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Soient a, fi,... les facteurs premiers, égaux ou non, jilont le produit

llHi UVRE DEUXIÈME.

donne/; — t; r une racine primilive de la congruence r'’ i (mod./;);

Ga^.... les groupes partiels formés par celles des substitutions de G dont le déterminant est une puissance de r*. /•*^...; enfin G, , = F celui formé par les substitutions de détenninanl i.

Soient J le plus grand commun diviseur de n et de/; — i; a', p’,... les facteurs premiers, égaux ou non, dont le produit donne d; r' une racine primilive de la congruence r'®= — i (mod./;); Il, H,-, II,’-,-,... les groupes formés par les substitutions qui multiplient Ions les indices par une même puissance de r', par une même pui.ssance de r'*', eic.

TiiéoaéMF. — IjCS facteurs de composition de G sont a. ,5,..., a, (S',... (fi moins quan nait /f — a’ ou

Il est clair que les groupes

ont respcclivetncnt pour ordre

at/f] ü(p")

. — -, — , . • ■ , a ap

el que les substitutions de cbacun d’eux sont permutables à celles du suivant. D’ailleurs les nombres a, ,3 a', étant premiers, on ne peut

intercaler entre G, et G,(i, par exemple, aucun nouveau groupe qui soit contenu dans G, et contienne G,«i : car son ordre devrait être à la fois un divi-

' seur de et un multiple de ee qui est absurde, jS étant premier.

Si donc on établit qu’on ne peut intercaler entre F et H aucun groupe plus général que II qui soit contenu dans F et permutable à ses substitutions, le tliéorème sera démontré.

Pour établir cette proposition, nous montrerons que si, un groupe. I plus général que II est , contenu dans F et permutable à ses substitutions, il contiendra nécessairement toutes les substitutions de F.

i:if>. Supposons, pour fixer les idées, n = ü. Soit

S = I X, x', x" (IX ! hx' f ex", a'x + fc'x' c'x", ti’x t- b’ x' i- t'x" |

une substitution de I qui ne fasse pas partie de II et qui, par suite, ne multiplie pas tous les indices par un même facteur.

On vérifie sans peine que les substitutions de H sont les seules substitu-

DES SIBSTITÜTKIXS. DIT

lions lin<‘air<>s i|ni soinnl échangeables h ta fois à toutes les substitutions

Supposons donc, pour fixer les idées, que S ne soit pas échangeable à La sul>stiUition = T ne se réduira pas à l’unilé et ap-

partiendra il I. car S appartient par hvputhèse à ce groupe ainsi que sa iransforinéc (Bj.,j< appartenant au groupe P). Mais il est aisé de

voir que celte substitution est de la forme

I X, x', X* ax 4- px' yx", x' — a' X, x' — a" X |,

X étant la fonction linéaire que S“‘ fait succédera x'.

137. Cela posé, si l'on a à la fois a' — a’^o, on aura asri (le déterminant de T devant se réduire à i), et l’on pourra supposer i , 7 — o. Car admettons que cela n’ait pas lieu : |2, 7 ne peuvent être à la fois congrus à zéro, T ne se réduisant pas h Punilé. Soit par exemple 7^o(mod.7>) : on ramènerait T à la forme voulue en prenant pour indices indépendants, au lieu de x, x', x", ceux-ci : x, fix' + yx" et x*.

Soit donc

P contenant la substitution

et scs analogues, 1 contiendra les transformées de T par ces substitutions, puis les transformées de ces transformées, etc., substitutions parmi lesquelles SC trouvent évidemment toutes les suivantes : Bx,;^

Or ces substitutions, combinées entre elles, reproduisent toutes celles de P: car toute substitution linéaire V est de la forme XB (121), & étant dérivée de ces substitutions et Z une substitution de la forme

Z = I X, x', x' X, x', rx" |.

Si l’on veut en outre que cette substitution appartienne a P, il faudra que son déterminant r soit égal à i ; d’où Z = i , V = ©.

138. Soit au contraire a'^o(mod.^). Prenons pour indices indépendants, au lieu de x, x', x", ceux-ci : x, x', x' — ^ x'^u : le nouvel in-