tv — i)<C n

101. SecoND CAS. — Supposons que (i contienne des subslilulions dépla-

canl moins de o-+- 1 lellres, et supposons en outre v> nous allons lui irouver une limite supérieure. Suit II le groupe formé par celles des subslilulions de G qui lais-senl immobiles v lettres données x, x, et remplacent les unes par les autres les n lettres restantes a, a„. Consiiléré

par rapport à ces dernières lellres, Il sera iotransitif (sans (|Uoi G serait

V -h I fois transitif au lieu de rêlrc seulement v fois). Les lettres a, a„ se

partagent donc en systèmes n,a, ..., h, h tels, que les substitutions

de II pcrniulcnt exclusivement entre elles les lettres d’un même système el les pcrmuleul Irausilivement.

Soit mainicnant J le groupe J’ornié par celles des substitutions de G qui

remplacent les lettres x x, les unes par les autres ; scs substitutions

permutent ces lettres entre elles «le toutes les manières possibles. Soit I le groupe partiel fttrmé par celles des substitutions de J «lui font éprouver à ces lettres des déplacements éijuivalant à un nombre pair de iraiisposilions. Les substitutions de I peuvent être représentées par A' B', A''B ',..., .V, .

étant des substitutions «|ui permutent eulrc elles x, x, et B', B',... des

sulisliiutions «|ui permutent entre elles a,, a, />,, .......

Les substitutions A'B', A"B',... sont permutables à H: car soit H' une

substitution de 11, (A'B'}~' ir(A'B') appartient à G el ne déplace pas x

X, : elle appartient donc à II.

Chacune des substitutions .VU', A" B",... transformant ainsi 11 en lui-

même, fera succéderaux lettres de chacun des systèmes a, a,..., h, b,

i(ui jouissent de la propriété d’élre permutées entre elles par les substitutions de II, d'autres lettres jouissant de cette même propriété, et par suite appartenant à un même sy.stème.

102. Sttfiposons d’abord que parmi ces systèmes il en existe un a^a,... tel: I " que toutes les substitutions de I renqdacent ses lettres les unes par les autres ; 2” que toutes celles de ces substitutions qui ne font pas partie de II déplacent au moins une de ces lettres.

Soient II', U",... les diverses substitutions de 11; h', h’,... les déplacements qu’elles font respectivement éprouver aux lettres a,, a, Soit

/i = (A', h",..,) le groupe l'ormé par ces iléplaecnieiits; soieiU de même b , h",... lesdéplaceineiits i|ue les sulisliliilions .VU', A'U .... foiil resperlivenienl éprouver aux niêincs lettres.

H est impossible que h contienne toutes les substitutions qui résultent d’un

nombre pair de transpositions entre les lettres a,, a, Eu i fTet, parmi les

sulistitutioiis A'. .A”,... se trouvent Ic.s sulistitiitions tireulaires entre trois i|ueleouqurs des lettres x Soit \' une semlilable substitution.

A'“1V^ appartient à I sans appartenir à II ne se réduisant pas il l’unité), et fait subir aux lettres a,, a,,... le déplacement b’^, lequel résulte évidemment d’un nombre pair de transpositions, et qui en outre n’appartient pas à h : ear si l’on avait par exemple b'^ = h', la substitution* A’’ B'* fl'"', laquelle appartient à I sans appartenir à II. ne déplacerait aucune des lettres a,, a., contrairement à notre bypotbèse.

D’ailleurs b est transitif; supposons qu’il le soit •/ fois, le nombre îles lettres O,, Oj,... étant n'-4-v': deux casseront à distinguer.

10,3. i" : A ne contient aucune substitution qui déplace moins de n -i i lettres. Partageons ses lettres en deux classes v pv-i et a <i„' con-

tenant respectivement v' — i et n' -+- 1 lettres. Celles dos sub.slimtions de A

i|ui ne déplacent pas j forment un groupe^ transitif d’ordre n -h i ,

et dont les substitutions g',.- ... déplacent toutes les lettres; et le nombre des substitutions différentes entre les lettres a,..., a,/, qui sont permutables à g, sera inferieur à (n'-h i)n'* . »' étant le nondtre des facteurs premiers, é^aiix ou non, de n'-t- i (100).

Mais ce nombre est au moins égal à ! [n’ - i). En effet, suit B'

une substitution <|uelconque de i; soient z z^-, les lettres par les(|uellcs

elle remplace Vi y./-i ■ A, étant v' fois transitif, contient une siibsliiu-

tion A' qui remplace réciproquement a z,', par y v,'-,. Soient II'.

