LIVRE DEUXIÈME
en posnnt, pour abréger, A'— a, — a, — .... cl N étant l'ordre d’un grou|ie T, de subsiitutions onlre A" lellrcs, lequel ne conliennc pas le groupe alterné.
0-i. Supposons ce nouveau groupe it" fois transitif. En répétant les mêmes raisonnements que tout à riieurc, on élabUra le théorème énoncé : i“ si ià“ est comparable h A; a® si pt' n’étant pas comparable à A, l'* étant le groupe formé par celles des substitutions de T, (|ui laissent immobiles jx“ lettres données, les lettres restantes se partageant en systèmes qui contiennent resperlivemcul a", , aj .... lettres, et a" étant le plus grand des nombres a",
a] , a' ..... on a
Poursuivant ainsi, on arrivera nécessairement à démontrer la proposition dans tous les cas : car chacune des quantités a + a, -h .... a'-h a', + ,
a"-h a’ -H est au moins égale à i, et chacune des quantités n — v.
n — y — a, — a, — .... n — v — a, — a, — ... — o', — a', — ....... sera moindre
(|ue celle qui la précède. Si donc, quelque loin qu’on prolongeât les opérations, ces i|uaniitég étaient constamment égales ou supérieures aux précé- . dénies, on aurait une intinilé de nombres positifs décroissants et inférieurs .à n — y, ce qui est absurde.
fis. On trouvera aisément, dans chaque cas particulier, une limite île A à partir de lai|uclle le théorème devient vrai. Supposons, par exemple, qu’il s’agisse des trois théorèmes de M. Bertrand. Le nombre des valeurs d’une
fonction intransitivc de A lettres est égal à jj.;' — (ü), M, M', M ',,.. étant
des diviseurs de 1.2. ..a, i.a...a', 1.2... a",..., cl a 4- a'-t- a'-t-... étant égal il A. Le minimum de cette expression est évidemment égal à A et s’obtient en posant « = A — 1 , a‘= 1, ot"=...= o, et .M = 1.2. ..a, ce qui est le cas des fonctions syraélriques par rapport à A — 1 lettres. Son second
minimum est égal â 2A ou à AIA.TJJ. gj 5, ce second minimum sera
ik et correspondra aux fonctions alternées par rapport à A — i lettres.
Considérons maintenant une fonction fx fois transitive : l’ordre de sou groupe H est égal à A(A — i)...(A — pi -H i)N, N étant l’ordre du groupe inlransitif G formé par celles de ses substitutions qui ne déplacent que A — a lettres données. Soient a l’une de ces lettres, a, les lettres en nombre a que les substitutions de G permutent avec elle; on aura N = M.N”,
DES SCBSTITVTIONS. Tt
M éluiil l’ordre d’un groupe transitif entre les a lettres a, a et N' l’or-
dre lin groupe G' formé par relies des sulislilutions de G qui laissent imnin-
lûles (I, a ( 14). Soient de inéiiie h une autre lettre quelronquc, />, f>
les lettres en nombre «' que les substitutions de G' perunitenl avec elle: on aura N'= M'X", M’ étant l’ordre d’un groupe transitif entre les a' lettres I/, h,,..., et N” l’ordre du groupe G' formé par celles des substitutions de (i qui ne déplacent pas ces lettres, etc. On aura donc eoliu .\ = MM'M"..., et f’
aura ^ valeurs.
f)r considérons le groupe I obtenu en combinant toutes les substitutions possibles entre les lettres a, fl,,... avec toutes les substitutions possibles
entre les lettres etc.; il contient évideimneni G. IVautre part, soient «
la plus grande des quantités «, a',... et /i le plus petit des nombres a et pr. I.e groupe 1 contient le groupe K formé par toutes les substitutions possibles entre ^ lettres prises ’a volonté tians la suite fl, fl,,...; mais G. ne contenant aucune substitution qui ne déplace que pr lettres (82), n’a aucune substitution semblable à celles île K. Donc l’ordre de I, i . a...a. i . a...a'.. est divisible par le produit i 2.../S .N des ordres de G et de K (40). l.e nombre
des valeurs de .f, sera donc un muliiiilc de - ^ — 1.2... fi.
