Tiiéorkme. -- Pour que l’expression

S = I x\ ... «X 4- bx' n' X b' x' .

représente une substitution, il faut et il suffit que le détemiinaut

soit premier à m.

i“ Cette condition est nécessaire. En effet, mettons la suLslitutioii S sous la forme 26. Son déterminant sera évidemment le produit des déterminants des substitutions 2 et 0. Cette dernière substitution, étant le produit de substitutions analoj^ues à qui ont toutes i pour déterminant, a elle-même I pour déterminant. D’autre part, la substitution

X, x' rx " O

a pour déterminant r. Donc S a pour déterminant r. .Mais r est premier à m\ car si r et wi avaient un divLseur commun p, il serait impossible de satisfaire à la conj'ruence

rx(’-” = x,"“'> ( inod. m )

lorsque ne serait pas divisible par p.

a® Cette condition est suffisante. Car si ^le est remplie, on pourra (2y sjitisfaire au svstèine des relations

Axs -r- X, -

au

dA

(inucl. m).

équivalent au système

nx O éx' . .a X. , n'x -e é'x' . .œ x', , . . . (mod. mj.

L'ordre Q(m") du groupe linéaire de degré m" est