G des substitutions rboisies à volonté parmi celles i|ue 11 conlieni

et qui font respectivement éprouver aux lettres du système considéré les

déplacements A', g, ; les n’ -t- i substitutions .VB'H'G,

A'B'irG„-+i appartiennent à 1. laissent immobiles y, et (imi

éprouver aux lettres a a^ des déplacements re|)résentés par ^'g,

(S'^v+i. fi' étant le déplacement que A' B' II' leur fait éprouver.

Soit .-VB" une autre substitution de I. telle (|ue .A" soit dilTérent de ;

on en déduira de la même manière n' r- i substitutions .A"B"H"t>

.A* B' H’G,/*,, qui appartiennent à I, laissent immobiles v,,..., >v.. et font

Sii UVKE OEIXIKME.

cpiouvcr à fl,..., a,, «les tléplaieineiils représentés parjS'^, g„-,„

fi" étant le déplacement que leur fait é|irouver.

nombre des substitutions différentes A', étant ' ' ^ — -< celui des

substitutions ^"g,, ... égal à ' («'+■) =

elles sont il'ailleurs toutes distinctes; car g, g»'^, étant différentes.

^'g le seront évidemment. D'autre part, si l'on avait une égalité

telle (|ue fi'g, = fi'g'jt bt substitution

A'B H'ti.tA" B"H"ri, = A'A”- B 11 G^B'Il'C., -,

(|ui fait partie de 1 et non de H, ne dépl.aeerait aucune des lettres du système considéré, ce qui est contraire à notre bypotbèse.

F.nfin les («'-*- •) substitutions ci-dessus sont permutables à g.

Ko effet, soit I' le groupe formé par celles des substitutions de 11 qui ne

iléplacent pas y, >v, : les substitutions A'B'H'G .A' irH' G„<+

lui sont permutables, car elles transforment évidemment ses substitutions

en substitutions de 11, qui ne déplacent pasy yv-i : donc, « fortiori, les

déplacements fi'g,,..., que U' H'G,, . . . font subir à « «„• sont per-

mutables au groupe g des déplacements i|uc F fait subir à ces mêmes lettres.

On a donc, jKtur limiter v, l'inégalité

avec fl' <■ n' v' et ri >' < n, d'où ri c^n — i .

toi. a" : /< contient des substitutions dépUnant moins de ri -+- i lettres. Partageons ses lettres en deux classes y,,..., y,, et a,,..., a„- contenant respectivement v et ri lettres. Soient I, et II, les groupes formés par celles des substitutions de 1 et de H qui ne iléplacent aucune des lettres y ,.)v

Ia- groupe I, contient une substitution au moins faisant subir au.r lettres

I ar, l'un quelconque des dcfdacements .\" Car, supposons par

exemple que la substitution A' B' Tcmplacc y, yv par z s,., l.e

groupe b, étant v' fois transitif, contient une substitution It qui remplace

réciproquement z, i,,- pary y ,>• Soit H' une des substitutions de 11

qui font éprouver aux lettres du système considéré le déplacement b':

DES SUBSTITITIONS Kl

A'H'ir, ne déplaçant plus y >v, apparliendm à I,, et fera subir aux

lettres x x, le déplacement A'.

Le groupe H,, n’étant pas transitif par rapport aux lettres ne

le sera pas à fortiori par rapport à toutes les lettres autres que x x„

y Ces lettres se partagent donc en systèmes

tels, que les substitutions de H, permutent exclusivement entre elles les lettres d'un môme système et les permutent transitivement.

Enfin les substitutions de I, sont permutables à II,; car elles transforment les substitutions de H, en substitutions (|ui ne déplacent aucune des lettres

X,,..., x„ y yv, et qui par suite font elles-mêmes partie de 11,. Donc

chacune des substitutions de 1, remplacera les lettres d’un système par celles d'un même système (101),

105. Si parmi ces systèmes il en existe un tel : i® (|ue toutes les substitutions de I, remplacent ses lettres les unes par les autres; a® <|ue toutes celles de ees substitutions qui ne font pas partie de H, déplacent au moins une de ces lettres, ou raisonnera sur I, et H, comme sur I et II, cl l'on obtiendra une limite analogue à celle du n® 103, ou bien l'on sera conduit à deux nouveaux groupes I,, H, dont les substitutions laissent invariables,

outre y y^, d'autres lettres z iv»: on pourra niisonner sur ees

nouveaux groupes comme sur les précédents, etc., jusqu'à ce qu’on arrive à deux groupes Ib tels, (pi’cn réunissant dans un même système tes ieltrrs que les substitutions de II, permutent entre elles, il n'existe aucun système qui jouisse de la double propriété : i® d’aeoir toiltes ses lettres remplacées exclusivement les unes par les autres dans toutes les substitutions de I,; a® d'avoir au moins une lettre déplacée par toute substitution de I, autre que celles de II, .

