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•Or les /• — V — fl lellres du (;ru(i|ie T se partagent en systèmes tels, i|uc eliaque substitution de T permute entre elles les lettres d'un niêiiie système. Soient respectivement a. «j,... les nombres de lettres de
ebaijue systi'ine : Û divise Soit a le plus grand
des nombres a, a,, deux cas pourront se présenter :
I" Si a, -r- «J -f- . . . n — v, le nombre de valeurs distinctes de
est un multiide de — ^ , nombre dont le minimum
.s’obtient évidemment en posant a, = n — v -t- i , «j = o Ce minimum est
égal à — ~ ~ • -1^ ~ nombre supérieur ii
X et ^ étant très-grands, par hypothèse.
a” Si a, T- a, — 2, û est égal à .M.M'SI'.., ( H), M étant l'ordre du
groupe partiel T, (’ormé par les déplacements ijuc les substitutions de F font subir aux a lettres du premier système, M' celui du groupe partiel formé par les déplaeements <|ue celles des substitutions de F qui ne déplacent pas les lettres du premier système font subir à celles du second, etc. Le produit .MM... est au plus égal à i . a...a, . i . a... aj.... l.e nombre des valeurs distinctes de i, sera donc au moins égal à
en posant, pour abréger, X — v — fi — a, — Bj — ...= X'.
Le groupe F, ne peut contenir toutes les substitutions \. du
groupe IF, alterné par rapport aux lettres du premier système; car, s’il en était ain.si, soient .\B, les substitutions correspondantes de F;
B, B', .. étant les déplaeements que ces substitutions font subir aux autres lettres, l.e nombre des substitutions distinctes A, A',... serait égal à I 2. X'
— 1 nombre très-grand et supérieur à celui îles substituions distinctes
B, B',..., lequel ne peut dépasser la limite finie i .2...a,. i .a...a].... Donc à deux substitutions distinctes de la suite .\, A',... répondrait nécessaire-
DES SLBSTITUTIONS
iDL'ilt une iiiêinc subslitiitiuii de la suite B, K' Supposons, par exemple,
(ju’on eut B = B' : P contiendrait la substitution A'B'(AB)~' = A'A“‘, lai|uelle ne déplace que les k lettres du premier système. Il contiendrait ses transformées par AB, A'B',... (ou, ce qui revient au même, par A, A'....), et les dérivées de ces transformées, lesquelles jouissent évidemment de la ifiéme propriété. Mais ces dérivées reproduisent tout le groupe (A, A'....), ce groupe étant simple (85). Donc .f, serait alternée ou symétrique par rapport aux k' lettres du premier système.
Cela est impossible: car, k étant plus grand que serait alternée
un symétrique (87), ce (|ui n’est pas, par hypothèse.
!)3. Supposons maintenant que P, soit p.' fois transitif. Si pt' est cüiiqiarablc à X-, ‘ sera au moins égal à i.a...(api' — .'4), et le nomhre des
valeurs distinctes de •'f, sera évidemment supérieur k i .a...v.a(X — v)...(X — n 01).
Suit, au contraire, p:' très- petit par rapport à k : M sera égal k k' {k' — 1)... (X-' — pi' -t- i)Q', û' étant l’ordre du groupe intrausitif P' formé par celles des substitutions de P, qui laissent immobiles pi' lettres données. Les X-' — pi’ lettres restantes se partagent en systèmes, contenant respectivement ot . lettres, et tels, que chaque substitution de P’ permute
entre elles les lettres d’un mérac système. Soit a' le plus grand des nombres a', a',,...
1“ Si a', -t- > n — V — a, — a, — .... le nombre des valeurs de
est un multiple de i.a... X — ~ -jJ* nombre dont
le minimum
(correspondant k l’hypothèse a', = «— v — a,— a’j = o,...) sera
supérieur à i . a... v.a (X- — v)...(X — n -h 1), X, -1 ^ étant très-grands, par hypothè.se.
a" Si, au contraire, a, + a'^ + ,..^n — v — a, — a, le nombre de
valeurs de .f, sera
iX — V — p|. . .fX' -t- 1) (X' — «') ..iX'-t-i) I.2-. X'
1 .2. . . a, . 1 .2. . . a,. . . 1 . 2 . . .'a'i I . 2. . . aj .. N ’
