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ilicé a n'cUinl pas altéré par T, celle subsliluliüii prendra Une luriiie telle r|tic la suivante ;

[ x,x',u «.«■ ~ hx' t- eu, !t' X b' x' ■+■ t' U. « |.

1® Si e et c ne sont pas nuis à la fois, 1 contiendra la sûlistilulion

T 'B,,.', I r, x'.H . x — ru, x'.-c’u, u ],

lai|uellc diflcrc de l’imite. Supposons par exemple que c ne suit pas nul; prenons pour indices indépendants — y, x' — ;i, h : T prendra

la forme

et, combinée à ses transformées par les substitutions de T, reproduira, comme dans le cas précédent, toutes les substitutions de T.

a" Soit au contraire :o. I.a substitution T ne se réduisant pas à

l'unité, on ne peut avoir à la fois o=sA' - 1, Soit par exemple

(a — i) 5 O ou (mod. />) : I contient la substitution

T“' BJ'„ TB.,. = I .r, x', « x — l a — i)a, x' — bu, u

et l'on peut achever le raisonnement comme dans le premier cas.

139. La démonstration ci-dessus s’applique évidemment à tous les cas oü le nombre des indices surpasse a; il nous reste à examiner le cas de deux indices .seulement.

Soit donc n ~ 2, et soit S une substitution de I qui ne multiplie pas les deux indices par un même facteur. Il existe évidemment une fonction v des indices x, x' qu'elle ne multiplie pas par .un facteur constant. Soit v la nouvelle fonction par lai|uelle S remplace v : prenant v et y' pour indices indépendants, S prendra la forme

S Ir. r' r'< l<

et c .sera congru à — 1, S ayant i pour déterminant.

I® Si rf^o(mod./)), r contient la substitution

I r. r' ar--*''rl>

DES SllBSriTUTIONS.

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t'( Il contiuiidra