Soient
A = I a:, a:', . . . ax + bx' -H n' x + 6' x" |
une substitution linéaire entre m" lettres; et .soient
(i) ax + px'-h. . ., Ba'x -e 3' x' + . (mod. m)
des fonction.s. linéaires à coefficients entiers de x, a ’ en nombre égal à
celui de ces indices, et telles, que le déterminant de a, /3,..., a', jS',... soit premier à m. .A chaque système de valeurs des fonctions v, y',.. . correspondra, en vertu des relations (i), un système bien defini de valeurs pour
X, xf ,....
Au lieu de distinguer les lettres les unes des autres par la variation des indices x, x',..., on pourra donc les di.stinguer par la variation de y, y',... considérés comme des indices indépendants; et la substitution .\ remplacera l’un de ces nouveaux indices, tel ([ue/sa-r •4- px'-i-..., par
a{ax éx'-t-. . .) -t- jî(n'x -e 6'x'-e. . .) -t-. . . .
Si Ton substitue dans cette expression les valeurs de x, x',... en y, y'
on voit que A remplace l'indice y par une fonction a, y -e h, y'-t-.... De même pour y',...; de telle sorte qu'on pourra écrire
Les coefficients a,, h,,... dépendent des coefficients a, h,... et de a, jS,.... Ces derniers coefficients étant en grande partie arbitraires, on pourra se proposer de les déterminer de manière à simplifier autant (|ue possible l'expression de la substitution A.
ns LIVRE DElIXIfcME.
126. Nous donnerons le nom de caractéristique de la substitution A au déterminant
a — K rt' ... I
où K est une (|iiantité arbitraire.
l’iiKOKÈME. — Le caractéristique d'une substitution linéaire n'est altéré par aucune transformation d'indices.
i" En clïet, supposon.s d’abord que les nouveaux indices que l'on prend à la plaee de a;, x',... soient les suivants ;
.V deviendra
iay , , \ a' r ,, , '
" +*r -*-•••)’ "IT *
et le déterminant correspondant sera
! aA A' — K
aA A' — K . .. '
2" Supposon.s en second lieu que les nouveaux indires soient ropeetivement
-t- 3x', r'râx',...
La substitution .V remplacera y, j''.... par
(rt e ?«').r -f-(A + j5A')x'-t-; . .= (a -i 3a')^ O- [A 1 ^A' — |î(a t- ,3a' ; a'x eA'x’-t- . — a' JS- f A'— 3a' )»■'-( ........
Le déterminant correspondant est
I A-(-3A'— 3(a-i- pa') A'— 3 a'— K ... j.
■Ajoutons à chaque terme de la seconde ligne horizontale le terme corres-
DES SfBSTITUTlONS. W
pondant de la piemiére ligne multiplié par la constante j8 (on sait que cela n'allcre en rien la valeur du déterminant) : le déterminant prendra» la forme
! a ^a' — K «' j 7» + jîft'— 3K 6' — k ... .
Diminuons maintenant chaque terme de la première colonne verticale du terme corre.spondant de la seconde colonne multiplié par jS : le déterminant se réduira k ,
Mais de même que nous avons démontré (121) que toute substitution linéaire peut s'obtenir en combinant ensemble les substitutions
I X, x', . . . x*“' X, x', . . . , rx"" ' I ,
de même on voit que toute transformation d'indices s'obtient en combinant les suivantes :
/=x-t x',j' — x', ...; ;-ŒX,j^'sEx'-+x,
X, J-" n= x' r"* ^ rx—
dont aucune n'altcrc le caractéristique de A, d'après ce que nous venons de voir.
§ III. — Fvcteühs nt; composition ou ghoupe link.virf..
!27. PnoBLÈ.ME. — Trouver les fadeurs de comfmsition du groupe linc'airei'i de degre ni".
PREViifR CAS. m esl divisible par plusieurs facteurs premiers différents.
Posons ni — qq' , q et q' étant premiers entre eux. Il est clair que les substitutions linéaires de la forme
S I x,x',... X -e 1/ ( ax -t- 6x' -f- . x'-t-v(a,x . ft.x' . | forment un groupe 11.
KKl LIVRE DEUXIÈME.
D’ailleurs qq' élanl congru à o (mod. m). On obtiendra la même substitution en donnant, dans la formule ci-dessus, à a, a,, fc,,...,... deux systèmes de valeurs congrus suivant le module q'.
L'ordre de H sera donc égal au nombre des systèmes de valeurs de a, b,..., a,, b,,...,..., incongrus suivant le module q', qui donnent au déterminant de S une valeur première à ni. Il est d’ailleurs évident que ce déterminant est congru à i (mod. q*j. Donc, pour être premier à m, il suffira qu’il le soit à q'.
Or on peut déterminer deux entiers r, r‘, tels, que l’on ait
rq + r'q’ = i ;
4’cla fait, on pourra mettre S sous la forme
|j-,ar',... r'ç'a: -t- /;[(« -t- r)af-f-6x'-(-...)], r'q'x' i 7 [n, x rl.r'-t-...],... |.
On voit maintenant que pour que son déterminant soit premier à q', il faut et il suffit que le déterminant
a, b,-hr ...
soit lui-méme premier à q', condition qui se trouve satisfaite par ü(y'*)
systèmes de valeurs de a -t- r, b,..., a,, b, + r,.., auxquels correspon-
ilent autant <le systèmes de valeurs pour a, b,..., a,, b
De même les substitutions de la forme
S' = I X q' X b’ x' x' + q'{a\x '• 6', jr'-f- . . .. |
forment un groupe II', ayant pour ordre ü{y"),
128. Ixs substitutions de H sont échangeables à celles de H'; car, formant les substitutions SS,, S, S, et remarquant que qq'^o (mod. m), il vient
SS, s, s
X X q(ax -(- ia/ -t- . . . ) -(- qi[a'x -i- b' x' -i-. . .) x‘ x' q[a,x -\- b, x" -t- ...)-¥ q' {d,x + b\x' +.. .) .
Soient S,,..., .S,i,... les diverses substitutions de II; S’ S(. .... celles
lie H' : les substitutions de la forme S,, S',, seront toutes distinctes. Car soit
s,s'„.= s.s:., d'où S7’S. = S',s:r’.
DES srasmiTioNS. i«i
Kn vertu de celle égatilé, la substildtion S^'S, sera commune aux deux groupes II cl H'. Mais Imite subsütutiun commune ^ ces deux groupes doit remplacer je, x',... par
X -4- qq' (ax H- ftx' H- , . . ) si x, x' + qq' {a, x b, x' ^ x' , .
Klle se réduit donc à l’unité. Donc
S^ = S., d'où Sy = Sl-.
Le nombre des substitutions distinctes de la forme est donc égal à = 0(/n"), nombre total des substitutions de G. Donc toute substitution de a est de la forme S',. .