D'autre part, il est un multiple de i.a...pi (8.3). Enfin fi est au plus égal ai (83).
!l(>. Discutons ces résullals, en suppo.sant d'abord A>4-
1" Si a = I , le nombre des valeurs de -f, sera un multiple de 1 .3... (X — a.) : ce nombre, supérieur à aX- si X- > 6, le sera à X- si X = 6, à moins qu’on n’ait pi = 3, ce i|ui donnera le cas d’exception signalé plus haut. Il est supérieur à X- si X- = 5.
2“ Si * = 2, chacun des nombres a, a',... sera égal à 1 ou à 2, et le nombre de ceux qui sont égaux à 2 est au plus égal au quotient p de X- — pi par 2.
Le nombre de valeurs de ,i, sera donc au moins égal à ' ^ ' .2.
ainsi qu’à i.2...pi. Or si X- > 7 et si l’on choisit pi de telle sorte i|ue la seconde limite ne dépasse pas 2k, la première le dépassera évidemment; si au contraire X-j7, l’une des deux limites ci-dessus sera supérieure à X-, sauf le tas où l’on aurait X- = 6 et pi= 3. Mais cette hypothèse est absurde; car si H est trois fois transitif, il ne contient aucune substitution qui tlépLace moins de quatre lettres (82); donc a, a',... se réduisent à l’unité.
4“ Si l'on a à la fois a > 3 = X- — pi ~ i et pi 3, X' = pi - a -t- a' ■> . . .
7 J UVRF. OFÜXifcME.
sera au moins égal à ;ji -4- 3, et le nombre «les valeurs de sera
'I élant l'ortlrc du groupe J formé par celles des subslilulions de H «|ui ne lii'placent «|ue>l — a — i lellres a, a,,..., en laissani les autres immobiles.
Or soient d, e deuv autres lettres «lueleonqucs; i,, considérée comme
rouelion de a, a d, c est simplement transitive, par hypothèse. Donc
elle n’est pas symélri«|ue ou alternée par rapport à a, a ; car si cela
avait lieu, elle le serait par rapport à a, o d, e (S7). Donc
~ •- ^^5 1 (8t>), et le nombre de valeurs de .t, est au moins égal
;i t{X- — a), nombre toujours supérieur à k, et supérieur à ik si k >
V Si l'on a « > a < X- — ja — i et fx < '}, d, aura au moins
} ~~ i.a... (3 valeurs, nombre toujours su|)érieur à k. et sup«'-
rienr à aX si X > 7.
■>" Soit enfin a > a et ^ > a, «l’où (S > a : -f, auia au moins (X — U.) i.a... valeurs, nombre supérieur à aX.
!>7. Nous avons supposé dans notre démonstration X > 4 X était égal à i ou plus petit, on construirait très-facilement le tableau des divers groupes possibles, et l'on achèverait ainsi de vérifier que le premier théorème est vrai, sauf rcxceplion signalée pour X = /(. et que le second l'irst «•gaiement, saul pour X = 6, où nous avons trouvé «|u’il peut exister des fonctions trois fois transitives n’ayant que six valeurs.
Le groupe «le ces fonctions ne contient aucune substitution déplaçant moins «le «juatre lettres ' 82), et peut se construire par tâtonnement san.s aucune difficulté. Nous ne nous y arrêterons pas, d’autant plus que nous retrouverons ce groupe plus loin.
il8. Démontrons encore que si X > 1 2, toute fonction .7 qui n'est ni symétrique ni alternée par ra/qnirl à k — 2 lettres a plus de X(X — 1) râleurs, ftà-t énoncé contient le théorème de .M. Serret.)
.Si i est intransitive, lesX lettres se |>ariagenten systèmes au,..., ùb,. ......
« ontenant respectivement a, a ,... lettres, en gi'oupanl ensemble celles <|ue l«'.s sulxslitutions de G, groupe de permutent entre elles.