Les systèmes se partagent alors en deux catégofies : i® ceux dont les substitutions de L permutent les lettres exclusivement entre elles: chacun d’eux jouira de cette propriété que l'une au moins des suhstilutions de I, autres que celles de II, laisse toutes scs lettres immobiles; a" ceux dont quebiu’une des substitutions de 1, remplace les lettres par celles d'un autre système.

106. Cela pose, le groupe I, résulte de la combinaison de II, avec des substitutions qui laissent immobiles les lettres de tous les systèmes de la première catégorie.

Soient en effet A"B' , . . . les substitutions de L> A', . . . étant les

déplacements qu’elles font subir aux lettres x x,, lesquels déplacements forment un groupe alterné. Soient S, S les systèmes de la pre-

Kl UVRE DEl'SIËME.

miôre cntégorie : 1^ contient par hypotlièse une sulistitutiun A, B, qui laisse uninobilcs les lettres de S. Les transformées de A, B, par les sulistiliitions 1,, et plus généralement les substitutions A, B,, A', B', dérivées de ces transformées, jouissent évidemment de la même propriété.

Le groupe I,= (.VB', A’B",...) contient le groupe (A, B,, A', B' ), et

.ses substitutions lui sont permutables. Donc, à fortiori, le groupe

(brillé par les déplacements que A, B,, A’, B’ font subir aux lettres x,,...,

x„ est contenu dans le groupe (A', A",...) et permutable à ses substitutions. Mais ce dernier groupe est simple (85). Donc le groupe (A,, A’ )

contient toutes ses substitutions.

Soit maintenant S, un autre groupe de la première catégorie ; L contient une substitution A' B' i|ui laisse immobiles les lettres de S,; parmi les sul>stitutions du groupe alterné A',...) = (A,, .V,,...) il en existe évidemment qui ne sont pas échangeables à Soit A, l'une d'elles: la substitution (A'B')~‘ (A, B|)~‘. A'B'. .V, B, = A, B: laisse évidemment immobiles les lettres de S et de S,, et ne fait pas partie de H,., car clic fait subir aux lettres

X X, le dé|ilaccment A'"'A;''A'.\, = .A„ lequel ne se réduit pas à l'unité.

Donc L contient une substitution .A,Bi non contenue dans IL et qui laisse immobiles à lu fois les lettres do S et de S,. Les transformées de .V,B, par les substitutions de L> et plus généralement les substitutions A^B,, .A',B',,..., dérivées de ces transformées, jouissent de la même propriété. On voit comme tout à l'heure que le groupe (.Aj, A',,...) contient toutes les substitutions du groupe (.V, A",...).

Suit maintenant Sj un autre système de la première catégorie, on formera comme tout à l’heure une substitution .A,Bj contenue dans L et non contenue dans IL, qui lais.se immobiles à la fois les lettres de S, S,, S,. Soient A, B,, A'jB',,... les dôrivrés de scs tran.sformées par les substitutions de I,, le groupe (A,, .A',,...) se confondra avec (A', .A”,...).

S’il existait d’autres systèmes de la première latégorie, on poursuivrait de même : supposons, pour fixer les idées, qu’ils soient maintenant épuisés. Soient A'B' une substitution quelconque de L, A, celle des substitutions Aj, .A',,... qui SC confond avec .V : on pourra poser A'B'= .A,B,.C, la substitution C faisant partie cllc-inéme de 1, et ne déplaçant pas x, x,; ap-

partenant par suite à H,.

Notre proposition se trouve ainsi démontrée.

107. // existe nécessairement des systèmes de seconde catégorie. C.ar, s'il en était autrement, les substitutions -A|B,, A'jB',,... laisseraient immobiles

DES SCBSTITUTIONS. '

loiites les lettres saiifx : elles déplaceraient donc v lettres nu plus,

ce qui est absurde (82).

