Théorème

égal <(

[»j, «) ni*~' [m, n — i] m*

[m, oj désignant le nombre de manières différentes de déterminer o nombres inférieurs à m, et dont le plus grand commun diviseur soit premier à m.

Soient N le nombre des substitutions linéaires i, R, R',... qui laissent l'indice x invariable; T une substitution qui le remplace par «.i -t- A.r' t-... :•

IN, I.IVKE DEl MÊME.

IcsiN subslitiitions, T, TH. TR',... rcinplaeeronlxparax+ 6x'-+-..., ctjouiroul seulf.s île celle propriélé; car soil U une subslilulioii (|uelcom{ue qui ail eel cflel : T~' l!, lais.iant x invarialile, apparliemlra à la suite i , R, R',...;

donc L' appartiendr.1 à la suite T, TR, TR'

I,cs' entiers a, b pouvant être choisis quelconques, pourvu (|ue leur

plus grand commun diviseur soit prcmieràm (121), seront susceptibles de m, /i] systèmes de valeurs; à cbacun d'eux correspondent iN substitutions : donc

Or les substitutions i, R, R',... sont de la forme

OÙ les n — I eoedicients a, a",... sont i|uelconqucs, et les coefficients b'. c',...; b", c", tels, que leur déterminant soit premier à m, ce qui peut se faire de manières distinctes : donc

N = d'où z= [m, n] m*~' ),

et par suite

= [m, n] ni*"' [m, n ^ i] rn'“'ü( /»*”’) = ■ • •

ce qui est la formule du tbéorème; carû(TO) est évidemment égal à [m, i].