Soit « le plüs grand des nombres a, a',...; les substitutions de G seront «le la forme .\H, .A' IL,..., .\, élant h‘s «léplacemenls «|u’elles font
subir il a, a R. B'.... ceux qu’elles fonl subir iiux aiilres lettres. Si
a“X" — 2, le groupe (.V, ne peut eoulenir le groupe I alterné par
rapporl à a, a,,...: ear, si cela avait lieu, les substitutions A',... étant plus nombreuses que ne peuvent l'étrc les siibsiiiiitions ilislineles de la
lurinc B, B' G contiendrait deux substitutions disiineles telles que .\B,
-V'B', où l'on aurait B= B'; il enntiendrait .\’ B'{.\Bj“‘ = .\'A“', dont les transformées par AB, .\'B' reproduiraient tout le groupe 1 fcc groupe étant simple (85)]. Donc G contiendrait I, et ■’f serait alternée (ou symétrique par rapport à X- — a lettres, contic l’iiyputhése.
Cela posé, et le groupe (A, A',...) étant d’ailleurs transitif, son ordre .M
est inférieur à ' (9.5-97) : et Te nombre des valeurs de -T, qui est un
multiple de — â' — *'*^*’’* ô ^(^' — ')•
Soit au contraire a<^k — a. Le nombre de valeurs de .T est un multiple
(le - , > nombre au moins égal a - ,
Supposons maintenant que ^ soit il fois transitive. Si ^ — a et k > i a, •T aura au moins i.a... (api — /|) valeurs distinctes (88), nombre supérieur à X(X — i). Si fi < ^ — a, le nombre N des valeurs de ^ sera
■M, M',... étant les ordres de groupes tran,sitifs entre ce, a',... lettres (avec la condition a -h a' -h ... = k — il). D’autre part, il sera un imilliplc de
P = - y — 1.2... fi, [i étant égal au plus petit des deux nombres fi
et a (95), et l’on voit sans jieiné que si a < X — pi — a. on aura constamment P > X (X — i).
Soit au contraire a^X — a — a : le groupe transitif dont l’ordre est M ne peut être symétrique ni alterné; ear si cela avait lieu, on voit, comme tout à l’heure, i|ue ^ serait alternée ou symétrique par rapport à « lettres;
mais a > donc .f serait alternée ou symétrique (87), contrairement à
l’hypotbèse. Cela posé, d’aprfes les théorèmes de M. Bertrand, — î'Cra supérieur h « si a surpasse 6, et il a« si a surpasse 7, et N, qui est au moins égala — (X — p.) . i.a... pL, sera évidemment supérieur à X(X— 1), meme dans le cas le plus défavorable où p = 1 et « = X — p — a.
UVHE DEUXIËMK.
§ VIII. — Limite de TnANsiTivixÉ des groupes nos ai.tersiIs.
90. Soit O un groupe île degré n-hv qui soit v fois transitif et ne conliunne pas le groupe alterné. Deux cas pourront se présenter, suivant (|tie G eonlicndra ou non des substitutions déplaçant moins de n -4- 1 lettres.
Premier cas. — Si G ne contient aucune substitution déplaçant moins de n-t- I lettres, on pourrait assigner une limite au nombre v, qui représente .son degré de transitivité, en appliquant les tbéorèincs énoncés au n“ i(i. On peut également obtenir une autre limift, fondée sur une méthode que nous allons exposer et qui a l’avantagé de s’appliquer à d’autres cas.
Partageons les lettres de G en deux classes, contenant : la jiremière, v — i
lettres, a;,,..., x,,; la seconde, n -H i lettres, a, a a„, et soit H le
groupe formé par celles des substitutions de G qui laissent immobiles X,,..., x,,. Ge groupe est transitif par rapport aux lettres de la seconde classe, G étant supposé v fois transitif. D’ailleurs chacune de ses substitutions (sauf ruiiilé) déplace par hypothèse toutes les n -4- i lettres a a„.
C’est donc l’un des groupes étudiés plus haut (71), et son ordre sera égal à n 1, nombre des positions di.'tinctes où ses substitutions permettent d’amener a ( V V).