Ces systèmes peuvent être répartis en classes, en groupant ensemble ceux que les substitutions 1^ permutent entre eux, lesquels ont évidemment tous le même nombre de lettrés.

108. Considérons spécialement l'une de ces classes, I'. Soient le nombre de systèmes qu'elle contient, m le nombre des lettres de ebacun d'eux. Tou/e substitution de I,, non contenue dans IC, déplacera nécessairement quelqu'un des systèmes de la classe.

Car supposons qu’une substitution .V, B,, contenue dans I, cl non dans II,, ne déplace pas les systèmes de F, mais remplace les unes par les autres les lettres de ebacun d'eux : chaque substitution de I, remplaçant les lettres de chacun de ces systèmes par celles de l'un de ces systèmes, les transformées de .\tB, par ces substitutions, et plus généralement les substitutions A, B,, A',B'^,..., qui dérivent de ces transformées, ne déplaceront égalcrncnt aucun des systèmes de F. On voit d'ailleurs comme tout à l’heure : i“que le groupe (.V,, A',,...) se confond avec l.\’. A",...); que toutes les sidtslitulions de I, dérivent île la combinaison de A, B,, ,V, B,,.., avec H,. Cela est absurde, car .S, B,, -V,B, non plus que les substitutions de H„ ne déplacent les sys-

tèmes de F, que les substitutions 1, permutent au contraire transitivement.

Soient .\,B,, A'^B',,... les dieerses substitutions de I,; E, E',... les déplacements d’ensemble qu'elles font subir aux rrstémes de T : on aura E = E' si A, = .\',, et réciproquement. Car si = A’,B',.(A, B,)“‘ appartient à H,:

donc le déplacement E'E“' qu’elle fait éprouver aux systèmes se réduit ii l’unité; réciproquement, si E = E', .A'jB',. (.\, B,J"', ne déplaçant pas les systèmes, appartient à II,: d’où .\, = A',. * •

109. Mais la suite .V,,... contient ^ " - substitutions distinctes; la

suite E, E',... en contient au plus i.a...fi: donc ^ 5 I .a. . . u; d ou v

D’ailleurs, si l’on a v )> 12 et ja. > v, on aura nécessairement

En effet, les propositions des numéros précédents montienl que le groupe

Hl ■ LlVnE DF-IXIÉME.

(K, E',...) esl isoniorpliu sans mériédrie au groupe {A,. A',,...) et transitil.' Or soient F, une fonction quelconque de x,,..., x„ F,, F,,... les diverses valeurs qu’elle prend lorsqu’on y effectue lessubslitutions{A,, A',,...): nous avons vu (68 à 73) que chaque suhstilulion du groupe (A,, A',,...) équivaut à une certaine substitution opérée entre ces fonctions; que l’ensemble de ces dernières substitutions forme un groupe isomorplic à (A,, A',,...); enfin qu’il n’existe aucun groupe isomorphe à (A,, A',,...), transitif, et distinct de ceux (|u’on peut obtenir ainsi en faisant varier la fonction F,.

Or le nombre fi des fonctions F,, F,,..., letiuel représente le degré du

groupe ainsi formé, est évidemment égal au nombre ' * des substitutions (A,, A',,...) divisé par le nombre de celles de ces substitutions, qui n’altcrcnt pas F,. Ce dernier nombre sera évidemment égal h '

si F, est symétrique ou alternée par rapport à v — i lettres. Si F, e.st symétrii|ue ou alternée par rapport à v — a lettres, ce nombre sera égal à

i.3...(v — a) ou à ' "J*’ — — , suivant que F, sera symétrique ou non

par rapport aux deux lettres restantes. Dans toute autre hypothèse, il sera inférieur à i.2...(v — a); car F, ayant plus de v{y— i) valeurs distinctes (08), le nombre total des substitutions qui* la laissent invariable

est inférieur à i . a... (v — a). Donc est au moins égal à - , à moins

que F, ne soit symétrique ou alternée par rapport h v — i lettres : dans ce dernier cas, on aura p. = v, et si Pon désigne par F, celle des fonetions F,, Fj,... qui esl symétrique ou alternée par rapport à toutes les lettres saufx,, par Fj celle qui l’est par rapport à toutes les Icllrcs sauf x,, etc., les substitutions .V,,..,) permuteront évidemment F,, F,,... entre elles de la même manière que .r,, x

