I -i- h o ci' fs n, h^li — la, h'^c ( innil. m l

Or, soieni d le plus grand commun diviseur de c et de m, d, le résullal de la division de d par ceux de scs facteurs premiers qui divisent <j ou 6: si l'on pose / =z d,, k sera premier à d. Car soit q un facteur premier de d : s'il divise d,, il sera premier à b et ne divisera pas k. Si, au contraire, q ne divise pas d,, il divisera un seul des nombres a, b [a, b,c, m n’ajanl aucun diviseur commun); il ne divisera donc qu’un seul des deux termes b, d,a et ne divisera pas leur différence k.

Cela posé, m, k, c n’ayant aucun diviseur commun, on pourra déterminer (â) des entiers u, u', u" satisfaisant à la relation

mu i- ku' -J- eu" = I ,

et il est clair c|u’on satisfera à la congruence

1 Ad ci' 55» n (niuil. m)

en posant

i: — (n — i)«', d'— (rt — I )«".

■Cela posé, on aura évidemment S = S,T. S, étant une nouvelle sulislitution qui laisse x invariable, et qui, par suite, sera de la forme

Posons d'ailleurs

on aura évidemment

S. = S,T„ tfoù S S, T, T.

On verra de même ([ue l’on a

S,-iT,T„

Tj et T, étant des substitutions dérivées de B,' et 1 une substitu-

tion de la forme

Le théorème est ainsi démontré.

DES Sl’BSTlTÜTIONS.