I.IVKF. DKIXIKMK

-Xiiiiui'l .M.Strrel a ajouU' lesuivaal :

'i“ l'ne fonction tic k'iettrcs qui a plus de ik valeurs en a au moins ^ ,

(à‘.s (livprs tliéori*nios sont îles cas particuliers ilu suivant, que nous allons étalilir.

l'iiKuiièMe. — Soit n un entier constant quelconque : les fonctions de. k lettres, symétriques ou alternées par rapport à k — n de ces lettres, auront moins de valeurs distinctes que celles qui ne jouissent pas de cette propriété.

Cette proposition sera parfois en défaut pour les petites valeurs de X; mais on jiotirra toujours assif^ner à k une limite au delà de laquelle elle sera nécessairement vraie. ,

8'J. En elTct, supposons que X soit un faraud nunibre. L'ordre du grou|H' d’une l'onction K symétrique ou alternée par rapport à k—n lettres est

divisible [lar ' ~ (3!t) : le nombre des valeurs distinctes de relie

Conelion est donc un diviseur de aX(X — i)...(X — /i + i).

!I0. Considérons maintenant une autre Ibnetion quelconque ,f. Si elle n’est pas transitive par rapport à X — n lettres, le nombre de ses valeurs

sera égal à **■'*'* respectivement les ordres de groupes

Iransilirs entre «, a', a",... lettres, chacun des nombres a, étant

< X — n, et leur somme étant égale à X (H et 60). Le nombre de valeurs

eberclié est donc un multinle de — - — , , exnression

qui atteint évidemment son minimum lorsque les nombres «, a', a",... se rédniseni à doux, égaux, l’un à X — « — i, l’autre à /i + i; ce minimum

sera ' —, - — -r — S et sera sunerieur a aXiX — i ). . ,(X — « i-i), si

I • J . . . ( Il I ) c ' IV I '

• l’on a X — n > a. 1 .2...(/i ^ i).

!•!. Supposons, au contraire, que la fonction d soit trausiiive par rapport à X — V lettres a, h, c v étant au plus égal à n : chacune des siib-

.stitulious de son grou|ic U sera le produit de deux autres, dont l’une A permute entre elles les lettres a, h, c,..., l’autre B permutant entre elles

les V lettres restantes r/, e Soient .\B, ces substitutions. L’ordre

de<; est égal au produit de ■'*11, ordre du groupe f.\, .V,...) par .K-, ordre du

DES SL'BSTITITIONS. lil»

groupe parliel formé par ceUes des substitiilion.s de (j i|iii ne déplaeeiii pas fl, X. est un diviseur de j.a...v, et, quant au groupe (A, A',...},

il est impossible qu’il contienne le groupe H, alterné par nipport à «, h, c Ko elTet, si cela avait lieu, le nombre des substitutions dislinetes A,

A',... du groupe H étant égal ;i et supérieur il celui des siib-

slitiilions distinctes R, D',... (lequel est, au maximum, égal à la limite finie 1.Q...V), G contiendrait au moins deux substitutions AB, A'B', dans lesquelles on aurait B = B', A et A' étant deux substitutions différentes du groupe H : G contiendrait A'B'( AB)“' = A'A”', ainsi que ses transfuriuées par les substitutions AB, A'B' oD, ce (|ui revient^u même, par les sub-

stitutions A, A',.... Mais A'A~‘ et scs transformées appartiennent à II, et le groupe I (|ui en dérive est évidemment permutable aux substitutions de II ; donc il se confond avec II, ce groupe étant simple (8,â). Uonc G contiendrait le groupe H, et .f serait alternée par rapport à a, b, c,..., contrairement à riivpotlii-se.

I,e nombre des valeurs de .f sera donc un multiple de

ntl . I . a ... V I . î . . . y •'rc ’

ail — étant le nombre de valeurs d'une certaine fonction transitive

de k — y lettres, laquelle ne soit ni symétrique ni alternée. Désignons ce nombre par >f{k — v) : .f aura plus de valeurs (|ue F si l'on a

!t‘2. ('.berebons donc une limite inférieure à ce nombre ç)(A- — v). Supposons que la fonction dont f{k — v) représente le nombre de valeurs, soit fl fois transitive. Si fi est d'un ordre de grandeur coinparablc à k, varie par toute substitution qui déplace moins de afi — 'i lettres (S.'l); elle a donc au moins i .a...{ jfi — /]) valeurs distinctes, nombre évidemment supérieur à i .2...v.a(A — v)...(X- — « -i- i) lorsque X- et fi .sont tous les deux de grands nombres, ayant entre eux un rapport fini.

Supposons, au contraire, que fi soit très-petit par rapport à k'. L’ordre du groupe de“f, est égal à (X — v) (X — v — i )...{X — v — fi -f- i}fl, ü étant l’ordre du groupe F formé par celles de scs substitutions qui lai.ssent immobiles ;i lettres, lequel groupe est iniransilif par rapport aux X — v — fi

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UVRE DELXltilE.

Icili'i's rfs(aiitcs. l.e nonil)ro îles valeurs ilisliiieles de -i, sera donc