110. Cela posé, admettons que les groupes de seconde catégorie forment X classes, dont la première contienne p systèmes' formés chacun de /« lettres, la seconde p, systèmes formés chacun de m, lettres, etc. : le nombre total des lettres contenues dans les groupes de seconde catégorie

est égal à mjx + m, fi, + Si v> la, et qu’on n’ait pas à la fois

V = P = p, =..., l’un des nombres p, p,,.,., p par exemple, sera au moins

égal a ^ — -, et, comme n ^ ix, on aura

III. SoU, .nu contraire, v>ia et fi = [i,=...= v; soit m le plus grand des nombres m, rn„.... Supposons d'abord qu’il n'existe aucun nombre premier moindre que v et supérieur à m. Les belles rechercbcs de M. Tcliê-

byclicf montrent qu'il existe au moins un nombre premier entre et v • (Serrft, Algèbre supérieure. Section III, Cliap. IV) ; on aura donc

et par suite

< m f* + m, fii n .

Supposons, au contraire, qu'il existe des nombres premiers moindre.s que V et supérieurs à m \ soit p le plus petit de ces nombres. Le groupe (,A,, A',,...) contient une substitution A, qui permute cirrulairement P lettres quelconques de la suite a;,,..., a;.,, sans déplacer les autres. Les systèmes d'une même classe, en nombre v, étant permutés entre eux par la

substitution A, B, de la même manière que x le sont entre elles(IO!)j,

A, B, permutera circulairement entre eux p systèmes de chaque classe, en laissant les autres immobiles.

D'ailleurs, si cette substitution déplace les lettres de quelqu'un des autres systèmes en les permutant entre elles, les cycles formes par ces lettres contiendront respectivement w, w',... lettres, w, étant au plus égaux à m, et par suite étant premiers h p-, et, si l’on désigne par p le plus petit multiple de ta, u',..., la substitution (,\, B,)*’ laissera immobiles les lettres de tons ces derniers systèmes, et par suite ne déplacera que p + pm -i- pm, -i- ... lettres. D’ailleurs le groupe ne peut contenir aucune substitution déplaçant moins de av - 3 lettres (S3). D’où la relation

p(t r «1 -f m, -t-, . )> av — 3, m-(-m,-t ...

Un a d'ailleurs

et par suite

-K /«. jüi, -f- . . . = ( m 4- w, .•)><«,

Suit d’uilleurs q le noniltrc preinicT iimnédiateinunt supHunir a

s<‘ra

Wi UVRK DEUXIÈME.

supéricuf 'a ni + m, h- et par suite au moins égal à /> : on aura donc à fnrtinri

112. Examinons enfin le cas où v<ia. Si l’un des nombres m, m

est > I, on aura

fl J nifx + «Il Ui 4-. . . ni 4- m. t- . . .) v> a».

.\u contraire, si m, ni,,... se réduisent tous à l’unité, les substitutions ne déplaceront que les lettres des systèmes de la première catégorie; mais chacune d'elles déplace au moins av — 3 lettres (83) : donc le nombre nifi + m, jx, 4... des lettres contenues dans l’ensemble des systèmes de la .seconde catégorie ne peut dépasser n — av + 3. D’ailleurs, si jx est le plus petit des nombres (jl, p.,,.... on aura

non « ; ( s 4 ni 4- ni, 4-. . . )v — 3>av,

IM 4- ni, 4- . . . ^ .

même dans le cas le plus défavorable, où les nombres m, m se rédui-

raient à un seul, lui-même égal à i (y étant > 4. par hypothèse).

Dans le cas où v > 7, on aurait

Il “ 3».

.Nous supprimons la démonstration.

1 13. En récapitulant les résultats de cette discussion, on obtient le théorème suivant :

Thkoiikme. — L'n groupe de siihsitlulions G entre n + v lettres, qui ne contient pas le groupe alterné, ne peut être v fois transitif que si l’un des six systèmes d’inégalités suivantes est satisfait :

(1) I.a...(y— l)<fl'

(a étant le nombre des fucteurs premiers, égaux ou non, de n 4- 1);

1 3 ) l ‘' < n'*' et n' < Il — I

étant le nombre des facteurs premiers de n'-*- 1);

DES SL’BSTtTt'TIONS

^ j>^ii cl v^-n

^(/ ùlani lo nnmhre premier iinmêdialemenl supérieur ii

■ Il et V I ?,

av^n et v<^ia.

Si V est (rès-graml, le uinquiémc système est celui qui dunuera puur ri la plus petite limite, et cette limite tend évidemment vers la valeur asymptotique vv'av-