ST=: I X '}.[?(X)] I
OÙ le polynôme ij<[ç(x)] ne se réduit plus au degré X — i.
DES SfBSTITlTIONS. Hli
115. Lorsque k est un nombre premier p, on pourra remédier h ce défaut. Supposons en elTet, ce qui est évidciniiicnt licite, que la quantité puisse également être représentée par /,, v étant un entier quelconi|ue congru à x suivant le module p : on pourra, dans la fonction ij/[ç(.r)'. abaisser les exposants au-dessous de p au moyen de la relation ,r'’ = a- (mod. p). Toute substitution pourra donc être représentée par le symbole I X ÿ{x) |, où f{x) est un polynôme entier du degré /) — i au plus: mais, pour qu’un symbole de ce genre représente effectivement une substitution, il faut évidemment que f (o), f (i) f{p — i) soient tous différents, et soient congrus, à l’ordre près, aux nombres /< — i.
M. Hermite a démontré, il cet égard, le tbéorème suivant ;
TnÉORFME. — l’our r/ue le symbole \ x 9 ix) \ représente une substitution, il faut et il suffit que la fonction ■p(.r) et ses p — a premières puissances se réduisent au degré p — 2, lorsque, après aeoir rabaissé les exposants au-dessous de p, on y supprime les rnulti/des de p.
Kn effet, soit | x ^(x) | une substitution; et suit
[ij>(x)]*= Ao'"’-*- .vl"' . . -+• ' (mod. p).
Donnons à x les valeurs o, i,..., p — i et ajoutons les équations obtenues; il viendra
2 [ij»(x)]*s/>Al'" -4- Ai^'^x -t- . . . (mod. /i).
Mais un a
ip-')P
Donc 2x 2x'’“* sont divisibles par/i; il en est de môme de 1 dont
les termes doivent être, à l’ordre près, ceux de Ix”; enfin lx^~' sr p — 1 : rar x'’”' est nul si x = o, et congru à i dans tous les autres cas : donc, en supprimant les multiples de p,- la relation ci-dessus se réduira à AJ|ü’,^o.
Réciproquement, si tous les eoeflieients A'^ Afz" sont congrus à
zéro, 2,f(x),,.., 1 [çi(x)x-’ le seront également. La congruence qui a pour racines ç(o),..., ç(/> — 1) aura donc tous scs termes nuis, sauf le premier et le dernier, et se réduira ainsi à la forme
Zr— aZ=o (mod. p).
'.NI UVKE DEÜXltME.
I)‘:iillcurs ses racines, élanl des entiers réels, satislunt à la congruence Z'’ — Z. -O, et, par suite, à celle-ci (a — i)Z=30. Donc, si a différait de l'unité, ces racines seraient toutes milles, ce qui est impossible; car 9(x), (■tant un polynôme du degré /) — a, ne peut s'annuler à la fois pour les p
valeurs X = O,..., X = P — i. Donc a = i , donc f (o) ?(/>—') sont
respectivement congrus aux p racines, o, i,..., p — \ de la congruence
Z' — Z = <> (mod./i).
116. Le nombre /l étant donné, il sera facile, au moyen de ce ibéorcme, de déterminer les diverses fonctions f{x) aptes il entrer dans l'expression d'une substitution.
On facilitera ce calcul par cette remarque évidente que | a; ctx -h ^ \ est une substitution, pourvu que a ne soit pas nul. Donc, si | x <f{x) \ est une substitution, on pourra la multiplier en avant et en arrière par des substitutions de la forme linéaire précédente, de manière à obtenir la suivante ;
S=|x xa(a'x P \ = \ X I,
contenant quatre coellicienis indéterminés, dont on pourra profiter pour .simplifier son expression. Supposant,' par exemple, a' = i, on pourra déterminer a de manière à réduire à l'unité le coellicient de la plus haute puis- .sance de x, puis et ^ de manière à faire disparaiire le second et le dernier terme de la fonction.
Soit, par exemple, /) = 5 : les fonctions réduites f ,(jc) auront l'une des trois formes
J.', x', x'-i- ax (iiioil. 5).
La seconde ne peut représenter une substitution, car (x’)’ = x* contient un terme en x*. Pour que (x’ -f- ax)’= anx* (i -i- a’)x’ (mod. 5) ne contienne pas de terme en x*, il faut qu'on ait a = o. Si cette condition est .satisfaite, (x* -t- ax), son carré et son cube ne contiennent aucun terme, en X* : donc | x x’ | est une substitution.
Les substitutions relatives à = .ô appartiennent donc toutes à l'une des formes suivantes :
\x ax -4- P I, |x a(x -t- -I- ^ |.
.M. Hermite a inontré, par un calcul analogue qui n’offre plus aucune dilliculté, que les substitutions relatives à /> = 7 sont de la forme
I X a?,(x-i- jî')-4-3 I,
DES SUBSTITUTIONS, ;H
y, ayant l’une des formes suivantes :
.r, x*±3,r, x'drax,
Ær"-4 3a’x («quelconque),
x‘+6x'±;x*+ 36’x (S non résidu de 7).
