle est
symétrique ou alternée, k' étant >• elle sera nécessairement symétrique ou
alternée par rapport aux k lettres a, b, c,..., l, m,
En ell'el, F étant transitive, son groupe G contient une substitution S qui fait succéder / à a; elle fera succéder à a, 5, c,... des lettres I, x, V,..., dont le nombre k’ sera supérieur à celui dep lettres /, m,.... Donc
l'une au moins des lettres x, y,... appartient à la suite a, b, c Soit, par
exemple, a: = c : F sera symétrique ou alternée par rapport à a, b, c /.
ÜfiS Sl’lBTtTCTlOXS. ^ I T
Car file l’est par. rapport k a, b, c,...x donc G cun lient la siihsliuilioii T = (abc), et sa transformée U = S"'TS = (fcy)- Cela posé, si v ne fait pas
partie lie la suite a, b, c soient a, fi deux lettres quelconques de celle
suite: G contient la substitution \ = {«fie), et. par suite, les substitutions W = V“'UV = (/a y), \V, = V“’UV’ = qui, combinées entre elles et
avec U, donnent les suivantes : \lc«), {Ic^), (iafi)- Donc G contient toutes les . substitutions circulaires ternaires entre a, b, c,..., l. La même conséquence subsiste, si v fait partie de Ja suite a, b, c,...; car, soit, dans ce cas, a une lettre quelconque de cette suite autre que c et .v, G renrerine la substitu* lion V = {cya), cl la suivante, V-'LV = ((v«). De mémo, fi étant une autre lettre de cette suite, il renfermera la substitution {f«fi)-
Donc G est alterné par rapport à a, b, c /. On voit de même qu'il est
alterné par rapport à a, b, c,..., /, ai; etc.
§ VII. — Tiikohfmks de mm. Bertrand et Sehbet.
88. l.e problème de déterminer les nombres minima de valeurs que puisse prendre une fonction de i lettres, lorsqu'on y permute ces lettres, offre un grand intérêt historique. M. Bertrand a donne à ce sujet, vers i845. deux tlicoremes importants, démontrés depuis de divcr.ses manières par Caïucby cl par M. Secret. En voici l'énoncé :
i“ Toute fonction de k lettres a au moins k valeurs distinctes, si elle n'est ni symétrique ni alternée;
a" Toute fonction de k lettres qui a k valeurs distinctes est symétrique par rapi>ort à k — i lettres.
Cli.acun de ces Ibéorèmcs présente une exception : i“ Si A = 4< les fonctions dont le groupe dérive des substitutions {ab). {rd], {ac){bd), telles que la fonction al> + rd, ne sont ni symétriques ni alternées, et ont trois valeurs distinctes.
Si i = G, les fonctions dont le groupe dérive des deux substitutions, {abedj, {becd){cdef), telles que celle-ci
{ab + cJ ef){nc -r be +• fd){nd + hj -I- ce){ae -I- bd -+ fc){nf -i- bc^ ed],
non symétriques par rapport k cinq lettres, ont six valeurs distinctes.
M. Bertrand a encore démontré le théorème suivant :
3" Une fonction de k lettres qui a plus de k valeurs en a au moins «k, si X > 7.
IM
