LIVRE DEfXIEME
li>2
Cl que ce groupe est isomorphe sans mériédrie au groupe linéaire 5'. de ilegré l'oriné par les substitutions
i'— I z,z',... 7’[(n' r')j -I i | (niud.f i.
130. /,fj suite des facteurs de composition de G est formée des facteurs de composition de ü et de 5'.
Soient en effet /, /i.‘. les facteurs de composition de 5 : on pourra dé- Icrmincr une suite de groupes ,S, oc,... ayant respectivement pour ordre
illf), ü(?'") et tels : i® que eliacun soit contenu dans le
précédent et permutable à scs substitutions; a" qu’il ne soit contenu dans aucun groupe plus général jouissant de celte double propriété.
Soient de même .... les facteurs de composition de 5' : on pourra déterminer une suite de groupes ÿ, 3', OC',... ayant respectivement pour
ordres Ü(^),... et jouissant d'une double propriété
analogue à la précédente.
Cela posé, soient I, K,... les groupes respectivement formés par la combinaison de celles des substitutions de H qui correspondent.à celles de 3, x,... avec les subslitulions de 11’; I', K',... les groupes formés parcelles
des substitutions de H' (|ui correspondent à celles de 3', OC', Les ordres
respectifs des groupes G, I, K IL, I', K',... seront évidemment
li(/?r , jü(m" ,
Mais il est aisé de voir : 1® que chacun de ces groupes est contenu dans le précédent et permutable h ses substitutions; 2“ qu’il n’est eontenu dans aucun groupe plus général jouissant de celle double propriété.
En effet, considérons par exemple le groupe K. Soient S^S],. une quelronque de ses substitutions; S,S^. une substitution quelconque tle 1 : la substitution (S,S’)“' S,, S!, ap|>artiendra il K. En effet, celle substitution est égale à S."’S^S,.Sj''S,.S^ : or S,, ont pour correspondantes dans jj des substitutions 'L,, qui appartiennent respectivement à 3 et à X : 2, sera donc, par délinition, permutable à ce dernier groupe : donc if' 2,, i, appartient il oc. Sa correspondante Sr'S^S, appartient donc à K. Il en est de même de la substitution S^~'S,.S^. qui appartient à H'.
D’autre part, s’il existait un groupe L plus général que K, qui fût contenu dans I et permutable à scs .substitutions, il est clair que le groupe -t; formé par les correspondantes de ses substitutions serait plus général que OC, con-
DES suBSTiirnoNs. lia
Icnu dans S cl permutable à ses substitulions, ce qui est supposé iiiipussiblc.
Les facteurs de composition de G seront donc, ainsi que nous l’avons annoncé/./, /',/;
131. Si ç, q' ne sont pas des puissances de nombre prenners, on raisonnera sur eux comme sur m, et l’on finira par ramener le problème au cas oü m est une puissance d’un nombre premier.
132. Deuxième cas. m est une puissance d’un nombre premier' telle que p‘ .
l^ problème se ramènera au cas où m est premier.
En effet, à cbaqiie substitution
S=|*-,x'.... ax -i- bx' -t-. .X , a' X + h' x’ -t- . . ... . | niud.//‘
du groupe linéaire G de degré (/»*)” faisons correspondre la suivante : a/ é/' -t- 6'/ I (iiiod.y^).
L’ensemble de ces substitulions 2 donnera le groupe linéaire f? de degré p". Il est d’ailleurs évident qu’au produit de deux substitutions quelconques de G correspond le produit de leurs correspondantes. Le groupe Ç est donc isomorphe à G.
Soient /, /,,... les facteurs de composition de ff; 3, 3t,..., i une suite
de groupes ayant respectivement pour ordres G {/>"), 7. lî (/>*), i 12 (c'y
