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et tels ; 1° que chacun d’eux suit contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions; a° qu’il ne soit contenu dans aucun groupe plus général jouissant des mêmes propriétés. S,oienl I, K M les groupes respective-
ment formés par celles des substitutions de G dont les correspondantes appartiennent aux groupes 3, ne 1 . Ils contiennent respectivement
jil.{m''), jj tt{m"),... substitutions : car chaque substitution de correspond au même nombre de substitutions de G; donc les substitutions .3, oc,..., formant la /""'' partie, la partie, etc. du nombre total des substitu-
tions de <?, correspondront à la /"'"', à la 'partie, etc. du nombre total des substitutions de G.
Cela posé, on voit, comme (130), que les groupes G, I, K,..., .M forment une suite telle : 1° que chacun de ces groupes est contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions; 2° qu’il n’est contenu dans aucun groupe plus général jouissant de celte double propriété. Donc les facteurs de romposition de G seront /, /,,... et les facteurs de composition de M.
int ' UVBF. tlEirXIBME.
t33. Cherchons à délcrniiner CCS derniers fadeurs.
Celles des substitutions do G qui ont pour correspondante l'unité, les- (juelles constituent le groupe M, sont évidemment les suivantes :
T = |j:,x',:.. .X + p{xx + + ...y, x' -i p{a' x ^'x' + \ (mod./»*j,
Pt chacun des n“ coedicients «, a', jî’,... pouvant prendre toutes les
valeurs possibles entre zéro et i. le nombre de ces substitutions sera
Soient T', T deux de ces substitutions, on voit sans peine qu’ou a T'T’ = T T'.T„
T, étant une substitution de la forme
T, 7= I X, x',. . . X -(-/»’(«, X + p, jt' + (inod.p*;-
On aura de même, entre une .substitution T, de cette dernière forme et une substitution quelconque T* de la forme T, la relation
TJ* =T'r,.T.,
T, étant de la forme
T, = |x,x',... X P’ [a, X + p, x' + . ..), x' 4- X + ^',x' + ... ,... I (mod.|)‘ ,
On continuera ainsi jusqu’à ce qu’on arrive aux substitutions
'X x-+-|é— ( Xi-. x-e p-.,x' + ...), I Ti, = I X' x’-t i^'<yx,,x4 x' ! (mod.p‘;,
(]ui seront échangeables à toutes les substitutions T. ■ ,
On remarquera enfin que les substitutions de M sont permutables à chacun des groupes M,, M,,... formés respectivement par les substitutions des
formes T,, T, En effet, l’égalité T,T'«=TT,Ï,, par exemple, montre
que la transformée dis. T, par T' est égale à T,T„ et [lar suite aiipartieiit au groupe M|. • • '
I3i. On déduit aisément de là que les facieun de composition de M sont tous e'paujr à p.
Eu effet, soient \ une substitution de M qui n’appartienne pas à .M,. A' la première de ses puissances successives qui lait partie de .M, : les substitutions de la forme .\fT,, où p < r, sont toutes distinctes; car d’une re-
DES SlîBSTITl'TIONS.. lu;.
Inlioit Irlle que A^’T, = A^T, , ou déiluirait Af‘’ = T,Tr'- t‘e <|ui csl iinpossii.lo par hypothéfic (p «I <7 élani moindres que r). à moins qu’on n'ait 0 =i T, d'oji T, - T, . On peut d’ailleurs supposer r premier: car si l’on avait fr- r, Tj, r, élant premier, on pourrait choisir h la place de A la sulistiliition A’^', dont la puissance r, se réduit à la forme T,.
Si..M contient i|uelque siihstilutinn qui ne soit pas de la forme A^T,, soient B l’une d’elles. B’ la première de ses puissanres qui se ramène à ectie forme: les siihstilutions de la forme B’Ai^T,, où î < r, sont évidenimenl toutes distinctes. On peut d’ailleurs suppo.ser s premier. Si .M contient i|iielque autre substitution, on continuera de même jusqu'à ce i|u’nn en ait épuisé le nombre. Supposons, pour fixer les idées, que les .substitutions de M soient toutes de Ja forme B',\^T. Les groupes formés respeetivement des
substitutions B^.A?!,, .\^T,, T, ont pour ordres ii = j. ~ Donc s
et r divisent Si, et par suite sc réduisent à p. D’ailleurs ebacun des groupes ei-dessus est rontenu dans le précédent et permutable à scs siibslilntions. Car on a, par exemple.
Il \t r,li 11 ' \' R II T. Il; mais on a une égalité de la forme
AtB-R\»r,, doù ll-\Mli^ \ir.,
T, appartenant à M,. D’autre part, on a une égalité de la forme
T', appartenant encore à M, : donc
Il ‘VT, B - vir.r,.
Donc le groupe forme par les substitutions de la forme .V^’f, est perniulable à B ; il l’est d’ailleurs à ses propres substilutioiis; donc il l'est à loules les substitlilions île la forme B’ .A** T,.
Donc les facteurs de composition de M .sont r— s = /», et les facteurs de composition de M,.On voit de même que les faeteurs de composition de M, sont égaux, les uns à p, les autres .à ceux de etc.