117. Si k était une puissance d'un nombre premier, telle que ff, on pourrait faire intervenir des considérations analo(;ues aux précédentes en assignant pour indices à la lettre /, au lieu de nombres entiers réels, des entiers complexes formés avec une racine d’une congruence irréductible de degré n. Mais nous préférerons une autre méthode, qui consiste à assigner à /, n indices simultanés, x, y,..., pouvant chacun prendre les p valeurs «,
I P — I (niod. p). Une substitution quelconque, remplaçant par
une nouvelle lettre pourra se inctlre sous la forme
f et étant des polynômes du degré /> — 1 au plus relativement à chacun des indices x, y
Cette méthode pourrait s’étendre, mais non sans complication, au cas oü k contiendrait plusieurs facteurs premiers différents.
§ II. — Généralités sur les substitutions linéaires.
Origine du groupe linéaire.
118. Soient m et n deux entiers quelconques; .... des lettres
en nombre m", caractérisées par n indices, variables chacun de o à - 1 (niod. m). Désignons par lu notation
la substitution qui remplace la lettre dont les indices sont x, x',... par celle dont les indices sont x -u a, x'-i-ar',... (mod.rn). Les substitutions de cette forme constituent évidemment un groupe K transitif cl ayant pour ordre né'.
110. Cherchons la forme générale des substitutions qui sont permutables à ce groupe. Soient S l’une d’elles; ç (x, x',...), f'(x, x', ...),... les indices de la lettre qu'elle fait succéder à . La substitution S“‘ A, ,, ,S fera suc-
•li I.IVRE DEUXItME.
cédera la lettre dont les indices sont 5? (ar, x',...), y'(x, x',.. (mod. celle dont les indices sont ? (x+ i, x',...), ^'(x -t- i, x',...),... (mod. /«). Pour (|iie cette substitution soit l'iinè de celles de F, telle que , il l'aiidra évidemment (|u'on ait les relations
v(x4- 1, x',...)=o(x, n, <j»'(r •*- I, r',...)= ?'(x. x’ ,...)+ a',... (mod. mi.
On aura de même, si est la transformée de A, ,, par S,
y(x, b, f'{x, x' + i,...)^if'{x, x',...) 4- 6',... (mod. m).
D'ailleurs ecs conditions sont suffisantes pour que S soit permutable il F ; car les transformées par S de ebacune des substitutions „ , A„,,, .... appartenant h F, il en sera de même de la transformée de A, ,, • AJ,, , ... = A^,.,
On déduit dcsrclations ci-dessus, en posant 9(0,0,...)= <J, ç'(o,o,...j = d',
<f{x,}-,. . ,)=ax + hx' -i- i, 9'(x, x',. . .) = a' x i'x'-t-. . . + S'
On a évidemment
S= TAm. ,
T étant une substitution qui remplace x, x',... par ox -1- tix' -t- . . . ,
fi'x -t- (mod.m). Les substitutions permutables à F s’obtiennent
donc en combinant aux substitutions de F les substitutions de la forme T. Les dernières substitutions, que nous représenterons indifféremment par l'une ou l'autre des deux notations suivantes:
X <jx 4- hx' + . . .
j X, x’, . . . «X 4- bx' a'x + b' x'-i- ...... . |
forment évidemment un groupe, que nous appellerons le groupe linéaire ilu tlegré m" , el i\onl nous allons étudier les propriétés.
Ordre du groupe linéaire.
120. Cbcrebons à déterminer le nombre des substitutions S = I X, x',. . . ax bx' a'x - t'x'-4-. . . | du groupe linéaire du degré m”.
DES SUBSTITITIONS. !tt
Nous remarquerons, en premier lieu, que tous les systèmes «le valeurs «les eoeffieients a, b,...-, a', b',. ne sont pas atlmissibles^ car,- pour «|ue S représente une substitution, il faut qu’elle amène une lettre quelconque, dont les i'n«liees sont x„ æ-',,..., à la place d'une lettre uni«|ue et bien déterminée. Soient x, x' les indices de cette lettre : ils sont lit'-s à X|,x', ,... par les relations
«IX •+• 6x' x„ «’x -I- i'x'-i- . . . s:x'|,. . . (inoil.m).
Les coellicicnts a, b,...-, a', doivent donc être tels, «|ue ces relations déterminent sans difficulté x, x",..., quels que soient x., x'
D’après ce critérium, il est évident que l’expression
représente une substitution : de même pour les expressions analuj^ues
121. TiiFonÈME. — Toute substitution linéaire peut se mettre sous la forme 20, 6 étant une substitution dérivée des substitutions et 2 une substitution qui laisse tous les indices invariables , sauf le dernier d'entre eux, quelle multiplie par un entier.
Supposons, pour fixer les idées, qu’il y ait trois indices x, x', x-". Soit S=|x, x',x* ax -V- bx' -V- ex" , a'x -f- i'x' -i- c'x", <i"x -l- 6'x' c'x' | (inu«l. ni)
une substitution linéaire quelconque : a, b, c, m ne pourront avoir aucun iliviseur commun ; car, s’il yen avait un «x, un ne pourrait satisfain* à la congruence
(IX -I- 6x’-+- ex" = X, ( inod. ni )
toutes les fois que x, ne .serait pas divisible par p (2).
Otle condition étant satisfaite, on pourra déterminer une substitution «lérivée de B, y et de ses analogues, et qui remplace x par ax bx'-- ex".
En ctlet, la .substitution
prdtluira ce résultat, si l’on a
I X ft S + le' S' ^ a, é -«• /( I «- /i d — i'i' )= 6, (mo«l.ni),