Soit maintenant I le groupe formé par celles des substitutions de G qui
remplacent lesx les uns par les autres: cbacunc de ses substitutions
est le produit de deux autres, dont l’une A permute entre eux x x^,
sans déplacer a,..., a„, l’autre B permutant entre eux a,..., a„ sans déplacer X,,..., x,,. Soient donc A'B', A’'B' ,... les diverses substitutions de I ; leur nombre est égal à i .a... (y — i) (n -i- i). Car les substitutions de G permettent de permuter entre elles d'une manière quelconque les lettres x,,..., x„ , , ce (]ui donne i.a...(v — t) formes distinctes pour les substitutions
partielles ;V, A' A chacune d’elles correspondront n -t- i formes pour la
substitution B, lesquelles s’obtiennent en multipliant l’une d’entre elles pâlies n 4- i substitutions de H (lesquelles sont de la forme B).
Le groupe K formé par les substitution} /wlielles B', B',... a aussi pour ordre i . a . . . (y — i) (;i -f- i). Car, pour qu’il en fût autrement, il faudrait que deux de ces substitutions B' et B" fussent identiques sans qu’on eût en même temps A' B' = A" B". IMais, si cela avait lieu, de ces deux substitutions on déduirait la suivante .VB'(A'B')-* = A'A'*', laquelle ferait partie de G ipioique déplaçant moins de y lettres, résultat absurde (82),
Les substitutions de K sont permutables à H. Car, soit U' une des suhslilulinns de H. B'-' H'B' = {.V'B')-' H'(A'B') .ipparlicnt à G cl ne déplace pas elle apparlienl donc à H.
Soit inainlenanl L le groupe formé par toutes celles des substitutions possibles entre a,..., <j„ qui sont permutables à H; il contieniira K; son ordre IJ est donc divisible par i . a. . . (v — i) (n -t- i). Cbercbons d’autre part une limite supérieure à ce nombre û.
100. Soient a, b deux quelconques des lettres a <i„; li est égal au
produit du nombre des systèmes de positions distinctes que les subsiitulion.s de I, donnent il a, b [lequel nombre ne peut surpasser (/i-t-i)nj par le nombre des substitutions de L qui laissent a et b immobiles (ü).
Le groupe H ne contient qu’une substitution S = {abc...) [à b'c'. ..)... qui remplace a par b (71). Soit p son ordre: celles des substitutions de L qui ne déplacent ni a ni b transformeront évidemment S en elle-mému, et par
suite ne déplaceront aucune des/> lettres a, b, c Leur nombre sera égal
au produit du nombre des places distiiictcs^îi elles peuvent amener <i’ (lequel est au plus égal à n -4- i — />) par le nombre des substitutions de L qui laissent immobiles a, b et a'.
Ces dernières substitutions sont écbangeables à la fois à S et à la substitution S' contenue dans II et qui remplace a par a' : elles sont donc écbangeables à toutes les substitutions dérivées de S et de S'. Soit// le nombre de ces dernières substitutions, lequel est un multiple de/j; elles remplacent respectivement a par p’ lettres toutes distinctes (71). Les substitutions eberebées, étant écbangeables à celles-ci et ne déplaçant pas a, ne déplaceront aucune de ces lettres.
Si /)'<n-t-i, soit a" une lettre différente de celles-là : le nombre des substitutions de L qui laissent immobiles a, b, a' est égal au produit du nombre des places distinctes où elles peuvent amènera" [n + i — p' au plus) par le nombre de celles de ces substitutions qui ne déplacent ni a, b, a' ni a"; celles-ci laissent immobiles //' lettres, p" étant un multiple de />'.
On continuera ainsi jusqu’à ce qu’on .soit amené à ebereber les substitutions de L qui laissent immobiles toutes les lettres : celles-ci se réduisent à la seule substitution i. L’ordre de L sera donc égal ou inférieur à (n -i- t)n{n + \ — p){n + \ — p') [n+ i — p“)..., p, p' , p" ,... étant des diviseurs de n + i, dont cbacun est un ifiulliple du précèdent.
(iet ordre étant divisible par i .a... (v — i) (n -(- i), on aura la relation
7H 1.1VKE DEUXIÈME.
Los faclPiiis qui enlrenl dans le second inemliic de celle expression sont tous inférieurs à n, sauf le premier, el leur nombre est au plus égal à a, nombre des facteurs premiers de n -t- i; on aura donc l'inégalité
